不定積分的求解方法及應用

郭 曉，張晨晨

(南陽職業學院，河南 南陽 474500)

不定積分的求解方法是積分問題的基礎，本研究結合例題對不定積分的各種求解方法進行分類和總結歸納，旨在找到最簡單、最快捷、最有效的解題方法。需要掌握的預備知識：設F(X)與f(x)在區間I上有定義，若?x∈I，有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，則稱F(x)為f(x)在區間I上的一個原函數。

1 不定積分

2 不定積分的性質

3 基本積分公式

在運用直接積分法時會用到基本積分公式，下面先給出基本積分公式：

4 直接積分法

在求積分問題時，簡單的不定積分可以直接利用法則和公式，稍微復雜的，可以先對被積函數做恒等變形，變形成可以利用積分的法則和公式的形式，然后按基本積分公式求出結果。

=3arctanx-2arcsinx+C.

5 換元積分法

=F(u)+c(積分)=F[φ(x)]+c(回代).

第一類換元積分法的關鍵是如何選取φ(x)， 并將φ′(x)dx湊成微分dφ(x)的形式，因此，第一類換元積分法又稱為湊微分法。

在換元積分法中，有一些特殊形式的換元，如：根式代換、三角代換、倒代換。

有些不定積分的結果會經常用到，可作為基本公式：

6 分部積分法

在分部積分法中，u,v的選擇方法可總結如下：學生可簡化記憶，按照反、對、冪、三、指這個順序，優先選擇前面的函數為u，另外一個函數與dx結合湊微分，然后運用分部積分公式進行計算。

7 結語

不定積分具有很強的計算靈活性，學生需要做大量的練習，積累更多的經驗，這樣解起題來才能得心應手。