論多元積分學中的降維思想

田衛章

(商丘職業技術學院，河南 商丘 476100)

多元函數的積分運算在數學分析學習中占有重要地位.在積分運算中，我們曾研究過牛頓-萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等積分運算的方法，這些積分運算方法的共同特點是將積分區域進行不同形式的“降維”，從而使多元積分計算問題得到簡化.

1 牛頓-萊布尼茨公式中的降維思想

1.1 定積分的牛頓-萊布尼茨公式及其所體現的降維思想

微積分第二基本定理，即牛頓-萊布尼茨公式把微分與積分從概念與計算上同時聯系起來，這是使微積分理論形成一個體系的一個重要標志，其具體內容如下：

1.2 牛頓-萊布尼茨公式的二重積分形式及其降維思想

1.3 牛頓-萊布尼茨公式的曲線積分形式及其降維思想

注牛頓-萊布尼茨的曲線積分形式是將二元函數在平面曲線C上的積分值轉化為函數在平面曲線C的兩端點的函數值之差，從而將積分區域由1維降至0維[4].

1.4 牛頓-萊布尼茨公式的降維應用

2 格林公式中的降維思想

2.1 格林公式定義及其降維思想

格林公式是牛頓-萊布尼茨公式在多元函數積分學中的推廣，在多元函數積分學中占有非常重要的地位.格林公式給出了平面區域D上的二重積分與沿這個區域的邊界L的曲線積分之間的聯系，其具體內容如下：

注格林公式的表達簡單明了，是牛頓-萊布尼茨公式在多元積分學中的推廣，可簡化二重積分.格林公式揭示了平面區域上的二重積分與沿這個區域的邊界曲線上的曲線積分之間的聯系，可把函數的平面積分轉化為平面曲線的積分.格林公式是將面積分轉化為線積分的工具之一，可將函數的積分區域由2維降至1維.

2.2 格林公式的降維應用

格林公式計算平面面積是其降維思想的基本應用之一，一般形式下常見面積計算公式有以下3種[6].

例3計算拋物線(x+y)2=ax,(a>0)與X軸所圍的面積.

解方法一：

方法二：

例4計算由星形線x=a(cosθ)2,y=b(sinθ)2(0≤θ≤2π)所圍成的平面圖形的面積.

解設L為星形線x=a(cosθ)2,y=b(sinθ)2(0≤θ≤2π)的邊界，選取正方向，D是由L所圍成的閉區域，其面積為A,則由格林公式可得

注從以上2個應用格林公式計算平面區域面積的例題中可以看出，格林公式揭示了平面區域上的二重積分與沿這個區域的邊界曲線上曲線積分之間的聯系，從而將積分區域由2維降至1維，可大大降低曲線積分的計算難度.

3 斯托克斯公式中的降維思想

利用兩類曲線積分間的聯系和兩類曲面積分間的聯系，可得斯托克斯公式的另外三種形式：

其中n1=(cosα,cosβ,cosγ)為分片光滑的有向曲面S在點(x,y,z)處的單位法向量.

其中n2=(cosθ，cosφ，cosω)為分段光滑的有向曲線L在點(x,y,z)處的單位切向量.

注斯托克斯公式是微積分基本公式在曲面積分情形下的推廣，也是格林公式的推廣.斯托克斯公式表明：分片光滑的空間曲面S上的曲面積分可轉化為該空間曲面S的分段光滑的邊界曲線L上的曲線積分.也就是說，斯托克斯公式揭示了函數在分片光滑的曲面上的曲面積分和函數在該曲面的分段光滑的邊界曲線上的曲線積分之間的聯系，可將函數在空間曲面上的積分轉化為空間曲線積分，從而將積分區域由2維降至1維[8].

4 高斯公式中的降維思想

4.1 高斯公式的定義及其降維思想

注高斯公式揭示了空間區域的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系，其可將函數的空間體積分轉化為空間曲面積分，從而將積分區域由3維降至2維.

4.2 高斯公式的降維應用

利用高斯公式的降維思想可計算三重積分，特殊情況下，可利用高斯公式的降維思想求得物體的體積.具體求體積的方法可利用如下公式:

下面通過例5，例6進一步說明.

解設橢球面的參數方程為x=asinφcosθ,y=bsinφsinθ,z=ccosφ,(0≤θ≤2π,0≤φ≤π), 則

解令P=x2y,Q=y2z,R=z2x，則

5 一般積分形式計算中的降維思想

重積分的計算過程實質上是把積分區域進行降維的過程，計算定積分、重積分、曲線積分、曲面積分的基本思想是一致的，都是將高維次的積分區域形式轉化為較低維次的積分區域形式計算，下面逐一進行說明.

5.1 二重積分中的降維思想(化二重積分為二次積分)

5.1.1 二重積分在直角坐標系中的降維

從以上討論可以知道，二重積分的計算就是以含參量積分為中介，化二重積分為兩次定積分，實現積分區域由2維降至1維，兩次利用牛頓-萊布尼茨公式得出最后結果.

5.1.2 利用極坐標將二重積分降維

5.2 三重積分中的降維思想

三重積分通常可利用直角坐標、柱面坐標和球面坐標進行計算.坐標的選擇取決于積分區域和被積函數的特征，具體計算則通過固定變量降低被積函數的元數，同時利用投影法降低積分區域的維數.三重積分有“先二后一”“先一后二”和“三次積分法”，即“3=2+1”“3=1+2”和“3=1+1+1”.

5.2.1 三重積分在直角坐標系下轉化為累次積分的降維思想

注定理7表明三重積分可先選取其中一元變量，再用垂直于此變量的切面去截積分體，所得截面方程即為二重積分區域中的D，最后確定最初選取變量的范圍.這樣，就把三重積分轉化為先一次積分后二次積分，實現積分區域的降維，此方法又稱“穿針法”.

注定理8表明計算三重積分時，可先固定一自變量z的范圍，然后用垂直于此自變量所在坐標軸的切平面去截取積分區域，所得截面方程即為積分區域中的Dz，這樣就把三重積分轉化為先二次積分再一次積分，實現積分區域的降維，此方法又稱“切片法”.

注三重積分計算過程的大致思想是：將三重積分化為累次積分，而化為累次積分的方式可以有所不同，從而將積分區域實現不同形式的降維.直角坐標系下的三重積分轉化為逐次積分的方法可總結如下：

若f(x,y,z)在V={(x,y,z)|a≤x≤b,c(x)≤y≤d(x),e(x,y)≤z≤g(x,y)}上連續，記R={(y,z)|c(x)≤y≤d(x),e(x,y)≤z≤g(x,y)}，則

5.2.2 利用柱面坐標變換將二重積分進行降維

注柱面坐標變換可將三重積分的計算過程簡化，將三重積分轉化為先一次積分后二重積分的累次積分，從某種意義上說，也是積分區域的降維過程.

5.2.3 利用球坐標變換將三重積分進行降維

在球坐標系下，當區域V′為集合V′={(r,φ,θ)|r1(φ,θ)≤r≤r2(φ,θ),φ1(θ)≤φ≤φ2(θ),θ1≤θ≤θ2}時，

注球坐標變換可將三重積分的計算過程適當簡化，通過球坐標變換，可將三重積分轉化為三個單次積分，從某種意義上說，將3維積分區域轉化為1維積分區域，是積分區域的降維過程.

6 結語

多元積分中的幾個重要公式及一般形式的積分計算都體現了通過降低積分區域維數進行求解的思想.本文只是從一些具體公式及具體計算方法上簡要地論述了多元積分學中的降維思想.了解有關積分學中的降維思想，可以轉換我們思考問題的角度，使問題中的關系在新的維系中更加直觀、簡約，不僅深化我們對積分學的進一步認識，也可提高我們的數學綜合素養.