自適應匹配追蹤算法在齒輪故障特征提取的應用

熊林瑞，韓振南，李延峰

（太原理工大學機械工程與運載學院，山西 太原 030024）

1 引言

齒輪作為齒輪箱的重要部件，在現代科技中有著不可替代的作用。由于齒輪自身的旋轉特性而產生的周期性沖擊振動，同時齒輪的早期點蝕故障信號特別微弱，稀疏性差，這給齒輪早期的故障分析帶來了考驗。

為了實現對齒輪箱故障信號進行更加精確的分析，近年來，文獻[1-2]提出了壓縮感知理論（CS），CS以低于Nyquist采樣率的速度進行信號采樣。先通過觀測矩陣將稀疏信號從高階數據線性投影為低階數據，最后再從低階數據精確地重構原信號，重構的信號剔除了大部分不重要的信息[3]，保留了原信號的主要數據特征，這給信號分析帶來了新的方向。CS理論壓縮信號的方法包括正交匹配追蹤算法（OMP）[4]算法，匹配追蹤算法（MP）[5]，核匹配追蹤算法（KMP）[6]等。將匹配追蹤算法用于齒輪的故障診斷，重構出齒輪故障信號，達到降噪的目的，通過時頻分析，能夠發現齒輪箱的故障。但匹配追蹤算法每次迭代的結果是次最優的，這導致重構的信號精度不夠，需要的內存大，運行時間長，效率低。OMP算法需要多次去選擇信號的稀疏度，而稀疏度的選取直接影響算法重構信號的精度，且OMP算法迭代過程中每次只選擇一個原子來更新子集合，這都導致重構時間過長。而且每次重構時恢復數據的計算存在誤差，同時需要較多的觀測次數，對于稀疏性差的信號重構的質量也相對較低。主要采用自適應匹配追蹤（SAMP）算法提取齒輪的故障特征。與其他匹配追蹤算法相比，SAMP算法可以在未知道信號稀釋度的情況下，應用回溯思想，通過采用逐步更新步長，不斷增加原子規模的方法，來更加精確的重構故障信號，降低故障噪聲，同時減少了重構的時間。對于稀疏性差的信號也能有相對好的處理效果。

2 自適應匹配追蹤原理（SAMP）

SAMP算法對所有符合RIP[7]條件的觀測矩陣和稀疏信號都可以準確重構，且不需要預知稀疏度。先通過觀測矩陣將稀疏信號從高階數據線性投影為低階數據，最后再從低階數據精確地重構原信號，剔除了大部分不重要的信息，保留了原信號的主要數據特征。SAMP算法應用回溯思想[8]，在稀疏度K未知的前提下，在迭代的過程中，自適應的選擇最佳的匹配原子根據新殘差與舊殘差的比較來確定選擇原子的個數。SAMP算法分多階段迭代，在每個階段自適應改變支撐集的大小，經過迭代從候選集中選擇支撐集中的原子，不斷自適應更新支撐集，實現在未知K的情況下達到信號稀疏的目的。其基本原理，如圖1（a）所示。

圖1 自適應匹配追蹤算法框圖Fig.1 Block Diagram of Adaptive Matching Tracking Algorithm

假設信號x在稀疏矩陣ψ下是稀疏的，則：x=ψθ

式中：θ—x的稀疏表示。

由壓縮感知理論可知測量矩陣為：y=Φx

式中：Φ—測量矩陣；y—測量矩陣。當滿足一定條件下，能夠通過測量矩陣y精確重構信號x：min‖x‖0，s.t.y=Φx。

SAMP算法的流程圖，如圖1（b）所示。其中輸入：觀測值y，M×N感知矩陣A=ΦΨ，步長S。

初始化：r0=y，F=Θ，S=Θ，L=S，t=1，殘差rt；迭代次數t；索引集合Λt；元素個數L。

其中，選擇u中L個最大值，將這些值對應A的列序號j構成集合Sk（列序號集合）。SAMP算法分多階段迭代，在每個階段不改變支撐集的大小，則：

逐步更新殘差，直到滿足迭代條件：

由于大多數信號不具備稀疏性，需要選取合適的測量矩陣和稀疏矩陣。構造了一個N×N的隨機高斯測量矩陣Φ，稀疏矩陣選擇單位矩陣，運用到SAMP算法能夠處理稀疏性差信號，且重構精度高。步長的選取也影響重構的精度，處理齒輪箱故障振動信號時，選擇固定步長為5，經過驗證能夠保證稀疏度估計的準確性。改變以往匹配類追蹤算法選擇設置迭代步數作為終止條件的方法，把殘差值是否達到為零作為終止條件，能夠更加有效的使噪聲值降到最低，更加有效的提取故障的主要特征。

3 仿真試驗信號

齒輪箱的振動信號是所有齒輪副振動情況的綜合，由于轉軸對各頻率都有調制作用，形成調幅，調頻，和混合調制信號。其齒輪的故障信號模型［9］為：

式中：M—嚙合頻率的最高階次；fn—調制頻率；fz—嚙合頻率；Xm—振幅；B—調幅的指數；β—調頻的調制系數；n(t)—噪聲。

簡化齒輪的故障信號數學模型，便于分析齒輪故障。取一兩分量的調幅調頻模擬測試信號x（t），其表達式如下：

采樣頻率Fs=2048Hz；采樣長度為2048點。仿真信號中齒輪的雙調制信號載波頻率分別是300Hz和500Hz，調制頻率分別為20Hz和50Hz。在理想狀況下的分析往往并不能很好的說明問題，為了進一步研究SAMP算法的有效性，給原始信號加上-10dB的白噪聲結果，如圖2所示。

圖2 純凈信號分析圖Fig.2 Pure Signal Analysis Diagram

功率譜圖出現了載波頻率300Hz，以及（300-20）Hz和（300+20）Hz的邊頻帶，也出現了載波頻率500Hz以及其（500-50）Hz，（500+50）Hz的邊頻帶，且500Hz邊頻帶幅值大于300Hz（符合500Hz的調制系數大于300Hz的特征），故障特征明顯，但在低頻段沒有出現調制頻率20Hz和50Hz，如圖2（b）所示。進一步分析，圖2（c）包絡譜圖中在低頻段出現調制頻率分別為20Hz和50Hz及其倍頻，但載波頻率及其邊頻被抑制，對比圖2（b）和圖2（c）故障特征明顯。功率譜圖出現了載波頻率邊頻帶，但幅值很小基本淹沒于干擾成分中，如圖3（b）所示。進一步分析，包絡譜圖中在低頻段出現調制頻率分別為20Hz和50Hz及其倍頻，同樣淹沒于噪聲中，故障特征不明顯，如圖3（c）所示。

圖3 加噪信號分析圖Fig.3 Analysis Diagram of Signal with Noise

功率譜圖出現了載波頻率300Hz，以及（300-20）Hz和（300+20）Hz的邊頻帶，也出現了載波頻率500Hz以及其（500-50）Hz，（500+50）Hz的邊頻帶，且500Hz邊頻帶幅值大于300Hz（符合500Hz的調制系數大于300Hz的特征），故障特征明顯，但在低頻段沒有出現調制頻率20Hz和50Hz，如圖4（b）所示。包絡譜圖中在低頻段出現調制頻率分別為20Hz和50Hz及其倍頻，但載波頻率及其邊頻被抑制，如圖4（c）所示。

對比圖2（a）～圖4（a），能夠得出結論，經過SAMP算法處理的故障信號時域波形圖和沒有經過處理的加噪故障信號相比，時域波形周期性振蕩更加明顯。和純凈信號時域波形相比，SAMP算法能夠提取噪聲，且重構精度較高。對比圖2和圖4（b）、圖4（c），可以得出經過SAMP算法處理后能夠提取齒輪的主要故障特征。對比圖3和圖4（b）、圖4（c），經過SAMP算法處理過的加噪齒輪故障信號，能夠很明顯的提取載波頻率及其邊頻帶，降低干擾成分。由以上分析可知，SAMP算法能夠降低噪聲，提取齒輪的主要故障特征。

圖4 SAMP重構加噪原始信號時頻圖Fig.4 Time-Frequency Diagram of SAMP Reconstruction and Noise of Original Signal

4 基于SAMP的齒輪箱故障診斷

為了進一步驗證SAMP算法在處理齒輪故障的有效性，2018年7月至2018年11月做齒輪的故障實驗，通過加速度傳感器收集振動信號，試驗過程中，4個加速度傳感器安裝在齒輪箱上殼體上，同時接受振動數據保證接受數據的同步性。電動機的轉速為1200（r/min）左右，實驗齒輪齒數為18齒，為了加快獲取齒輪的故障信號，采用1：1半齒嚙合。采樣點數設置為1000，采樣頻率為12000Hz左右。實驗采用逐級加載，每隔一個小時加載一次，從200N/M，300N/M，500N/M，800N/M一直加載到1000N/M，將一個正常齒輪運轉到出現點蝕情況停止。試驗數據采集，每隔半個小時用YE7600動態數據采集儀記錄一次數據，每隔1個小時停機打開箱蓋檢查齒面情況。通過計算可得，齒輪的嚙合頻率為360Hz轉頻為20Hz。

實驗完成后整理齒輪的故障數據，現在選取一組出現故障的數據分別做原始信號和重構信號時頻分析，由于在數學模型仿真階段得出結論包絡譜圖能夠達到好的效果，在實驗數據分析部分采用包絡譜分析，同時將SAMP算法對比OMP算法結果，如圖5所示。圖5中為SAMP算法和ROMP，OMP算法稀疏度K與重構精度關系對比圖。根據壓縮重構理論可知數據稀疏性越好，稀疏度越小，則重構精度越高。如圖所示在處理齒輪箱故障數據時，由于故障信號的稀疏度未知，設K=（10，20，30，40，50，60，70）作為橫坐標。精確重構概率百分比作為縱坐標。如圖5所示，不同算法在不同稀疏度下重構概率不同，且整體隨著稀疏度的增大精確重構的概率降低，下降最快的是ROMP算法，下降最慢的是SAMP算法。SAMP算法在稀疏度小于60以下，基本能夠精確重構故障信號。相比ROMP和OMP，SAMP算法能夠更好的處理稀疏性差的信號。從圖6（b）中原始信號包絡譜圖中出現嚙合頻率360Hz以及半頻180Hz，但沒有出現明顯的邊頻帶，干擾成分較多，嚙合頻率及其變頻帶基本被掩蓋，故原信號的包絡譜圖不能很好的體現故障特征。

圖5 稀疏度K與重構精度關系圖Fig.5 Relation Graph Between Sparsity K and Reconstruction Accuracy

圖6 原始故障信號時域和包絡譜圖Fig.6 Time Domain and Envelope Spectra of Original Fault Signals

OMP重構故障信號包絡譜圖中出現嚙合頻率360Hz以及半頻180Hz，及其轉頻的半頻10Hz和轉頻的3倍頻，但嚙合頻率360Hz峰值較低，如圖6所示。邊頻帶被完全掩蓋，任然存在大量的干擾成分，如圖7所示。經OMP算法處理過的故障信號的包絡譜圖不能很好的體現故障特征。

圖7 OMP重構故障信號時域和包絡譜圖Fig.7 OMP Reconstruction Fault Signal Time Domain and Envelope Spectrum

出現齒輪嚙合頻率360Hz和半頻180Hz，且振幅增高，180±的邊頻帶，如圖8（b）所示。在低頻段出現轉頻20Hz的半頻，基本沒有干擾成分，故障特征明顯。

圖8 OMP重構故障信號時域和包絡譜圖Fig.8 OMP Reconstruction Fault Signal Time Domain and Envelope Spectrum

對比圖6（b）原始信號的包絡譜圖，能夠看到經過SAMP處理后齒輪嚙合頻率以及半頻和轉頻更加明顯，邊頻帶也更加突出，干擾成分降到最低。證明SAMP算法能夠提取主要齒輪故障特征信息，有效降低噪聲影響。對比圖7（b），相對于OMP算法處理齒輪故障信息，進過SAMP算法處理的故障信號，故障特征更加明顯，且重構信號精度更高，證明SAMP算法對于OMP算法，齒輪故障特征的提取具有更好的發展前景。

5 結論

與其他匹配類追蹤算法對比，在稀疏度K未知的前提下，SAMP具有更高的重構精度。對于稀疏度低的故障信號，重構精度可以達到100%。通過選取合適的字典庫，步長，以及迭代終止準則，使SAMP算法能夠運用于齒輪箱的故障診斷。對仿真和齒輪故障實驗實測信號的分析，與OMP算法相比，SAMP算法重構的齒輪故障信號精度更高，能夠更好的提取故障特征，為齒輪的故障分析提供了一個全新的方向。

但在應用過程中也有不足之處。如，在處理稀疏性特別差的齒輪故障振動數據時，重構精度不高；由于SAMP算法是固定步長的方法來逼近稀疏度，可能會影響算法重構精度和效率。這里為后續變步長自適應匹配追蹤算法的研究奠定了基礎。