有限群的局部化HC-子群①

周紅，劉建軍

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715

本文所討論的群皆為有限群． 許多學(xué)者利用子群的廣義正規(guī)性來研究有限群的結(jié)構(gòu)，并得到了非常有意義的結(jié)果[1-2]． 在這方面，文獻[3]引入了H-子群：設(shè)H是群G的子群，如果Hg∩NG(H)≤H對任意g∈G都成立，則稱H是G的H-子群，并通過H-子群對有限群的結(jié)構(gòu)進行了刻畫． 文獻[4]對這個概念進行了推廣，并定義了HC-子群：設(shè)H是群G的子群，如果存在G的正規(guī)子群T，使得G=HT且Hg∩NT(H)≤H對任意g∈G都成立，則稱H是G的HC-子群． 應(yīng)用此概念，文獻[5-8]研究了有限群G的某些素數(shù)冪階子群是HC-子群時有限群的結(jié)構(gòu)，獲得了非常豐富的研究成果．

本文是以上研究的延伸，考慮有限群G的Sylowp-子群P的正規(guī)化子NG(P)的HC-子群對群G的影響．

引理1[4]設(shè)H和K是群G的子群，

(i)如果H≤K且H是G的HC-子群，則H是K的HC-子群；

(ii)如果N?_G，使得N≤H，則H是G的HC-子群當(dāng)且僅當(dāng)H/N是G/N的HC-子群．

引理2[4]設(shè)H是群G的HC-子群，且H是G的p-子群． 如果N是G的正規(guī)子群且(p，|N|)=1，則HN與HN/N分別是G與G/N的HC-子群．

引理3設(shè)N是群G的正規(guī)子群，P是G的Sylowp-子群． 假設(shè)P的每個極大子群是NG(P)的HC-子群． 當(dāng)以下條件之一成立時：

(i)N是P的子群；

(ii)(p，|N|)=1．

則PN/N的每個極大子群是NG/N(PN/N)的HC-子群．

證若N≤P，則由引理1直接驗證可得．

現(xiàn)在假設(shè)(p，|N|)=1． 令M/N是PN/N的極大子群，則

M=N(M∩P)

|(PN/N)∶(M/N)|=|PN∶N(M∩P)|=|P∶M∩P|=p

故P1=M∩P是P的極大子群． 由已知可得P1是NG(P)的HC-子群，則存在NG(P)的正規(guī)子群T，使得

NG(P)=P1T(P1)g∩NT(P1)≤P1

對任意g∈NG(P)都成立． 從而

NG(P)N=(P1N)T

對任意g∈NG(P)，n∈N都成立． 于是P1N是NG(P)N的HC-子群． 由引理1可知，P1N/N=M/N是NG/N(PN/N)=NG(P)N/N的HC-子群．

引理4[4]設(shè)N是群G的極小正規(guī)子群，且H是N的子群． 如果H是G的HC-子群，則H是G的H-子群．

引理5[3]設(shè)H是群G的H-子群． 如果H?_?_K≤G，則H?_K．

定理1設(shè)p是群G的階的最小素因子，P是G的Sylowp-子群． 如果P的每個極大子群是NG(P)的HC-子群，且存在H≤G使得H是G的HC-子群，并滿足P′≤H≤Φ(P)，則G是p-冪零的．

證假設(shè)結(jié)論不真，且設(shè)G為極小階反例，分以下幾步完成證明：

步驟1Op′(G)=1．

假設(shè)Op′(G)≠1． 根據(jù)引理2和引理3，G/Op′(G)滿足定理1的條件． 由G的極小性，G/Op′(G)是p-冪零的，從而G是p-冪零的，矛盾．

步驟2 若P≤K

因為

NK(P)=NG(P)∩K≤NG(P)

所以由引理1可得，P的每個極大子群都是NK(P)的HC-子群，且存在H≤K，使得H是K的HC-子群，并滿足P′≤H≤Φ(P)，因此K滿足定理1的假設(shè)條件． 由G的極小性知，K是p-冪零的． 如果NG(P)=G，則由文獻[3]的引理2.7得到G是p-冪零的． 故NG(P)

步驟3H≠1．

假設(shè)H=1，則P′=1，即P是交換p-群． 由步驟2可知，NG(P)是p-冪零的． 設(shè)任意的Q∈Sylq(NG(P))，其中q≠p，那么PQ≤NG(P)，因此PQ是p-冪零的且PQ=P×Q，即Q≤CG(P)． 因為P是交換p-群，所以P≤CG(P)． 由q的任意性得NG(P)=CG(P)． 由Burnside定理知，G是p-冪零的，矛盾．

步驟4G′是p-冪零的．

因為H是G的HC-子群，所以存在G的正規(guī)子群T，使得

G=HTHg∩NT(H)≤H

對于任意g∈G都成立． 因為

P=P∩G=P∩HT=P∩T

所以P≤T，從而G=T． 由于P′≤H，且P/P′是交換的，因此H/P′?_P/P′，故H?_P． 于是

P∩(P′)g≤P≤NG(H)

又因為P∩(P′)g≤Hg，所以

P∩(P′)g≤Hg∩NG(H)

因此

P∩(P′)g=T∩P∩(P′)g≤T∩Hg∩NG(H)=Hg∩NT(H)≤H≤Φ(P)

由文獻[9]的Grün定理，可得

P∩G′=〈P∩(P′)g，P∩(NG(P))′|g∈G〉

根據(jù)NG(P)的p-冪零性，可得

P∩G′=〈P∩(P′)g|g∈G〉≤Φ(P)

應(yīng)用文獻[10]的Tate定理，G′是p-冪零的．

步驟5

由步驟4，可以假設(shè)B是G′的正規(guī)p-補，則B?_G，這與步驟1的結(jié)論矛盾，因此G′≤P． 這時

G′=P∩G′≤Φ(P)

故G′≤Φ(G)，從而G是p-冪零的．

注1

(i)定理1中的假設(shè)“H是G的HC-子群”是必不可少的． 例如，令G=S4且P∈Syl2(G)． 因為P=NG(P)，所以P的每個極大子群都是NG(P)的HC-子群，且P′=Φ(P)是HC-子群． 但G不是2-冪零的．

(ii)定理1中的假設(shè)“p是|G|的最小素因子”也是必不可少的． 例如，設(shè)P是A5的Sylow 3-子群． 顯然P的每個極大子群都是NG(P)的HC-子群，且P′=Φ(P)是HC-子群． 但A5不是3-冪零的．

推論1設(shè)p是整除群G的階的素因子． 如果對任意的p，都存在G的Sylowp-子群P，使得P的每個極大子群是NG(P)的HC-子群，且存在H≤G，使得H是G的HC-子群，并滿足P′≤H≤Φ(P)，那么G是超可解型的Sylow塔群．

證當(dāng)p是群G的階的最小素因子時，G是p-冪零的． 設(shè)K是G的正規(guī)p-補，顯然K滿足假設(shè)，由歸納法可知K是超可解型的Sylow塔群． 因此G是超可解型的Sylow塔群．

定理2設(shè)F是包含超可解群系U的飽和群系，N是群G的正規(guī)子群，且G/N∈F． 如果對N的任一Sylowp-子群P，P的每個極大子群是NG(P)的HC-子群，且存在H≤G，使得H是G的HC-子群并滿足P′≤H≤Φ(P)，則G∈F．

證假設(shè)定理2不真，且設(shè)G為極小階反例． 接下來我們分情況進行討論：

情形1N是p-群．

假設(shè)Φ(N)≠1． 根據(jù)

Φ(N)?_GG/Φ(N)?(G/Φ(N))/(N/Φ(N))

并應(yīng)用引理2和引理3，可得G/Φ(N)滿足定理2的假設(shè)條件． 由G的極小性得G/Φ(N)∈F，故G/Φ(G)∈F，從而G∈F，矛盾． 因此Φ(N)=1．

設(shè)L是G包含在N的極小正規(guī)子群，容易證得G/L滿足定理2的假設(shè)條件． 由G的極小性，可得G/L∈F． 不難看出L≤/Φ(G)． 由文獻[11]的引理2.6，可以假定

N=L1×L2×…×Ls

這里L(fēng)1，…，Ls皆是G的極小正規(guī)子群． 易證G/Li∈F，其中i∈{1，…，s}． 如果s>1，則

G?G/(L1∩L2)∈F

因此N=L1是G唯一的極小正規(guī)子群． 令N1是N的極大子群，根據(jù)假設(shè)條件，N1是NG(N)=G的HC-子群． 由引理4可知，N1是G的H-子群． 再應(yīng)用引理5，可得N1?_G． 由N的極小正規(guī)性得N1=1，故N是p階循環(huán)群． 應(yīng)用文獻[12]的引理2.16，可以得出G∈F，矛盾．

情形2N不是素數(shù)冪階群．

由推論1可得，N是一個超可解型的Sylow塔群． 令q是N的階的最大素因子，Q是N的Sylowq-子群，則

Q?_G(G/Q)/(N/Q)?G/N∈F

顯然G/Q對其正規(guī)子群N/Q滿足定理2的假設(shè)條件． 由G的極小性得G/Q∈F，根據(jù)情形1可得G∈F． 定理2得證．

推論2對于群G的任一Sylowp-子群P． 如果P的每個極大子群是NG(P)的HC-子群，且存在H≤G，使得H是G的HC-子群并滿足P′≤H≤Φ(P)，則G是超可解群．