論多元積分學(xué)中的降維思想

田衛(wèi)章

(商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 商丘 476100)

多元函數(shù)的積分運(yùn)算在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中占有重要地位.在積分運(yùn)算中，我們?cè)芯窟^(guò)牛頓-萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等積分運(yùn)算的方法，這些積分運(yùn)算方法的共同特點(diǎn)是將積分區(qū)域進(jìn)行不同形式的“降維”，從而使多元積分計(jì)算問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.

1 牛頓-萊布尼茨公式中的降維思想

1.1 定積分的牛頓-萊布尼茨公式及其所體現(xiàn)的降維思想

微積分第二基本定理，即牛頓-萊布尼茨公式把微分與積分從概念與計(jì)算上同時(shí)聯(lián)系起來(lái)，這是使微積分理論形成一個(gè)體系的一個(gè)重要標(biāo)志，其具體內(nèi)容如下：

1.2 牛頓-萊布尼茨公式的二重積分形式及其降維思想

1.3 牛頓-萊布尼茨公式的曲線積分形式及其降維思想

注牛頓-萊布尼茨的曲線積分形式是將二元函數(shù)在平面曲線C上的積分值轉(zhuǎn)化為函數(shù)在平面曲線C的兩端點(diǎn)的函數(shù)值之差，從而將積分區(qū)域由1維降至0維[4].

1.4 牛頓-萊布尼茨公式的降維應(yīng)用

2 格林公式中的降維思想

2.1 格林公式定義及其降維思想

格林公式是牛頓-萊布尼茨公式在多元函數(shù)積分學(xué)中的推廣，在多元函數(shù)積分學(xué)中占有非常重要的地位.格林公式給出了平面區(qū)域D上的二重積分與沿這個(gè)區(qū)域的邊界L的曲線積分之間的聯(lián)系，其具體內(nèi)容如下：

注格林公式的表達(dá)簡(jiǎn)單明了，是牛頓-萊布尼茨公式在多元積分學(xué)中的推廣，可簡(jiǎn)化二重積分.格林公式揭示了平面區(qū)域上的二重積分與沿這個(gè)區(qū)域的邊界曲線上的曲線積分之間的聯(lián)系，可把函數(shù)的平面積分轉(zhuǎn)化為平面曲線的積分.格林公式是將面積分轉(zhuǎn)化為線積分的工具之一，可將函數(shù)的積分區(qū)域由2維降至1維.

2.2 格林公式的降維應(yīng)用

格林公式計(jì)算平面面積是其降維思想的基本應(yīng)用之一，一般形式下常見(jiàn)面積計(jì)算公式有以下3種[6].

例3計(jì)算拋物線(x+y)2=ax,(a>0)與X軸所圍的面積.

解方法一：

方法二：

例4計(jì)算由星形線x=a(cosθ)2,y=b(sinθ)2(0≤θ≤2π)所圍成的平面圖形的面積.

解設(shè)L為星形線x=a(cosθ)2,y=b(sinθ)2(0≤θ≤2π)的邊界，選取正方向，D是由L所圍成的閉區(qū)域，其面積為A,則由格林公式可得

注從以上2個(gè)應(yīng)用格林公式計(jì)算平面區(qū)域面積的例題中可以看出，格林公式揭示了平面區(qū)域上的二重積分與沿這個(gè)區(qū)域的邊界曲線上曲線積分之間的聯(lián)系，從而將積分區(qū)域由2維降至1維，可大大降低曲線積分的計(jì)算難度.

3 斯托克斯公式中的降維思想

利用兩類(lèi)曲線積分間的聯(lián)系和兩類(lèi)曲面積分間的聯(lián)系，可得斯托克斯公式的另外三種形式：

其中n1=(cosα,cosβ,cosγ)為分片光滑的有向曲面S在點(diǎn)(x,y,z)處的單位法向量.

其中n2=(cosθ，cosφ，cosω)為分段光滑的有向曲線L在點(diǎn)(x,y,z)處的單位切向量.

注斯托克斯公式是微積分基本公式在曲面積分情形下的推廣，也是格林公式的推廣.斯托克斯公式表明：分片光滑的空間曲面S上的曲面積分可轉(zhuǎn)化為該空間曲面S的分段光滑的邊界曲線L上的曲線積分.也就是說(shuō)，斯托克斯公式揭示了函數(shù)在分片光滑的曲面上的曲面積分和函數(shù)在該曲面的分段光滑的邊界曲線上的曲線積分之間的聯(lián)系，可將函數(shù)在空間曲面上的積分轉(zhuǎn)化為空間曲線積分，從而將積分區(qū)域由2維降至1維[8].

4 高斯公式中的降維思想

4.1 高斯公式的定義及其降維思想

注高斯公式揭示了空間區(qū)域的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系，其可將函數(shù)的空間體積分轉(zhuǎn)化為空間曲面積分，從而將積分區(qū)域由3維降至2維.

4.2 高斯公式的降維應(yīng)用

利用高斯公式的降維思想可計(jì)算三重積分，特殊情況下，可利用高斯公式的降維思想求得物體的體積.具體求體積的方法可利用如下公式:

下面通過(guò)例5，例6進(jìn)一步說(shuō)明.

解設(shè)橢球面的參數(shù)方程為x=asinφcosθ,y=bsinφsinθ,z=ccosφ,(0≤θ≤2π,0≤φ≤π), 則

解令P=x2y,Q=y2z,R=z2x，則

5 一般積分形式計(jì)算中的降維思想

重積分的計(jì)算過(guò)程實(shí)質(zhì)上是把積分區(qū)域進(jìn)行降維的過(guò)程，計(jì)算定積分、重積分、曲線積分、曲面積分的基本思想是一致的，都是將高維次的積分區(qū)域形式轉(zhuǎn)化為較低維次的積分區(qū)域形式計(jì)算，下面逐一進(jìn)行說(shuō)明.

5.1 二重積分中的降維思想(化二重積分為二次積分)

5.1.1 二重積分在直角坐標(biāo)系中的降維

從以上討論可以知道，二重積分的計(jì)算就是以含參量積分為中介，化二重積分為兩次定積分，實(shí)現(xiàn)積分區(qū)域由2維降至1維，兩次利用牛頓-萊布尼茨公式得出最后結(jié)果.

5.1.2 利用極坐標(biāo)將二重積分降維

5.2 三重積分中的降維思想

三重積分通常可利用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.坐標(biāo)的選擇取決于積分區(qū)域和被積函數(shù)的特征，具體計(jì)算則通過(guò)固定變量降低被積函數(shù)的元數(shù)，同時(shí)利用投影法降低積分區(qū)域的維數(shù).三重積分有“先二后一”“先一后二”和“三次積分法”，即“3=2+1”“3=1+2”和“3=1+1+1”.

5.2.1 三重積分在直角坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)化為累次積分的降維思想

注定理7表明三重積分可先選取其中一元變量，再用垂直于此變量的切面去截積分體，所得截面方程即為二重積分區(qū)域中的D，最后確定最初選取變量的范圍.這樣，就把三重積分轉(zhuǎn)化為先一次積分后二次積分，實(shí)現(xiàn)積分區(qū)域的降維，此方法又稱(chēng)“穿針?lè)ā?

注定理8表明計(jì)算三重積分時(shí)，可先固定一自變量z的范圍，然后用垂直于此自變量所在坐標(biāo)軸的切平面去截取積分區(qū)域，所得截面方程即為積分區(qū)域中的Dz，這樣就把三重積分轉(zhuǎn)化為先二次積分再一次積分，實(shí)現(xiàn)積分區(qū)域的降維，此方法又稱(chēng)“切片法”.

注三重積分計(jì)算過(guò)程的大致思想是：將三重積分化為累次積分，而化為累次積分的方式可以有所不同，從而將積分區(qū)域?qū)崿F(xiàn)不同形式的降維.直角坐標(biāo)系下的三重積分轉(zhuǎn)化為逐次積分的方法可總結(jié)如下：

若f(x,y,z)在V={(x,y,z)|a≤x≤b,c(x)≤y≤d(x),e(x,y)≤z≤g(x,y)}上連續(xù)，記R={(y,z)|c(x)≤y≤d(x),e(x,y)≤z≤g(x,y)}，則

5.2.2 利用柱面坐標(biāo)變換將二重積分進(jìn)行降維

注柱面坐標(biāo)變換可將三重積分的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化，將三重積分轉(zhuǎn)化為先一次積分后二重積分的累次積分，從某種意義上說(shuō)，也是積分區(qū)域的降維過(guò)程.

5.2.3 利用球坐標(biāo)變換將三重積分進(jìn)行降維

在球坐標(biāo)系下，當(dāng)區(qū)域V′為集合V′={(r,φ,θ)|r1(φ,θ)≤r≤r2(φ,θ),φ1(θ)≤φ≤φ2(θ),θ1≤θ≤θ2}時(shí)，

注球坐標(biāo)變換可將三重積分的計(jì)算過(guò)程適當(dāng)簡(jiǎn)化，通過(guò)球坐標(biāo)變換，可將三重積分轉(zhuǎn)化為三個(gè)單次積分，從某種意義上說(shuō)，將3維積分區(qū)域轉(zhuǎn)化為1維積分區(qū)域，是積分區(qū)域的降維過(guò)程.

6 結(jié)語(yǔ)

多元積分中的幾個(gè)重要公式及一般形式的積分計(jì)算都體現(xiàn)了通過(guò)降低積分區(qū)域維數(shù)進(jìn)行求解的思想.本文只是從一些具體公式及具體計(jì)算方法上簡(jiǎn)要地論述了多元積分學(xué)中的降維思想.了解有關(guān)積分學(xué)中的降維思想，可以轉(zhuǎn)換我們思考問(wèn)題的角度，使問(wèn)題中的關(guān)系在新的維系中更加直觀、簡(jiǎn)約，不僅深化我們對(duì)積分學(xué)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，也可提高我們的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).