初中數學教學中學生合情推理能力培養研究

◎季鈴玲 （江蘇省南通市北城中學，江蘇 南通 226000）

一、引 言

合情推理能力是一種重要的數學思維能力，具體就是學生通過認真觀察，仔細思考，并在科學探究及分析的基礎上，對相關問題形成深刻認知，有效促進其數學問題分析及解決能力的發展，助力其數學核心素養的養成.然而，現階段的初中數學教學多采用照本宣科式的教學模式，只注重知識的灌輸，卻忽視了學生數學思維能力的發展，嚴重限制了其數學問題分析及解決能力的發展.因此，如何才能有效地培養初中學生的合情推理能力、提升他們的問題解決能力值得深入探討.

二、初中數學教學中合情推理能力培養的重要性

合情推理主要是指將人們的知識、經驗與感覺進行有機結合，并進行可能性推理、論證及分析的一種數學思維方式，根據形式的不同可以分成類比推理、歸納推理等幾種推理形式.比如，由個別向特殊方向推理分析，或者由特殊向一般方向推理分析，可以靈活應用比較、分析及觀察等方法來得到相應的結論.在實際的數學教學實踐中，教師通過有計劃地培養初中學生的合情推理能力，有利于其運用矯正、推廣、歸納、實驗以及猜測等方式來對問題進行簡化，并使學生可以快速歸納及總結必要的教學結論，這樣可以幫助他們快速理解及掌握相應的數學知識.而在“統計與概率”“數與式”“空間與圖形”等部分數學知識教學中，合情推理能力有利于幫助學生快速分析及解決相應問題，對他們數學綜合素質發展以及數學核心素養養成都有很大幫助.特別是借助合情推理能力，可以有效鍛煉學生的問題分析及解決能力，使他們可以在解決數學問題時做到靈活自如，避免出現思維定式的問題，從而幫助他們更好地解決相關數學問題.

三、初中數學教學中合情推理能力培養的有效策略

（一）巧創真實生活情境，培養合情推理意識

良好的教學情境是調動學生學習熱情、助力他們高效開展學習活動的一個重要教學手段.如果教師在教學中只考慮向學生灌輸數學課程知識，而忽視了學生這一學習主體的實際學習感受，那么容易使學生因為枯燥知識的灌輸而逐步失去自主學習數學知識的興趣，這不利于促進他們合情推理能力的發展.為了可以更好地培養及鍛煉學生的合情推理能力，教師可以從引導他們認真觀看問題及開展深入思考出發，靈活地應用情境創設法，結合初中數學教學內容，從貼近學生生活實際的場景中選擇教學素材，指導他們在對生活化問題進行分析及推理論證的過程中深化對有關抽象數學知識的理解，或者對某些綜合性強的數學問題進行快速解決，以此有效鍛煉他們的問題分析及解決能力.

例如，在學習“有理數的乘方”部分知識時，為了深化學生對這部分抽象數學知識的理解，使他們可以通過自主推理、論證及分析得到有理數乘方的性質，教師可以為學生提供一條繩子并引導他們動手進行對折，讓他們在實踐操作過程中認真觀察，積極猜想及推理論證.具體可以采取如下一些生活化的問題來啟發學生思維，促使他們逐步推理得到有理數乘方的性質.

（1）將手中的一條繩子進行1 次對折，之后再進行1 次對折，可以得到幾段繩子呢？

（2）如果將這條繩子連續進行3 次、6 次、9 次和12 次對折操作，那么可以得到多少段繩子？ （基于這一問題，可以有效鍛煉初中學生的推理及歸納能力.）

（3）如果要想一條繩子通過對折操作變成512 段，那么要持續進行多少次對折操作？ （反向提問，進一步鍛煉初中學生的推理能力.）

（4）如果將大家劃分為8個小組開展小組比賽活動，那么按照2個小組之間比賽一場的規則，最終總計需要開展多少場比賽？ （教師通過這一生活化問題，可以進一步鍛煉及發展初中學生的類比推理能力.）

教師通過上述一系列貼近學生的問題情境創設，可以使學生在動手操作、認真觀察的過程中對抽象的有理數乘方性質進行逐步推理及論證，極大地提高了他們的學習效果，有效強化他們的合情推理意識.

（二）應用數量關系規律，發展合情推理能力

數與形構成數學知識體系的兩大元素，與二者有關的知識學習都是助力學生合情推理能力發展不可或缺的.以“數”為核心的量化關系或者函數關系等都是學生在分析數學問題或者解決實際問題時不可或缺的重要教學內容，對支持學生高效思考、發展學生解題能力等有積極意義.實際上，現實生活中存在著許多有關數量關系的規律.為了有效鍛煉及發展初中學生的合情推理能力和論證分析能力，教師需要注意在教學實踐中有效融入有關的定理與規則等，并指導初中學生對函數、方程式等的實際發展趨勢或變化方向進行主動判斷、推理、論證及分析.這樣最終通過合情推理及分析找到正確的數量結果，從而有效促進學生合情推理能力的發展.

例1十進制是現實生活中比較多用的一種計數制，其中表1為二進制和十進制之間的對照表.結合表1，請推斷出二進制“10101010”所對應的十進制應該是多少？

表1

解析本道題是一道典型的推理論證題，求解中需要學生充分發揮自己的思維能力開展推理論證及判斷，并對相應的問題展開深入分析，以此來快速確定問題的答案.表1給出了二進制和十進制之間的對應關系.為了快速解決問題，學生需要進行合情推理.這樣的問題分析及解決過程可以有效地鍛煉及發展他們的合情推理能力.

解10101010＝1×27＋0×26＋1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×2

＝128＋32＋8＋2＝170.

教師通過有效利用這些關于“數”的相關數學問題，可以指導學生在對相關數的量化關系進行剖析的過程中明確有關數學問題分析的內在本質，同時可以在這個過程中鍛煉及發展他們自身的思維能力、合情推理能力與解題能力.但是在基于數量關系來指導學生分析數學問題時，教師需要保證問題呈現的直觀性，避免因為題干信息量過大而給學生剖析問題造成過大干擾，否則影響他們自身順利求解問題，影響其合情推理能力的發展.

（三）融合圖形直觀想象，有效調用演繹推理

“形”是數學知識體系中另一個重要的組成部分，主要以圖像、圖形等為主，相關方面的問題剖析也是鍛煉學生抽象思維能力、助力合情推理能力發展的一個重要途徑.實際上，圖形是一種基本的數學知識展示形式，其比文本知識的直觀性更強，可以將某些抽象知識變得更加形象，對降低學生理解難度、提高他們學習數學知識成效有很大幫助.如果教師可以在數學教學實踐中有效地利用直觀性比較強的圖形知識，那么可以使學生在積極開展深入思考圖形內涵及基本特征的基礎上，有機結合合情推理和演繹推理，最終快速確定問題的結果，大大提高他們的問題分析及解決能力.

例2如圖1，已知某一系列圖形設計按照圖①、圖②和圖③所示的規律進行變化，那么后面圖④中總計有多少個三角形？

圖1

解析本道題是一道典型的推理論證題，圖①～圖③中的圖形變化都是有規律的，需要仔細觀察及推理論證才能夠發現其中的圖形變化規律，才能夠更好地對問題進行分析及解決.通過對這一問題進行分析，學生可以通過演繹推理來找到問題的答案.

解圖①中所包含的小三角形數目為1＋4

圖②中所包含的小三角形數目為1＋4＋3×4

圖③中所包含的小三角形數目為1＋4＋3×4＋32×4

通過上述推理分析可得：圖④中所包含的小三角形數目為1＋4＋3×4＋32×4＋33×4＝161（個）.

例3現有一組有規律的圖形，如圖2所示，圖（1）三角形數目是1個，圖（2）三角形數目是3個，圖（3）三角形數目是6個，第n個三角形中總計涉及多少個三角形？ （用包含n的公式進行表達.）

圖2

解析本道題是一道關于“形”變化的找規律問題，實際的求解過程需要學生通過認真觀察圖2中各種圖形的變化規律來歸納及總結其中有價值的要素，以此構建能夠輔助其解決問題的數學公式，最終實現在順利完成解題任務的同時，有效發展學生的合情推理能力.

解通過對圖2中各個三角形的線段增減變化進行觀察發現，伴隨著線段增加所形成的三角形個數逐步增加，并且經過歸納及總結最終得出結果是

在這一數學問題解決過程中，學生親身經歷了歸納及總結的完整剖析過程，無形中鍛煉了他們的歸納能力和推理能力.

上述這些推理論證問題的解決及分析，可以有效鍛煉初中學生的問題分析及解決能力，有效鍛煉他們的邏輯思維能力與合情推理能力.

（四）巧用數形結合思想，鍛煉合情推理能力

作為一種重要的數學思想，數形結合思想在輔助初中學生分析及解決數學問題、提高問題解決能力方面的作用非常突出.特別是針對那些抽象性、繁雜性等特性比較突出的數學問題，學生靈活應用數形結合思想，可以有效簡化問題，從而快速找到解題的突破口與思路，這不僅可以助力其問題分析及解決能力的發展，還有利于鍛煉其合情推理能力和問題分析能力.因此，在平時數學教學過程中，教師可以通過指導學生學習及應用函數圖像來鍛煉他們的歸納能力、類比能力、推理論證能力等關鍵能力，從而有效促進學生合情推理能力的發展.

例如，在學習“一次函數”部分知識時，為了使學生對函數圖像形成深刻認知，教師可以以圖形展示的方式進行講授.如圖3所示，教師指導學生認真觀察圖像，可以使學生了解到函數f（x）＝3x轉變為q（x）＝3x＋6 時，相應的圖像需要向上移動6個單位，或者向左移動2個單位；而將函數f（x）＝3x轉變為r（x）＝3x－6 時，相應的圖像需要向下移動6個單位，或者向右移動2個單位.教師通過這樣的教學方式，可以幫助學生在認真觀察及分析的過程中逐步歸納及總結函數圖像變化的基本規律，并且使他們意識到數形結合思想的應用價值，大大提高了學生對一次函數圖像性質等部分知識的理解效果，同時有效鍛煉了他們的合情推理能力.相較于傳統的知識講授，該種教學方式的應用效果顯然更好，對發展初中學生的合理推理能力有很大幫助.

圖3

（五）加強推理論證訓練，提高合情推理能力

俗話說：“熟能生巧.”要想持續提高初中學生的合情推理能力，離不開推理能力訓練實踐活動的開展.因此，教師在平時數學教學中要注意結合實際的教學情況，多為學生創設一些運用推理論證思維的機會，使學生在開展合情推理實踐過程中提高他們的合情推理能力.

例4已知，基于除法本身為乘法算法的逆運算，可知，之后再求解聯立①和②可知：，由此可以歸納出何種規律或結論呢？

針對這一推理問題的分析，教師可以指導學生有效調用已經學過的基本算法，使學生利用字母來對相應計算中的規律及結論進行表達，即，相應的解釋為甲數和乙數相除，等同于甲數乘乙數的倒數.在學生通過歸納、總結得到上述結論之后，教師可以帶領他們繼續對這一結論的真實性進行論證，其間可以有效調用“除法商不變”這一性質來進行論證，具體如下：

在上式中，n、p和q均不為0.教師通過上述這種訓練題的應用，可以有效鍛煉初中學生的邏輯思維能力，尤其可以發展他們的合情推理能力.

（六）增加合情推理機會，發展合情推理能力

任何一種數學關鍵能力的發展都不是一蹴而就的，必須經歷持續、反復的學習與訓練方可獲得.同理，在合情推理能力培養與發展實踐中，為了順利實現預定的目標，學生離不開反復的合情推理能力培養及訓練.在平時數學教學中，教師可以有計劃地結合初中學生合情推理能力培養的實際需求，適當地為他們增加一些有利于發展他們合情推理能力的機會，讓學生可以反復運用自己的合情推理能力來剖析及解決問題，最終持續性地發展其合情推理能力.但是，在合情推理機會設置期間，教師必須充分考慮不同學習層次學生的學習需求和基本學情等，確保滿足全體初中學生學習數學知識的需求，不能夠僅考慮部分學生的解題訓練需求.

例如，在“平行四邊形的性質”部分知識教學中，為了有效培養學生的合情推理能力，在相關知識教學完畢之后，教師可以從發展學生的合情推理能力出發，針對性地設計一些具有層次的問題，從而借助多層次數學問題促進學生數學解題能力和合情推理能力的全面發展.具體問題如下：

（1）如圖4，農民伯伯手持一根長度36 m 的繩子圍成一個平行四邊形的花園，已知AB邊長是8 m，其他幾個邊長各是多少呢？

圖4

（2）如圖5，已知某一平行四邊形中∠ACB＝40°，∠BAC＝60°，試求∠BCD與∠D.

圖5

（3）在某一平行四邊形ABCD中，假定∠A＝35°，試求∠B，∠C.

（4）現有一平行四邊形ABCD的某一個外角是46°，其各個內角度數各是多少？

教師通過上述這些難度各不相同的數學問題，可以在指導學生分析問題的過程中有效鍛煉及發展他們的合情推理能力與解題能力.

四、結 語

合情推理能力是提高初中學生數學分析及解決能力中非常關鍵的一種思維能力.在初中數學教學中滲透合情推理能力意識期間，教師可以從巧創真實生活情境、培養合理推理意識出發，靈活應用數量關系規律，巧妙融合圖形直觀想象和數形結合思想，并加強推理論證訓練，從而不斷提高初中學生的合情推理能力.