基于反推滑模的船舶動(dòng)力定位有限時(shí)間控制

陳海力，任鴻翔，李源惠，關(guān) 巍

(大連海事大學(xué)航海學(xué)院，遼寧 大連 116026)

1 引言

動(dòng)力定位技術(shù)是指水面船舶依靠自身的動(dòng)力抵抗反步(風(fēng)、浪、流等)，保證船舶以一定姿態(tài)保持在某一確定位置或精確地跟蹤設(shè)計(jì)的軌跡[1]。與傳統(tǒng)錨泊定位相比，動(dòng)力定位具有操作方便、避免破壞海床、降低定位成本的優(yōu)勢(shì)[2]。動(dòng)力定位作為動(dòng)力定位技術(shù)重要的控制方法受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。

近些年來(lái)，非線性控制理論的研究得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，已然成為了當(dāng)今控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)。對(duì)船舶動(dòng)力定位控制而言，反推算法、滑模控制算法、模型預(yù)測(cè)控制算法等非線性控制策略被成功地應(yīng)用到船舶的動(dòng)力定位控制理論研究中，并且與傳統(tǒng)的PID、最優(yōu)控制等線性控制策略相比，獲得了更好的仿真結(jié)果。其中，基于反推算法的船舶動(dòng)力定位控制研究十分活躍。文獻(xiàn)[3]采用了矢量逆推的方法，設(shè)計(jì)了船舶動(dòng)力定位控制律，并得到全局指數(shù)穩(wěn)定的結(jié)果；文獻(xiàn)[4]將動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)與矢量逆推方法相結(jié)合，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)魯棒控制律，解決了環(huán)境干擾的不確定性問(wèn)題以及“計(jì)算膨脹”的問(wèn)題；文獻(xiàn)[5]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近模型的外界干擾，結(jié)合“最少學(xué)習(xí)參數(shù)”設(shè)計(jì)思想，使在線學(xué)習(xí)參數(shù)的個(gè)數(shù)大為減少，解決了“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題，降低了控制器的計(jì)算負(fù)擔(dān)；文獻(xiàn)[6]基于反推算法提出一種輸出反饋控制器，并采用自適應(yīng)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)船舶的速度與未知參數(shù)；文獻(xiàn)[7]考慮了船舶位置、艏向以及速度未知的情況，基于一種高增益觀測(cè)器設(shè)計(jì)了一種輸出反饋控制器。

上述文獻(xiàn)采用的反推控制策略僅能夠獲得閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)收斂，系統(tǒng)的狀態(tài)在無(wú)窮大的時(shí)間收斂到平衡點(diǎn)或者平衡點(diǎn)附近小的鄰域內(nèi)。

然而，從實(shí)際的應(yīng)用角度來(lái)講，閉環(huán)系統(tǒng)盡快地穩(wěn)定到平衡點(diǎn)才更具有現(xiàn)實(shí)的意義。有限時(shí)間控制方法[6，7]因其具有限的時(shí)間收斂的特性以及更好的抗干擾能力，在眾多的控制方法中脫穎而出。有限時(shí)間控制理論自創(chuàng)立以來(lái)，在水下機(jī)器人控制[10，11]、機(jī)械手臂控制[12，13]及航天器姿態(tài)控制[14，15]等領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用，并取得了大量的研究成果。然而，就船舶動(dòng)力定位控制而言，卻鮮有相關(guān)的研究成果，文獻(xiàn)[16]基于有限Lyapunov理論，提出了一種自適應(yīng)反推動(dòng)力定位有限時(shí)間控制器，并對(duì)模型的不確定性以及外界干擾的上界利用REF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行自適應(yīng)逼近；文獻(xiàn)[17]則將反推算法與終端滑模方法進(jìn)行結(jié)合設(shè)計(jì)了一種非奇異反推滑模有限時(shí)間魯棒控制算法，但是，在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)的區(qū)域，系統(tǒng)狀態(tài)收斂緩慢，遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)的指數(shù)收斂速度。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上，參考文獻(xiàn)[18]終端滑模設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)了一種反推非奇異快速終端滑模有限時(shí)間控制算法。與傳統(tǒng)終端滑模控制相比，在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)區(qū)域，系統(tǒng)具有更快的收斂速度，更小的穩(wěn)態(tài)誤差。此外，對(duì)外界干擾上界進(jìn)行自適應(yīng)補(bǔ)償，控制律中不包含滑模的切換項(xiàng)，保證了控制律的連續(xù)性，解決了抖振問(wèn)題。

2 引理假設(shè)與船舶模型的描述

2.1 引理與假設(shè)

考慮如下非線性系統(tǒng)

(1)

式中，x為狀態(tài)變量，u為輸入變量，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(0)=0。假設(shè)存在時(shí)間函數(shù)T(x)，使得對(duì)于所有的t≥T(x)的x(t)=0恒成立，則稱系統(tǒng)(1)是有限時(shí)間穩(wěn)定的[19]。

(2)

式中，V(x0)為V(x)的初始值。

(3)

式中，0<θ≤1，V(x0)為V(x)的初始值。

引理3：對(duì)于任意實(shí)數(shù)xi，i=1，2，…，n，如果存在r∈(0，1)，則有下列不等式成立[22]

(4)

引理4：對(duì)于任意a∈，b∈，p≥1，則有下列不等式成立[23]

|a+b|p≤2p-1|ap+bp|，

(|a|+|b|)1/p≤|a|1/p+|b|1/p

(5)

引理5：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)c，d和任意正值函數(shù)γ(x，y)>0，則有下式成立[24]

|x|c|y|d≤c/c+dγ(x，y)|x|c+d+

d/c+dγ(x，y)-c/d|y|c+d

(6)

2.2 船舶數(shù)學(xué)模型

針對(duì)控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)，僅考慮船舶三個(gè)自由度(縱蕩、橫蕩和艏揺)的運(yùn)動(dòng)，建立如下數(shù)學(xué)模型[25]

(7)

(8)

(9)

(10)

D(υ)υ=

(11)

式中，η=[x，y，ψ]T∈3為固定坐標(biāo)下船舶的位置和艏搖角，υ=[u，v，r]T∈3為隨船坐標(biāo)系下的縱蕩、橫蕩的速度及艏揺角速度，R(ψ)為固定坐標(biāo)系與隨船坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣，M為慣性矩陣(包含水動(dòng)力附加質(zhì)量)正定可逆，且為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。D(υ)為非線性阻尼矩陣，為了系統(tǒng)仿真而設(shè)計(jì)，X*，Y*，Ν*為三個(gè)自由度的水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)。實(shí)際上為了控制器設(shè)計(jì)的方便，將線性阻尼項(xiàng)D代替非線性阻尼項(xiàng)D(υ)。

τ=[τu，τv，τr]T∈3為系統(tǒng)控制輸入矢量，τw=[τwu，τwv，τwr]T∈3為風(fēng)浪流等引起的外界環(huán)境干擾。

3 控制器的設(shè)計(jì)

首先，在運(yùn)動(dòng)學(xué)回路，基于反推算法設(shè)計(jì)有限時(shí)間虛擬控制律；在動(dòng)力學(xué)回路，以虛擬控制律為跟蹤目標(biāo)設(shè)計(jì)自適應(yīng)非奇異快速滑模控制律。

第一步：設(shè)計(jì)虛擬控制律aυ

定義如下動(dòng)力定位船舶的定位誤差和速度誤差

ηe=η-ηr

(12)

υe=υ-aυ

(13)

式中，ηr為動(dòng)力定位參考點(diǎn)，ηe為定位誤差，aυ為速度誤差，aυ為虛擬控制律速度誤差，令

aυ=-R(ψ)-1K1Sig(ηe)a

(14)

式中

K1=diag(k11，k12，k13)，0

由式(7)和式(12)得

(15)

將式(13)帶入上式得

(16)

選擇如下Lyapunov函數(shù)

(17)

對(duì)V1求導(dǎo)得

(18)

將aυ帶入上式得

(19)

(20)

第二步：設(shè)計(jì)實(shí)際的控制律τANTSMC

參考文獻(xiàn)[18]，設(shè)計(jì)非奇異快速終端滑模面

(21)

式中，

d1=diag(d11，d12，d13)，d2=diag(d21，d22，d23)

設(shè)計(jì)如下包含未知干擾上界估計(jì)的自適應(yīng)非奇異快速終端滑模控制律

τANTSMC=τNTSMC-τm

(22)

式中，τNTSMC為非奇異快速終端滑模控制律，τm為未知干擾的補(bǔ)償。

(23)

(24)

(25)

選擇如下的Lyapunov函數(shù)

(26)

對(duì)V3求導(dǎo)并代入式(19)、(21)得

(27)

根據(jù)假設(shè)1，并將式(9)、(14)、(22)和(25)代入式(27)中得

(28)

應(yīng)用雙曲正切函數(shù)tanh(·)的性質(zhì)，對(duì)于?>0，a∈，有

式中，β是滿足β=e-(β+1)的常數(shù)，即β=0.2785，則

式中，E=[ε1，ε2，ε3]T。

(29)

式中

λmin(·)和λmax(·)分別為矩陣特征值的最小值和最大值。

(30)

由式(29)、(30)得

(31)

由引理5得

則式(31)為

(32)

(33)

(34)

4 仿真與分析

為了驗(yàn)證提出控制算法的有效性，將非奇異快速終端滑模控制策略τNTSMC，自適應(yīng)非奇異快速終端滑模控制策略τANTSMC及文獻(xiàn)[4]的控制策略，三種控制算法的控制效果進(jìn)行對(duì)比分析。

為了便于分析系統(tǒng)的控制效果，文獻(xiàn)[4]的控制策略中忽略對(duì)未知外界干擾的估計(jì)。

選擇一艘質(zhì)量m=4.591×106kg，總長(zhǎng)L=76.2 m的動(dòng)力定位船舶[17]進(jìn)行仿真研究。船舶模型參數(shù)如下

Xu=5.0242×104，Yv=2.7229×105，

Yr=-4.3933×106，Y|v|v=1.7860×104，

X|u|u=1.0179×103，Y|v|r=-3.0068×105，

Nv=-4.3821×106，Nr=4.1894×108，

N|v|v=-2.4684×105，N|v|r=6.5759×106.

船舶初始狀態(tài)為η(0)=[20 m，20 m，20 deg]T，υ(0)=[0 m/s，0 m/s，0 deg/s]T，期望參考點(diǎn)為ηr=[0 m，0 m，0 deg]T，環(huán)境干擾力和力矩為

風(fēng)速Vwind=6 m/s，風(fēng)向ψwind=60deg ，干擾項(xiàng)中參數(shù)的具體含義，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[27].

設(shè)計(jì)控制算法的參數(shù)為

k11=k12=0.18，，k13=0.038，a=q=5/7，

k21=9.3×105，k22=1.5×106，k23=2.0×109，

k31=k32=9.3×104，k33=9.6×107，k41=7.3×10-8，

k42=8.3×10-8，k43=1.6×10-10，d11=0.09，

d12=0.1，d13=0.01，d21=0.1，d22=0.08，

d23=0.013，ε1=0.02，ε2=0.01，ε3=0.0001

仿真結(jié)果如圖1-6和表1-2所示。

圖1 船舶在xy平面內(nèi)位置變化

圖2 控制力τu，τv和控制力矩τr歷時(shí)曲線

圖3 船舶位置x，y和艏向角ψ歷時(shí)曲線

圖4 速度u，v和角速度r歷時(shí)曲線

圖5 增大干擾后控制力τu，τv和力矩τr

圖6 增大干擾后船舶位置x，y和艏向角ψ

由圖1可知，本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制策略τANTSMC能夠抵抗外界干擾，驅(qū)動(dòng)船舶順利地到達(dá)并保持在預(yù)設(shè)的位置上，效果良好。

圖2-4顯示了三種控制策略的對(duì)比效果。從圖3-4可以看出，圖2中三種控制方法均能夠保證船舶的位置和艏向以及船舶的速度從初始點(diǎn)驅(qū)動(dòng)到參考點(diǎn)附近，且三個(gè)方向上的收斂速率符合實(shí)際要求。

從圖3的船舶位置和艏向的收斂軌跡可以看出，與傳統(tǒng)反推控制策略τback相比，有限時(shí)間控制策略τNTSMC和τANTSMC保證系統(tǒng)在三個(gè)方向上的收斂速度更快。因此驗(yàn)證了有限時(shí)間控制策略具有更快的暫態(tài)響應(yīng)速度。

表1 三種控制律的誤差絕對(duì)積分對(duì)比

通過(guò)表1可以看出，在文獻(xiàn)[4]傳統(tǒng)反推控制策略τback的作用下，系統(tǒng)在三個(gè)自由方向上誤差絕對(duì)值積分分別達(dá)到了25858.46、43767.40和284963.11，而非奇異快速終端滑模控制策略τNTSMC保證系統(tǒng)誤差絕對(duì)值積分分別為8077.87、8858.19及35176.20，下降了68.76%、79.76%和87.66%。該結(jié)果充分證明了有限時(shí)間控制策略具有更佳的穩(wěn)態(tài)性能(即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與傳統(tǒng)反推控制策略相比更小)。

另外，與控制策略τNTSMC相比，自適應(yīng)非奇異快速終端滑模控制策略τANTSMC對(duì)外界干擾進(jìn)行了補(bǔ)償，進(jìn)一步提高了有限時(shí)間控制策略的穩(wěn)態(tài)性能與魯棒性。該策略τANTSMC在保證系統(tǒng)有限時(shí)間收斂的情況下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定到參考點(diǎn)更小的范圍內(nèi)，三個(gè)自由度方向的誤差絕對(duì)值積分為了7929.98、8743.66和30513.82。與控制策略τNTSMC相比，分別減少了147.89、114.53和4662.38，充分驗(yàn)證了自適應(yīng)干擾補(bǔ)償?shù)挠行浴?/p>

通過(guò)上面的分析可知，提出的自適應(yīng)非奇異快速終端滑模控制策略τANTSMC不僅收斂速度快，而且在三種控制算法中具有最佳的穩(wěn)態(tài)性能。

此外，為了進(jìn)一步驗(yàn)證控制策略τANTSMC的性能優(yōu)勢(shì)，考慮增大外界干擾作進(jìn)一步仿真，風(fēng)速增大到Vwind=12m/s，風(fēng)向不變。

表2 增大干擾后三種控制律的誤差絕對(duì)積分

圖5表明，在增大外界干擾后，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，控制器的輸出開始增大，并且在船舶艏向方向上甚至出現(xiàn)抖動(dòng)的現(xiàn)象。從圖6看出，有限時(shí)間控制策略仍然具有暫態(tài)響應(yīng)速度的優(yōu)勢(shì)。而對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，從圖6和表2可以看出，由于外界干擾的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差開始變大。對(duì)比表1和表2，三種控制算法對(duì)應(yīng)的誤差絕對(duì)值積分也相應(yīng)增大，例如，傳統(tǒng)反推滑模控制策略τback使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差從原來(lái)的25858.46、43767.40和284963.11陡增到了46584.76、48076.90和451548.75。

然而，與控制策略τback相比，非奇異快速終端滑模控制策略τNTSMC仍具有穩(wěn)定性和魯棒性上的優(yōu)勢(shì)。控制策略τNTSMC的誤差絕對(duì)值積分為8364.55、8978.03和208318.23，仍然遠(yuǎn)小于反推控制策略τback的誤差絕對(duì)值積分值。此外，由于對(duì)外界干擾的自適應(yīng)補(bǔ)償，自適應(yīng)控制策略τANTSMC的穩(wěn)定性與魯棒性依舊是三種控制算法中最好的，誤差絕對(duì)值積分分別為8300.77、8961.59和113270.04。其中，與控制策略τNTSMC相比，誤差絕對(duì)值積分在船舶艏向上下降最為明顯，達(dá)到了45.63%。

綜上兩次仿真及分析可知，提出的自適應(yīng)非奇異快速終端滑模控制策略τANTSMC與傳統(tǒng)反推滑模控制策略τback相比，既具有暫態(tài)響應(yīng)的優(yōu)勢(shì)也具有穩(wěn)態(tài)性能優(yōu)勢(shì)。而與非奇異快速終端滑模控制策略τNTSMC相比，控制策略τANTSMC則具有更好的穩(wěn)定性與魯棒性。

5 結(jié)論

本文針對(duì)存在未知外界干擾的船舶動(dòng)力定位控制問(wèn)題，基于有限時(shí)間控制理論，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)非奇異快速終端滑模控制算法。仿真證明，與傳統(tǒng)反推算法相比，非奇異快速終端滑模控制具有有限時(shí)間收斂及穩(wěn)定性能上的優(yōu)勢(shì)。另外，在非奇異快速終端滑模控制算法的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)干擾的自適應(yīng)補(bǔ)償，使得閉環(huán)系統(tǒng)的收斂到參考點(diǎn)更小的領(lǐng)域內(nèi)，穩(wěn)定誤差進(jìn)一步減小，充分地證明了該算法具有更好的穩(wěn)定性能和抗干擾能力。