將《周易》適當?shù)厝谌搿洞髮W數(shù)學文化》課程中的探討

□薄洪波 趙利云 翟麗麗

《大學數(shù)學文化》是高等數(shù)學知識體系中特別重要的組成部分，為使學生對大學數(shù)學產(chǎn)生學習興趣，深切感受數(shù)學學科的魅力，現(xiàn)我校已經(jīng)將《大學數(shù)學文化》作為選修課開設(shè)[1]。在《大學數(shù)學》課程中引入數(shù)學文化教育思想，發(fā)揮《大學數(shù)學文化》的作用，突出《大學數(shù)學文化》教學的整體指導效果。

“大千世界，繁衍有度，蒼茫宇宙，錯落無垠。”中國古人用以描述無限運動過程的符號數(shù)序，是對自然法則的高度抽象和概括。早在五千年前，令人奇異莫測的神秘數(shù)圖，就啟發(fā)和開鑿了炎黃祖先超凡的靈感和智慧，并創(chuàng)造了《周易》這樣震撼古今中外的宏篇巨制，從而形成中華民族文化得以世代傳衍的“易道”思想體系。其中《周易》與數(shù)學的聯(lián)系是相當緊密的，例如：李光地(清1642～1718年)以勾股解河洛圖；萊布尼茲(德1646～1716年)發(fā)現(xiàn)邵雍(宋1011～1077年)的易卦系統(tǒng)與他的二進制數(shù)表的一致性；焦循(清1763～1820年)由《周易》推導出代數(shù)比例和二項式定理；秦九韶(宋1202～1261年)，在當時提出了相當完備的正負開方術(shù)和大衍求一術(shù)，并系統(tǒng)地總結(jié)了“一次同余組解法”和“高次方程數(shù)值解法”，并達到了當時世界數(shù)學的最高水平。時至今日，仍有一大部分人堅持研究《周易》，試圖從易學中尋求啟迪未來的素材。

一、《周易》符號系統(tǒng)的數(shù)學內(nèi)涵

《易傳·系辭上傳》記載——易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。太極為一，分出一奇一偶，陰陽兩面；陰陽之上各加一奇一偶，則為太陽，少陰，少陽，太陰；其上再加一奇一偶，則為乾、兌、離、震、巽、坎、艮、坤八卦。

為了便于符號記憶，古人編出《八卦取象歌》：乾三連、坤六斷、震仰盂、艮覆碗、離中虛、坎中滿、兌上缺、巽下斷，其中前一個字是卦名，后面兩個字則是對該卦形象生動的描述。

由“八卦”推導出來的“六十四卦”，“三百八十四爻”這一特殊的符號系統(tǒng)，其組合變換可以給人以無窮的想象余地。這種符號系統(tǒng)的變換復雜程度，似乎在現(xiàn)代科學中都難以找到能與之相媲美的符號系統(tǒng)。

歷代易學家發(fā)明的符號系統(tǒng)主要有兩種：一為《周易》系統(tǒng)(包括焦贛(西漢 生卒不詳)在其《易林》中提出的由六十四卦相重而得的四千零九十六卦系統(tǒng))，另一為揚雄(漢 前53～前18年)的《太玄》系統(tǒng)(包括九天玄女卦)[2]。前者是二元符號系統(tǒng)，后者是三元符號系統(tǒng)。除此之外，還有漢代道教易學的四元系統(tǒng)《靈棋經(jīng)》，南宋蔡沈(1167～1230年)易學的九元系統(tǒng)《洪范皇極》，北宋司馬光(1019～1086年)易學的十元系統(tǒng)《潛虛》。以現(xiàn)代數(shù)學語言講，它們都是有限重集排列，《太玄》的三元符號系統(tǒng)從一開始表現(xiàn)為一個完整的三進制數(shù)表，而二元符號系統(tǒng)到北宋時期也由邵雍(宋1011～1077年)的《先天圖》發(fā)展為完整的二進制數(shù)表，并且還把二元有限重集排列推廣到排列數(shù)n為任意自然數(shù)，即N=2n。

八卦圖的方圓排列問題具有很強的對稱性，它作為原始的坐標系統(tǒng)被廣泛地應用于天文、歷法、氣象、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等各方面。這些都反映了《周易》符號系統(tǒng)的數(shù)學內(nèi)涵。

二、《周易》與中國古代數(shù)學的理論范式

在中國的傳統(tǒng)文化體系中，有《周易》就是歷史的重要觀點，從《周易》是歷史的方面出發(fā)，可以解析《周易》與中國傳統(tǒng)數(shù)學思想史的關(guān)系。《周易》雖然沒有直接將某個數(shù)學定理和數(shù)學公式直接展示出來，但是它所提出的數(shù)學方法和數(shù)學思想，在中國傳統(tǒng)數(shù)學中，一直發(fā)揮著作用[3]。秦九韶、李冶、楊輝、朱世杰等中國傳統(tǒng)數(shù)學家們所取得的杰出數(shù)學成就，均顯示出《周易》的影響。

大約成書于西漢時期的《周髀算經(jīng)》和東漢時期的《九章算術(shù)》，其中的數(shù)學思想在很大程度上確定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的理論范式。雖說這兩部書都將數(shù)學的根源指向畫八卦的伏羲氏不一定正確，但其易學的陰陽觀念和思維模式對于傳統(tǒng)數(shù)學理論范式的形成確實提供了思想基礎(chǔ)[4]。

《周易》的“陰陽”經(jīng)過奇偶次數(shù)可以轉(zhuǎn)化為幾何的“圓方”，通過趙爽(三國 生卒不詳)和劉徽(魏晉 約225～約295年)的發(fā)現(xiàn)，開辟了中國數(shù)學研究“圓方論”的獨特方向。

《周髀算經(jīng)·卷上》記載——昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問古者包犧(伏羲)立周天歷度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數(shù)安從出？。”商高曰：“數(shù)之法，出于圓方。圓出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之外，半其一矩。環(huán)而共盤，得成三、四、五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。”三國時期的趙爽對于這段話有詳細的注釋：“圓徑一而周三，方徑一而匝四。伸圓之周而為勾，展方之周而為股，共結(jié)一角，斜適弦五，此圓方斜徑相通之率。故曰數(shù)之法出于圓方。圓方者天地之形，陰陽之數(shù)。然則周公之所問天地也，是以商高陳圓方之形，以見其象，因奇偶之數(shù)，以制其法。所謂言約旨遠，微妙幽通矣?！壁w爽這段話有兩個要點：一是對勾三股四弦五的勾股弦定理給出了解釋；二是圓周率取近似值三，雖然不精確，但畢竟在整數(shù)范圍內(nèi)，借陰陽原理建立了形與數(shù)的比率關(guān)系。

魏晉南北朝時期的劉徽(約225～約295年)對《九章算術(shù)》的批注“觀陰陽之割列，總算術(shù)之根源”也遵循陰陽原理[5]。

許多圓方問題從平面發(fā)展到立體，計算過程都用到了分割，連續(xù)分割正方形和立方體作為開平方和開立方的幾何原理。劉徽(魏晉 約225～約295年)著名的“割圓術(shù)”，在圓內(nèi)作內(nèi)接正多邊形即為分解圓方術(shù)的第一次成功發(fā)展。

《周易》的模型論思想經(jīng)《九章算術(shù)》開辟了中國傳統(tǒng)數(shù)學的模型算法?！毒耪滤阈g(shù)》中包括“勾股九章”“方程”“盈不足”“均輸”“商功”“少廣”“衰分”“粟米”“方田”等九大部分內(nèi)容，基本包含了現(xiàn)在初等數(shù)學中“幾何”、“算術(shù)”、“代數(shù)”中的絕大部分內(nèi)容。

三、《周易》數(shù)學派與科學的數(shù)學

漢朝時期的“象數(shù)學”至宋朝時期分裂為“數(shù)學”和“象學”兩支。陳摶(宋 879～989年)以“數(shù)學”授穆修(北宋 979～1032年)，以“象學”授種放(宋 955～1015年)，穆修傳李之才(宋 980～1045年)，李之才再傳邵雍(宋1011～1077年)，從而形成《周易》的數(shù)學派。

一般來說，中國古代數(shù)學系統(tǒng)確立的標志性著作是“九章算術(shù)”。劉徽標注“九章算術(shù)”時，有一個重要的“序”放在開頭，其第一句為——“昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術(shù)，以合六爻之變。”其中的“包犧氏”、“八卦”、“九九之術(shù)”、“六爻”等，是與《周易》聯(lián)系非常緊密的[3]。

數(shù)學作為一個科學學科在中國古代長期被叫做“算術(shù)”或“算學”，其名稱是從《周易》中借用而來的。算學家榮綮(南宋 生卒不詳)在其《黃帝九章·序》中使用了“數(shù)學”二字，而秦九韶(南宋 1208～1268年)在其著作《數(shù)學大略》中，首次將“數(shù)學”二字放入書名。

四、《周易》與中西方數(shù)學的會通

《易傳·系辭上傳》記載“圣人有以見天下之動而觀其會通?！薄皶ā彼枷胧侵袊鴮W者接受外來文化的觀念基礎(chǔ)。

中西方會通首先是從“算術(shù)”和“歷法”兩方面開始的[6]。其中最著名的代表人物是徐光啟(明 1562～1633年)，他一方面與利瑪竇(意大利 1552～1610年)合譯《幾何原本》，把西方數(shù)學介紹給國人；另一方面發(fā)揮易學“革故鼎新”的思想，主張“治歷明時取象于革”(選自《崇禎歷書·恒星歷指》)，將西方歷法引入明朝的《大統(tǒng)歷》，主持編撰《崇禎歷書》。

此后，比較有影響的人物是方以智(明 1611～1671年)[7]。他出身三代易學世家，博學多通，立志要把古今中外的知識熔于一爐，對中國傳統(tǒng)自然科學和西方科學作了詳細的記述、考辨，把整個科學技術(shù)按其對象，區(qū)分為“質(zhì)測”(自然科學)、“宰理”(社會科學)和“道幾”(哲學)三大類，實踐了中西方數(shù)學的會通。

在明清時期，西方學者也很快對中國《周易》作出了反應。德國數(shù)學家和哲學家萊布尼茨(1646～1716年)，于1679年完成《論二進制》論文的初稿，后來他受法國在中國的傳教士白晉(Joachim Bouvet，1656～1730)的影響，開始注意到《周易》，發(fā)現(xiàn)邵雍(宋1011～1077年)的先天易圖與其二進制數(shù)表有驚人的相似之處。

數(shù)學這門學科，在清朝前期和中期得到非常大的重視，使其大量的發(fā)展，據(jù)史料記載，當時達官貴族的主流都在學習數(shù)學知識，重新整理和?？绷舜笈鷶?shù)學的典籍。其中《四庫全書》里的《算書之屬》一書收集了——“數(shù)學鑰”、“幾何論約”、“數(shù)理精蘊”、“緝古算經(jīng)”、“張邱建算經(jīng)”、“勾股矩測解原”、“弧矢算術(shù)”“測圓海鏡分類釋術(shù)”、“測圓海鏡”、“少廣補遺”、“勾股引蒙”、“通編”、“同文算指前編”、“數(shù)術(shù)記遺”、“九章錄要”、“莊氏算學”、“數(shù)度衍”、“幾何原本”、“益古演段”、“數(shù)書九章”、“五曹算經(jīng)”、“夏侯陽算經(jīng)”、“五經(jīng)算術(shù)”、“海島算經(jīng)”、“孫子算經(jīng)”、“九章算術(shù)”等26部數(shù)學書籍[8]。

《周易》與現(xiàn)代數(shù)學雖然沒有發(fā)生過有歷史性意義的整體關(guān)系，但源于科學內(nèi)部的新自然觀和新科學觀卻預兆了《周易》與后現(xiàn)代數(shù)學整體相關(guān)的美好前景。

綜上所述，《周易》作為一部術(shù)數(shù)學的原始典籍，為術(shù)數(shù)學大廈奠定了理論基石?！吨芤住繁环Q作“萬經(jīng)之首”，是中國人民最早認識世界的智慧結(jié)晶[9]。

在對《大學數(shù)學》教學進行改革創(chuàng)新的過程中，積極發(fā)現(xiàn)數(shù)學文化的點滴滲透，在講解《大學數(shù)學》知識的同時，引入數(shù)學故事、數(shù)學中的經(jīng)典問題和與其相關(guān)的文化內(nèi)容，不僅能豐富《大學數(shù)學》課堂教學內(nèi)容，而且可以對學生實施積極有效的教學指導，從而引導學生對數(shù)學知識進行更加系統(tǒng)全面的探究，激發(fā)學生學習數(shù)學的經(jīng)驗，彰顯數(shù)學教學改革的價值[10～11]。