基于L1輸出反饋自適應方法的火箭姿態控制

蘇秀健，吳國強，周文雅，賀從園

(1.大連理工大學航空航天學院，遼寧 大連 116024；2.上海航天控制技術研究所，上海 201109)

1 引言

伴隨著對火箭運載能力等方面的不斷追求，火箭系統朝著大型、重型發展，新一代運載火箭彈性振動模態頻率偏低，且隨著其尺寸的增加，考慮到試驗規模、研制周期和研制成本等方面，擬取消全箭模態實驗，改用子結構實驗與模態綜合技術代替，因此需要將基于精確模型的PID控制改進為先進的自適應控制等方法[1]。由Cao和Naira提出的L1自適應控制能夠在飛行器模型參數發生不確定變化的情況下依然具有良好的目標信號跟蹤性能[2-5]，但針對運載火箭尤其是剛—彈耦合箭體的穩定控制而言，L1自適應方法的研究目前比較匱乏。

目前，國內關于L1自適應控制理論的研究主要集中于狀態反饋形式，且控制對象皆為剛體，如：無人飛艇[6]，高超音速飛行器[7]等。考慮到被控系統存在狀態變量不可測或者不可控的特點，采用全狀態反饋的狀態反饋L1自適應控制就不再適用[8]，其中包括本文研究對象運載火箭，因此采用輸出反饋L1自適應方法對其進行穩定控制，目前關于該形式的研究在外文文獻中有所涉獵[9-11]，但針對運載火箭進行相關參數設計、討論以及仿真的情況較少。

本文以運載火箭俯仰通道為研究對象，基于L1輸出反饋自適應方法設計控制器以實現穩定控制，創新點在于探究利用L1控制器自身結構實現剛—彈耦合箭體穩定時低階頻率分布規律，并且結合校正網絡思想提出一種實現低頻模態運載火箭穩定控制的L1自適應方法。

2 運載火箭動力學模型

依據文獻[12]，剛體火箭俯仰通道姿態角動力學方程為

(1)

式中：Δφ為俯仰角，Δα為攻角，舵偏角δφ為控制變量，b1、b2、b3為剛體運動方程系數。

火箭的彈性振動方程可由下面二階常微分方程描述

(2)

式中：qi為第i階彈性振動對應的廣義位移，ωi和ξi為第i階彈性振動廣義位移對應的頻率和阻尼比系數。

另外姿態測量元件除測量出剛體姿態運動信號外，還測量出彈性振動產生的附加姿態信號

(3)

則完整的剛—彈耦合箭體動力學方程如下

(4)

3 L1輸出反饋自適應控制理論

3.1 基本結構

L1輸出反饋控制系統由被控對象、狀態觀測器、自適應律、控制律四部分組成。狀態觀測器負責估計和監視被控對象的輸出及變化，自適應律調節待估計的參數，控制律由初步控制律及低通濾波器組成，初步控制律根據自適應律提供的估計參數和給定的參考信號及時調整控制信號，低通濾波器將控制量中的高頻信號濾掉[13]。

1)被控系統

將一個單輸入單輸出系統描述為以下形式

y(s)=A(s)[u(s)+d(s)]

(5)

式中：u(s)是輸入信號，y(s)是系統輸出，A(s)是嚴格正則的傳遞函數，d(s)是描述模型不確定性及干擾信號d(t)的Laplace變換。

設r(t)為給定的有界連續參考輸入信號，控制系統的目標就是設計一個自適應輸出反饋控制器u(t)，保證系統輸出y(t)跟蹤參考輸入r(t)經理想傳遞函數M(s)后的信號，即y(s)≈M(s)r(s)，其中M(s)是最小相位穩定傳遞函數，則式(5)可重新描述為如下形式

y(s)=M(s)[u(s)+σ(s)]

(6)

式中

(7)

(8)

2)狀態觀測器

狀態觀測器與被控對象形式類似，定義如下

(9)

3)自適應律

(10)

式中：Q是正定矩陣，由P是正定對稱矩陣可知，總是存在非奇異矩陣使下式成立

(11)

(12)

并且令

(13)

(14)

(15)

式中

(16)

(17)

4)控制律

由式(9)可得，狀態觀測器輸出為

(18)

被控對象與狀態觀測器具有一致的動力學特性，結合控制器設計目標y(s)≈M(s)r(s)，可得經過低通濾波器C(s)之后的控制律表達式為

(19)

綜上所述，L1輸出反饋自適應控制的結構如圖1所示。

圖1 L1輸出反饋自適應控制框圖

3.2 系統性能分析

引入閉環參考系統式(20)-(22)，它是L1自適應輸出反饋控制器的非自適應形式。

yref(s)=M(s)[uref(s)+σref(s)]

(20)

(21)

uref(s)=C(s)[r(s)-σref(s)]

(22)

由(21)和(22)可知

(23)

由式(20)和(21)得：

yref(s)=A(s)[uref(s)+dref(s)]

(24)

將式(23)代入式(24)中得：

yref(s)=H(s){C(s)r(s)+[1-C(s)]dref(s)}

(25)

式中

(26)

由式(25)可得，閉環系統穩定(即C(s)和M(s)的選取)應滿足H(s)是穩定的，而H(s)的穩定等價于通過下述負反饋環節使被控系統A(s)趨于穩定。

(27)

依據文獻[10]可知，通過選擇合適的采樣時間T，可使下式成立

(28)

(29)

(30)

根據上述關系可進一步推得

(31)

(32)

上式表明可通過減小采樣時間T提升跟蹤性能，但也對計算機硬件提出了更高的要求[10]。

4 L1自適應控制器設計及仿真

本節首先對剛體火箭設計L1輸出反饋控制器參數，其次考慮帶有一階彈性振動信息的剛—彈耦合箭體，考慮到低通濾波器環節一定程度上減小彈性振動的影響，分析實現箭體穩定時火箭低階頻率的分布規律，并提出一種結合校正網絡思想設計L1自適應控制器的方法，同時考慮彈性頻率發生變化，觀察該方法的有效性。被控對象模型參數選取如下[1]

b1=0.0465，b2=-0.0421，b3=0.5674

ω1=8.5，ζ=0.005，D31=16.4286

W′1(XT)=0.0375，W′1(XgT)=0.0375

4.1 剛體火箭控制器參數設計

將理想傳遞函數M(s)及低通濾波器C(s)選為如下形式

(33)

(34)

式中：ξM和ξC分別為M(s)和C(s)的阻尼比，ωM和ωC分別為M(s)和C(s)的帶寬。

1)理想傳遞函數M(s)選取

理想傳遞函數M(s)可理解為被控系統響應的參考模型，其對系統響應中穩定時間，超調量等暫態性能起決定性作用。M(s)的選取應當參照被控對象特性選取。M(s)參數包括阻尼比ξM和帶寬ωM，一般將阻尼比設為良性阻尼比0.7，而M(s)帶寬ωM應當與被控對象帶寬相近，這樣可保證系統響應可實現性。

經分析，被控對象帶寬約為0.88rad/s，根據上述內容，選定理想傳遞函數帶寬ωm=1rad/s。

2)采樣時間T選取

自適應律中待設計參數為采樣時間T，在一定范圍內，減小T可提升系統跟蹤性能，但T設置過小時，也對計算機性能要求更高，結合工程應用中計算機處理性能一般為5ms-20ms，因此將T設為10ms，即0.01s。

3)低通濾波器C(s)選取

低通濾波器C(s)待設計參數包括阻尼比ξC和帶寬ωC，一般將阻尼比選為良性阻尼比0.7。在根據性能要求確定好理想傳遞函數M(s)之后，依據系統穩定條件(即式(26)穩定條件)確定ωC。為維持系統穩定，C(s)帶寬選取有一個下限值，其物理含義是保證實現剛體火箭穩定所需的最小信息量，因此一般C(s)帶寬取值越大越好，但到某特定值之后，性能就不再有明顯提升，且帶寬設置過大時，控制輸入中含有高頻振蕩，考慮到剛—彈耦合箭體的設計，為避免高頻彈性振動信息對系統穩定的影響，將低通濾波器帶寬設為ωC=6rad/s。

4.2 剛—彈耦合箭體仿真

在火箭姿態控制系統設計中，對于剛—彈耦合箭體的控制，一般需借助于濾波器實現彈性振動信息的過濾，鑒于L1控制結構中具有低通濾波器環節，因此考慮能否利用上節所設計參數實現剛—彈耦合箭體的穩定控制，仿真結果如圖2所示。

圖2 俯仰角輸出曲線(剛—彈耦合箭體)

由上圖可知，在原參數組成的控制系統作用下，剛—彈耦合箭體最終發散，其原因是低通濾波器帶寬與一階彈性頻率點較近，致使控制信號中依然具有較強的彈性振動信息。

為探究利用L1輸出反饋自適應控制自身結構實現剛—彈耦合箭體穩定的條件，下面通過假設模型進行分析。控制器參數與上述一致，通過假設彈性對象一階彈性頻率分布情況，觀察控制效果，仿真結果如下：

圖3 俯仰角輸出曲線(假設箭體)

由上圖可知，當C(s)帶寬與一階彈性振動頻率之間存在2倍關系時，抑制彈性振動的作用開始顯現，但仿真后半段被控對象響應發散，說明此時不足以完全抑制彈性振動；當二者存在3倍關系時，效果相對大有改觀，總體效果看似能趨于穩定，但將仿真延長后，后半段仍會出現小幅度發散；當二者存在4倍關系時，C(s)帶寬與一階彈性頻率之間有充足的余量，可使剛—彈耦合對象完全趨于穩定。因此通過假設模型可知，若通過L1輸出反饋自適應控制自身結構實現剛—彈耦合箭體的穩定，需保證C(s)帶寬和一階彈性頻率之間滿足4倍左右的比例關系，此時低通濾波器能充分抑制彈性振動對系統穩定性的影響。

4.3 結合校正網絡的控制器設計與仿真

由上可知，低通濾波器帶寬與系統帶寬存在相互制約關系，無法通過低通濾波器消除低階彈性振動影響，故結合校正網絡思想設計L1輸出反饋控制器實現剛—彈耦合箭體的穩定。

對于彈性振動的穩定來說，有幅值穩定和相位穩定之分。在本例中只考慮一階彈性振動，因一階彈性振動模態頻率低，相位偏差小，故結合相位穩定思想設計校正網絡對剛—彈耦合箭體進行穩定控制[14]。

依據閉環系統穩定條件(即式(26)穩定條件)可知，彈性被控對象A(s)在原反饋控制器C(s)/M(s)[1-C(s)]下的開環頻率特性曲線如圖4黑線所示。

圖4 頻率特性曲線對比圖

由上可知，在原反饋控制器作用下，系統一階彈性振動頻率處幅頻曲線L(ω)>0且相頻曲線穿越π這條線，故不能保持穩定。因此設計校正網絡的思想是：通過設計相位滯后濾波器，使得某頻率處之前的幅頻曲線及相頻曲線與原來保持一致，而在其之后整體向下，以保證在一階彈性頻率處，系統相頻曲線不穿越π這條線。

選取如下形式的二階最小相位滯后濾波器

(35)

式中，ξz和ξp分別為阻尼比，ωp為濾波器帶寬，其決定頻率特性曲線發生變化的分離點，幅值變化量為-40lg(ωz/ωp)。

根據本文研究對象，設定濾波器數值如下：ξz和ξp選為良性阻尼比0.7，ωp設為5.5rad/s，幅值變化量為-16dB，由此可得

將二階最小相位滯后濾波器Glag(s)與原M(s)做結合，則可得到如下新配置的M(s)

剛—彈耦合箭體在新配置的M(s)和C(s)組成的負反饋環節作用下，頻率特性曲線如下結合相位穩定思想可知，通過引入校正網絡，實現了一階彈性振動穩定。

圖5 俯仰角輸出曲線(ω1變化)

5 結論

針對火箭剛-彈耦合模型開展了L1輸出反饋姿態控制器設計，給出了依據火箭特性參數設計規則以及火箭低階頻率的分布對于控制系統的影響情況，同時研究了利用結構濾波器實現彈性抑制的設計方法，取得如下結論：

對于剛—彈耦合箭體而言，當低通濾波器帶寬與一階彈性頻率之間滿足4倍左右關系時，L1控制器可同時實現剛—彈耦合箭體的穩定；當兩者小于上述比例關系時，帶寬的選擇應優先滿足剛性箭體的設計要求，同時必須引入校正網絡來消除彈性振動對系統的影響，仿真結果表明，所設計控制器控制效果良好，且彈性頻率變化下具有較強的魯棒性。