積分形式的Bonnesen型不等式①

馬磊，董旭，曾春娜

1.廣東茂名幼兒師范專科學校 理學院，廣東 茂名 525200；2.重慶師范大學 數(shù)學科學學院，重慶 401331

等周不等式源于等周問題，是幾何中最著名的不等式之一，對數(shù)學的諸多分支的發(fā)展起到了重要的促進作用． 等周不等式的加強形式是著名的Bonnesen 型等周不等式． 文獻[1]深入研究了平面等周不等式，利用凸體的最大內接圓半徑和最小外接圓半徑給出了等周不等式的加強形式，文獻[2]稱這類等周型不等式為Bonnesen型等周不等式，目前，一般簡稱為Bonnesen型不等式． Bonnesen型不等式是著名的等周不等式的經(jīng)典推廣與加強，它刻畫了平面上簡單幾何閉曲線的周長與其所圍成的面積以及其內接圓半徑、外接圓半徑等其他幾何量的關系． 文獻[3-8]利用積分幾何中的包含測度理論，系統(tǒng)地得到了這類不等式及其進一步的加強形式． 關于平面多邊形的離散型的Bonnesen型不等式，目前，我們知道的或許只有文獻[9-11]中的結果，這些不等式的證明都通過尋找與他們等價的分析形式的不等式而得到． 我們尚未注意到關于平面上一般閉凸區(qū)域K的Bonnesen型不等式的純分析等價形式，如下列經(jīng)典Bonnesen型不等式的純分析的等價形式至今未知：

(1)

(2)

L2-4πA≥π2(re-ri)2

(3)

其中L，A分別為平面閉凸區(qū)域K的邊界周長與面積，ri和re分別為K的最大內接圓半徑與最小外接圓半徑． 即使K為具有光滑邊界的且關于原點對稱的閉凸區(qū)域，其Bonnesen型不等式的純分析形式的結論甚少．

M=max{p：0≤θ≤π}

m=min{p：0≤θ≤π}

因此，當K關于原點對稱時，不等式(1)，(2)，(3)等價于下面我們獲得的不等式(4)的特殊形式(5)，(6)，(7)．

設p(θ)是以π為周期的C2(二階連續(xù)可微)函數(shù)，則

(4)

特別地，當m=min{p：0≤θ≤π} 時，

(5)

當M=max{p：0≤θ≤π} 時，

(6)

從而可得

(7)

注1由于閉凸區(qū)域K的邊界C2光滑且關于原點對稱，且p(θ)+p″(θ)>0時，不等式(5)，(6)，(7)等價于經(jīng)典的Bonnesen型不等式(1)，(2)，(3)． 因此我們稱積分不等式(5)，(6)，(7)為積分形式的Bonnesen型不等式． 事實上，我們相當于為關于原點對稱且具有光滑邊界的閉凸區(qū)域K的Bonnesen型不等式，找到了一種純分析的證明．

1 主要引理

下面的引理1由文獻 [16]給出． 特別地，當a=0時，由文獻[17]利用傅里葉級數(shù)的方法得到．

引理1設g(x)，g′(x)∈L2[a，b]，其中b>a≥0，g(a)=g(b)=0，則

(8)

引理2設u(x)是以T>0為周期的連續(xù)函數(shù)，則對于任意的a，都有

(9)

證設x=t+T，有dx=dt，則

從而

2 主要結論

定理1設p(θ)是以π為周期的C2函數(shù)，則

(10)

證令

g(θ)=p(θ)-p(θ0)

因為p(θ)是以π為周期的函數(shù)，則

g(θ0+π)=p(θ0+π)-p(θ0)=p(θ0)-p(θ0)=g(θ0)=0

由(8)式可知

即

由p(θ)是以π為周期的函數(shù)，結合(9)式可知

因此

又因為

故

定理2設p(θ)是以π為周期的C2函數(shù)，則

(11)

特別地，當m=min{p：0≤θ≤π}時，

(12)

當M=max{p：0≤θ≤π}時，

(13)

證由定理1的(10)式可知

(14)

由于m=min{p：0≤θ≤π}，則存在θm∈[0，π]，使得p(θm)=m． 在(14)式中取θ0=θm，可得

由于M=max{p：0≤θ≤π}，則存在θM∈[0，π]，使得p(θM)=M． 在(14)式中取θ0=θM，可得

推論1設p(θ)是以π為周期的C2函數(shù)，若

m=min{p：0≤θ≤π}

M=max{p：0≤θ≤π}

則

證由平均值不等式

可知

根據(jù)不等式(12)，(13)可得

推論2設p(θ)是以π為周期的C2函數(shù)，則

(15)