利用分部積分法求解不定積分題型探究

吳德福

(吉林建筑科技學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)部，長春 130000)

1 類型總結(jié)

類型1：分部化簡型。此類型可按照反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的順序，將排在前面的函數(shù)作為復(fù)雜函數(shù)u(x)，將排在后面的函數(shù)作為簡單函數(shù)v′(x)，然后按照分部積分公式即可求解。

積分類型u,v的選取∫xneaxdx=1a∫xndeaxu=xn,v=eax∫xnsinaxdx=-1a∫xndcosaxu=xn,v=cosax∫xncosaxdx=1a∫xndsinaxu=xn,v=sinax

此類型有一個快速解題技巧：令u(x)=pn(x),v(n+1)=eax或v(n+1)=sinax(cosax)，按下表操作：

用法：A.推廣的分部積分各項(不包括符號)為從左到右錯位相乘。B.各項的符號為“+”“-”相間。C.當u=pn(x)的某階導(dǎo)數(shù)為0時，求導(dǎo)和求原函數(shù)的工作停止。

解析：

積分類型(n≠-1)u,v的選取∫xnlnxdx=1n+1∫lnxdxn+1u=lnx,v=xn+1∫xnarcsinxdx=1n+1∫arcsinxdxn+1u=arcsinx,v=xn+1∫xnarctanxdx=1n+1∫arctanxdxn+1u=arctanx,v=xn+1

(3)被積函數(shù)只有對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)：當被積函數(shù)只有反三角函數(shù)或者對數(shù)函數(shù)這一類函數(shù)時，也可采用分部積分法，將積分變量x當作v，直接使用分部積分法，操作如下。

當被積函數(shù)是比較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)且只有一個函數(shù)時，也可嘗試采用類似的方法處理。

可將這個結(jié)論當作公式背誦下來，在求解類似的題目時可代入公式快算求得結(jié)果。

2 結(jié)語

希望通過總結(jié)，讓學(xué)生對分部積分法的各個類型有一個整體認識，快速掌握其應(yīng)用方法。