蘇教版與加州版小學數學教材“乘法分配律”的比較研究

◎孫京京 （揚州大學，江蘇 揚州 225000）

數學教材是根據數學課程標準編制的教學用書，直接影響學生的認知過程，國際教材的比較研究為我們的教材編寫提供了國際視野，同時給一線教師的教學實踐提供了理論和技術上的幫助和指導.運算律作為貫串學生整個數學學習的運算法則，是一種具有普遍意義的數學定律.在小學階段，從自然數到小數、分數，運算律體現為一種“通則通法”，由此看來，整數運算律學習帶有筑基性質.

基于此，本文選用時下中美兩國使用較廣泛的兩種教材：國內江蘇鳳凰教育出版社2014年出版的《義務教育教科書·數學》（以下簡稱“蘇教版”）和美國加州Macmillan McGraw-Hill 2008年出版的《California Mathematics 》（以下簡稱“加州版”），以“乘法分配律”這一課程內容作為研究對象進行比較，以為小學數學教材的編寫及教學實踐提供一些啟示.

一、研究設計

本研究主要采用內容分析法和比較法，對運算律的導入和表征方式進行定性分析，對問題的類型進行定量比較.本研究中的“問題”指教材中出現的例題和習題，下面將對各比較維度進行簡要說明.

（一）導入方式

乘法分配律的導入方式指教材通過呈現怎樣的探索性素材，設置哪些思考問題，如何引導學生探索規律.

（二）表征方式

本研究中“表征”指數學概念或關系的客觀呈現形式，即外在表征.結合前人研究，將表征方式分為言語表征與視覺表征兩類，言語表征——運用言語對知識點的特征或屬性進行抽象描述，例如，文字表征、口語描述、符號表征等；視覺表征——用圖示對知識點進行直觀呈現，例如，實物模型、圖形、圖表等.

（三）問題類型

在定量分析前，我們首先對兩版教材的問題進行編碼統計.考慮到下文問題類型比較時對各類型題量的統計，兩版教材統一以小題計數.問題類型指問題在應用知識時的具體變化類型，結合一線教師的研究成果，現將兩版教材的問題分為“乘法分配律的變式題”和“其他問題”兩大類，其中，“乘法分配律的變式題”根據運算律的運用情況又可細分為順展型、逆拼型、應用拓展型、拆分型以及多種運算律綜合應用型.

二、比較分析

根據上文所設計的比較框架，我們對兩版教材進行了定性分析和定量比較.

（一）運算律的導入

1.蘇教版創設問題情境，加州版貼近“數學現實”

蘇教版通過創設與生活緊密相關的問題情境導入新知，不僅讓學生感受到規律無處不在，也鍛煉了學生發現問題、解決問題的能力.隨著數學學習的深入，學生所積累的數學知識和方法就成了學生的“數學現實”，也是學生進一步學習的素材，加州版脫離了現實的情境，與先前學習的知識相聯系，讓學生在利用已有數學知識解決問題的過程中動手、動腦，進而發現規律，更加關注數學活動經驗的積累，注重知識間的聯系，有利于學生構建完整的數學認知結構.

2.蘇教版比加州版更加注重對乘法分配律內在合理性的理解

蘇教版的導入過程采用了“不完全歸納法”，強調學生的親身經歷、自主探索，教材中設置的問題環環相扣，邏輯聯系緊密，按照合情推理的一般步驟，學生在足夠多的例子中發現、猜想、歸納規律，初步感悟數學歸納的思想和方法，培養推理能力.加州版教材則是將重點放在理解乘法分配律的成立原因上，將數學圖形貫串整個導入過程，利用幾何模型幫助學生理解算理，體現了數形結合的思想方法.

（二）運算律的表征方式

蘇教版乘法分配律采用了文字表征和符號表征，滲透代數思想，為五年級學習代數知識做鋪墊.加州版在“KEYCONCEPT（主要概念）”模塊同樣選取了這兩種方式，同時列舉了數字實例與之對應，降低了學生的理解難度.比較可得：蘇教版對運算律的表述局限于兩個數的和與一個數相乘，加州版的表述對象范圍更廣（要將總和乘以一個數，請將總和的每個加數乘以括號外的數字），可以拓展至若干個數的和與一個數相乘，更能體現加州版對知識點的命名“分配律”.

值得一提的是，加州版十分重視圖形表征在乘法分配律教學中的應用，“Hands-OnMiniLab（mini 動手實驗室）”欄目利用矩形面積模型來探索規律，之后更讓學生嘗試畫出給定體現乘法分配律等式的模型，將數學運算與直觀圖形結合，幫助學生在頭腦中形成直觀的算法模型，體現了幾何直觀思想在計算教學中的應用.

（三）問題類型

現將兩版教材的問題類型整理如表1所示.

表1 蘇教版和加州版乘法分配律的問題類型統計

由表1可知，蘇教版和加州版教材中的問題都以乘法分配律的變式題為主，均占到了90%左右，下面對兩版教材的問題類型進行詳細分析.

1.蘇教版提供了更多類型的乘法分配律的變式題

蘇教版對乘法分配律的運用主要是最基礎的“順展型”（27.1%）和“逆拼型”（31.3%），加州版“順展型”也占有一定比例（30%）.順展型指乘法分配律的標準形式，形如(a＋b)×c＝a×c＋b×c，逆拼型，即逆向拼合，指乘法分配律的逆向應用，形如a×c＋b×c＝(a＋b)×c，這兩種類型是應用乘法分配律時最基礎的形式，在學習之初，“原型”因其標準性和典型性，可以充分揭示規則本質，以此幫助學生恰當地建立規則正確、典型的“表象”.

隨著學習的深入，“原型”也會阻礙學生數學規則的運用，容易使其形成定式、僵化的認識，蘇教版教材設計了“應用拓展型”——將乘法分配律的應用范圍進行拓展至多個數與一個數相乘、乘法對減法的分配律以及代數范圍的應用；“拆分型”——將題目中的一個數據拆分成兩個數據，之后再應用乘法分配律，根據不同的拆分方法又可以分為“加法拆分型”“減法拆分型”和“乘法拆分型”；“綜合運用多種運算律”——運用兩種及以上的運算律進行計算等八種乘法分配律的變式類型，為學生提供多樣化的簡便計算策略，形成必要的計算技能.加州版教材以“加法拆分型”為主（42.5%），教材設置了一定數量的題目來鍛煉學生的數據拆分能力，同時重視應用乘法分配律直接口算出答案，但是所呈現的簡便計算方法過于單一.多樣化的變式一方面可以培養學生的類比遷移能力，讓學生大膽猜想并檢驗求證；另一方面，變式建立在學生對乘法分配律內涵有深入理解的基礎之上，能夠突出運算律的本質特征，幫助學生更準確、更深刻地理解乘法分配律.

2.加州版注重聯系代數知識

蘇教版和加州版教材在乘法分配律的應用拓展上有著較大的差別.對于這部分的教學，蘇教版將其安排在整數四則運算學習后，使得現階段乘法分配律的適用對象局限于整數；加州版則是將其安排在代數內容的基礎上，將其應用推廣到代數中.筆者認為，加州版的內容編排順序有它的優點所在，教師在第一次正式教學乘法分配律時，讓學生體會到這一運算律運用范圍之廣泛.但現行小學數學課程中運算律內容的安排是否合理，教學程度的把握是否適當，需要有國際視野和我國基礎教育實踐的進一步檢驗.

三、啟 示

通過對蘇教版和加州版教材的對比，筆者對乘法分配律課程內容的教材編寫和小學數學教學實踐得到以下幾點啟示：

（一）溝通已有知識經驗，貼近學生“數學現實”

對于新知的學習需要有與此知識相關聯的信息的支撐，而不能獨立進行與其他知識無關聯的學習，否則，知識點的掌握不會牢固和有意義.當下教師過多強調“創造情境”，有時甚至忽略了知識的內在聯系，造成了情境的“泛濫”.運算律教學與運算的定義密不可分，在正式學習乘法分配律之前，學生已經多次接觸到了這一運算律，積累了比較豐富的感性認識.在運算律的導入素材的選擇上，筆者建議教材在構造現實情境前，借鑒加州版教材，充分聯系學生的“數學現實”，如長方形的周長公式、多位數的乘法豎式計算等，上述知識本質上都采用了乘法分配律，如此一來，不僅能夠喚起學生已有的知識經驗，讓學生感受到規律的存在，更能揭示數學知識之間的內在聯系，有利于學生數學知識體系的構建.

（二）多樣變式應用，重視內涵理解

學生對規則的深層次理解與例題的引導和規則多樣化的變式應用關系密切，這一點兩版教材都給予了很好的啟示.教師在短時間內將焦點僅僅置于乘法分配律規則的獲得上，有兩種危險：第一，沒有幫助學生思考關于運算律的意義，即為何這個規則會成立；第二，這種規則的獲得將很快就會失去，不同的運算律規則將變得相似和混淆.因此，相關人員在教材編寫以及教學實踐中需要重視學生對規則的理解.筆者建議借鑒加州版教材，首先讓學生嘗試用自己的方式來解釋說明乘法分配律成立的原因，發揮其主體能動性；教材在學生充分思考的基礎上加以引導，從結合現實背景體會乘法分配律的合理性，到借助幾何圖形理解算理，再到聯系乘法的意義，層層推進，從生活實際逐漸抽象到數學知識，實現乘法分配律的有意義構建，為學生今后的數學學習以及數學邏輯思維的形成打下良好的基礎.

瑞典教育家Marton 提出的變異理論表明：認識的發生需要在同一時間審辨和注意事物的相關屬性，而如果沒有經驗，這些不同維度屬性的變異是不可能審辨出相關屬性的，同時強調了變異理論的遷移觀，由此可見，規則學習時的“原型”和“變式”不可分離，“原型”可以揭示本質特征，“變式”應用可以加深對規則內涵的理解，兩種形式相互作用，共同促進規則的學習與運用.因此，教材應該關注乘法分配律的變式應用，加深學生對其內涵本質的理解.

（三）關注圖形語言，呈現多種表征

“一個重要的數學思想不可能在單一的表征系統中獲得充分和透徹的理解”，多元外在表征能夠提供學習者互補的信息和支持互補的過程，具體的表征幫助解釋較為抽象的表征，幫助學習者從多元具體形式中抽象知識或問題的內在結構，提供不同表征間的相互聯系、溝通與作用，聯結不同表征成為網絡結構，建構深度理解.筆者建議教材將圖形表征貫串所有運算律的教學之中，并將其與文字、符號等多種表征方式相互溝通轉化，對于相對簡單的加法交換律、加法結合律，學生十分容易聯想到畫線段組圖來表示；當學習乘法運算律時，學生在類比遷移的過程中形成認知沖突，進而表征方式實現從一維的線（線段組圖）到二維的面（長方形面積）的轉變.學生不僅能夠借助直觀幾何實現算法與算理的深層溝通，加深對乘法分配律內涵的理解，同時學習運用類比遷移的策略解決新問題.