用好回歸原點策略 打造靈動數學課堂
——以“一類含參數不等式恒成立問題”為例

江蘇 郭建華 于 健

一、問題的背景

考試時學生面對較難的試題，有的怕耽誤時間就會選擇放棄，或者選擇暫時“放棄”，而回頭又沒時間做；有的因產生恐懼心理或者不自信，會直接選擇放棄；有的因解題方案選擇不佳，耗時太長，便會得不償失；有的總想尋找解題的捷徑，喜歡“套路”題，問題稍加變化，便束手無策，以失敗告終……

教學中有的教師依然存在重教輕學，重結果輕過程的現象；對于較難的試題，有的教師會因大部分學生不會做，覺得講了也白講，選擇放棄講評；有的教師為了趕教學進度，便會直接拋給學生很多“秒殺”的技巧，不肯花時間挖掘技巧背后的“秘密”……

上述學生和教師對處理較難試題所表現出來的態度和做法，應值得我們反思.為了追求解題和解題教學的“長期利益”，教師應該加強對解題的深入研究并探索有效的教學策略.教學要始終以發展學生素養為導向，教師要理解學生、理解教學，引導學生把握數學問題的本質，啟發思考，增強學生戰勝困難的信心，不要輕易選擇“放棄”，促進學生學會學習，進而培養學生的關鍵能力.

二、回歸原點策略

華羅庚先生曾說過：學好數學的一個訣竅要善于“退”，足夠的“退”，“退”到原始而不失去重要性的地方.在解題和解題教學中要學會“退”(即“回歸”)，“退”回“原點”.“退回原點”即“回歸原點”，首先從“數學的原點”出發，以涉及的概念、定理、性質等作為分析起點，思考教學；其次從“試題的原點”出發，在共性求解的基礎上具體分析，追求問題的“個性解”，找到解題的最優路徑；最后經過解題探索(無論成功與否)再回到原點，反思對相關數學內容的理解程度.通過這一系列環節，達到知識理解、技能熟練、思想方法感悟等方面的螺旋上升.

“回歸原點”準確體現了解題的本質，它對于解題具有啟發性，對于解題教學具有可操作性.“回歸原點”讓課堂充滿靈動，確保學生的主體地位，發揮教師的主導作用，通過交流和反思，讓學生學會思考，掌握解題策略和方法.“回歸原點”不僅引導學生解決問題，而且對數學核心素養的落地提供保障.

下面以“一類含參數不等式恒成立問題”為例，利用“回歸原點”策略進行解題教學的實踐與思考，以期與同行交流.

三、教學案例

【例1】若不等式(ax2+bx+1)ex≤1對一切x∈R恒成立，其中a,b∈R，e為自然對數的底數，則a+b的取值范圍是________.

本題研究的是一道含參數不等式的恒成立問題.它蘊含了豐富的數學思想方法，如化歸與轉化、數形結合、分類討論、函數與方程等，是發展數學核心素養的較好素材.教學中應用“回歸原點”策略引導學生內化“四基”，促進學生數學關鍵能力的不斷提升.

1.分析數學的原點，探尋題眼

先讓學生思考片刻，再與學生進行如下交流：

教師：求解本題會用到哪些數學知識?

眾生：不等式、函數、導數、最值與極值.

教師：對于含參數的不等式恒成立問題，大家準備從哪里作為突破口?

學生1：求函數f(x)=(ax2+bx+1)ex的最值.

教師：你準備如何求解?

學生1：令f(x)=(ax2+bx+1)ex，則f(x)max≤1，發現f(0)=1，即f(x)max≤f(0)，f(x)在x=0處取得最大值，也是其極大值，所以f′(0)=0，求得b=-1，于是將問題轉化為求實數a的取值范圍.其求解過程如下：

由b=-1，得f′(x)=x(ax+2a-1)ex.

(1)當a=0時，得f′(x)=-xex,f(x)=(1-x)ex，易證f(x)max=f(0)=1，即f(x)≤1對一切x∈R恒成立，此時a+b=-1.

綜上，可得a+b的取值范圍是(-∞,-1].

反思：并非所有的學生都能發現f(x)在x=0處取得最大值(也是其極大值).教師應引導學生回歸到該題所涉及的概念、定理、性質等，作為分析、求解問題的起點.本題求解的關鍵是將最值與極值緊密聯系，確定b的值，從而把雙變量問題轉化為單變量問題，降低問題的難度.

用這種方式求解取得成功實在令人欣慰，畢竟這是一道填空題.

2.審視試題的原點，優化解法

在通法求解的基礎上，繼續引導學生思考，回歸試題的結構，探究新的解題思路.對于客觀題，通常提倡多思少算、小題巧做.

以上對參數a的分類討論較為煩瑣，總給人以“殺雞用牛刀”的感覺.

教師：對一個形式較為復雜的函數，我們一般如何處理?

學生2：通常采取對“整體”進行“分割”的方式處理，即先把它轉化為兩個常見的函數，再結合兩個函數的圖象和性質進行求解.由b=-1，得(ax2-x+1)ex≤1對一切x∈R恒成立，即ax2-x+1≤e-x對一切x∈R恒成立，易證e-x≥-x+1，所以ax2-x+1≤-x+1對一切x∈R恒成立，即ax2≤0對一切x∈R恒成立，由x2≥0，得a≤0，所以a+b≤-1，故a+b的取值范圍為(-∞,-1].

學生對上述解法很驚嘆，而后又眉頭緊皺，好像對上述解法有不解之處.

讓學生思考片刻，筆者繼續與學生交流.

教師：大家還有什么疑問和想法，請說說看.

學生3：曲線y=e-x的切線有無數條，為什么要選擇直線y=-x+1呢?

教師：我也有這個疑問，估計其中必有“玄機”.

學生4：是巧合吧?

學生5：不是巧合，應該是曲線y=ax2-x+1,y=-x+1,y=e-x之間存在一定的內在聯系.

教師：是嗎?會有什么聯系呢?

……

學生善于思考、敢于質疑、嚴謹求實的精神值得表揚.

對好的探究機會，稍作停頓，讓學生獨立思考、動手實踐、自主探索、分組交流，發展學生自主學習的能力.

不一會兒，有的小組示意要發言.

(教師再借助于數學軟件geogebra動態演示，當改變a的取值時，觀察函數圖象的變化情況，驗證學生6的想法.)

反思：要想找到更優的解法，就要打破原有的認知，重新回歸試題的原點，即,它是一道什么類型的題，涉及了哪些參數，試題的結構是否熟悉，能否用已有的知識和方法解決它等.利用數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，把陌生的情境轉化為熟悉的問題，再結合geogebra軟件給予直觀的分析，增強學生對問題本質的理解和掌握.

3.回歸基本的原理，正本清源

教師：數形結合是求解問題的理想方法，大家還有什么疑問嗎?

學生7：老師，切線y=-x+1為什么一定在函數h(x)圖象的下方(切點除外)?

教師：同學們能給予解釋嗎?

學生8：對于熟悉的函數圖象可以觀察出來，也可以構造新函數φ(x)=e-x-(-x+1)，證明φ(x)≥0恒成立.

教師：很好，這種方法我們很熟悉.大家還有別的解釋嗎?

大家又回到函數的圖象上，看看能否有新的發現，過了一會，還是沒有找到答案，教師繼續拋出問題讓學生們思考.

學生各自動手畫圖，老師巡視.

教師：你們有什么發現，請說說看?

學生9：除了函數y=x3，其它的幾個函數圖象都在它切線的同一側.

大家頻頻點頭，表示同意.

教師：既然大家都同意這個觀點，那么能否給予嚴格的說明?

大家面面相覷，看來這個問題很難回答，教師繼續給予補充.

教師：其實，這是函數的“凸凹性”所致.下面我們一起來學習一下函數的凸凹性.

學生已經熟悉指數函數和對數函數的圖象與性質，為了更易于理解函數的凸凹性，分別給出兩道習題.

提出以下問題，供學生討論，讓學生初步感受函數的凸凹性.

問題1：分析兩個函數圖象，它們各自具有什么特征，存在哪些不同之處?

問題2：能否用幾何語言刻畫它們所具有的特征?

通過討論，借助于geogebra動態演示，引導學生歸納出如下結論：

(1)曲線f(x)=2x上任意兩點的弧段總在這兩點連線的下方；

(2)曲線f(x)=lgx上任意兩點的弧段總在這兩點連線的上方.

我們把具有前一種特征的曲線稱為凹的，相應的函數稱為凹函數；后一種稱為凸的，相應的函數稱為凸函數.

下面，給出凸凹函數的定義以及相關定理.

定義：設f(x)為定義在區間I上的連續函數，若對I上的任意兩點x1,x2和任意實數λ∈(0,1)，總有f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f(x)為I上的凹(凸)函數.

定理1：設f(x)為區間I上連續，且有一階和二階導數，則在I上f(x)為凸(凹)函數的充要條件是f″(x)≤0(f″(x)≥0)，x∈I.

定理2：設f(x)為區間I上的可導函數，則下列論斷互相等價.

(1)f(x)為I上的凸(凹)函數；

(2)f′(x)為I上的增(減)函數；

(3)對于I上的任意兩點x1,x2，有f(x2)≥(≤)f(x1)+f′(x)(x2-x1).

注意：如圖，論斷(3)的幾何意義：曲線y=f(x)總是在它的任一切線的上方(下方).

學生10：哦，我明白了.由f″(x)=e-x>0，得f(x)在(-∞,+∞)上為凹函數，由論斷(3)知其切線y=-x+1一定在函數f(x)圖象的下方(切點除外)，找到公切線是求解該題的關鍵.

反思：對學生解題的指導，不能只局限于通性通法，還要鼓勵學生拓展思路，探尋新法.在問題解決的過程中“回歸原點”，引導學生發現和提出問題，探究命題的背景，讓解題達到“舉一反三”的效果.

4.選擇相似的題組，乘勝追擊

為了讓學生體會凹凸性在解題中的應用，將探究活動推向深入，選擇一道相似的題目進行鞏固訓練.

【例2】設函數f(x)=(1-x2)ex，當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

教師：大家對比一下兩道題，看看有哪些異同點?

學生11：從結構上看兩道題相似，考查的知識點也相同，然而例2是一道解答題，不可以用數形結合的方法求解.

學生12：可以先借助于“形”的直觀得到答案，再做進一步的推理.

教師：這是一個很不錯的想法，能否快速得到答案呢?

學生13：經分析發現，左邊是一個定函數，右邊是一個過定點的動直線，而且函數的圖象與直線具有公共的端點.我的想法是f′(x)=(-x2-2x+1)ex，f″(x)=(-x2-4x-1)ex<0(x≥0)，所以當x≥0時，f(x)為凸函數，如圖，令g(x)=ax+1，則f(0)=g(0)=1，因此，只要g′(0)≥f′(0)，即a≥1.

(看到學生13很快得到結果，其他同學投來贊許的目光.)

教師：你能解釋一下你的想法嗎?

學生13：在區間[0,+∞)上，兩個函數具有公共的起點A，如圖，當x∈R時，曲線f(x)在點A處的切線方程為h(x)=x+1，由于函數f(x)在[0,+∞)上為凸函數，根據定理2的論斷(3)，易知當x≥0時，切線h(x)=x+1恒在函數f(x)圖象的上方(公共點除外)，因此，只要直線g(x)=ax+1恒在直線h(x)=x+1的上方或與其重合即可，故a≥1.

教室里自發地響起掌聲，大家都表示贊同.

趁著這個探究的熱度，繼續提供以下兩道試題供學生分組強化訓練，以鞏固學習成果.

(1)設函數f(x)=ex-e-x，對所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍.

(2)已知函數f(x)=(x2-ax+1)ex(a≥0)，若對于x∈[0,1]，f(x)≥1恒成立，求a的取值范圍.

教師：由于函數的凹凸性，在例2中才保障了利用條件g′(0)≥f′(0)求得結果的正確性.通過對以上題目的分析和求解，我們能否歸納一下利用函數凸凹性求解這一類含參數不等式的基本模型.

停頓，讓學生思考、分析、討論和提煉.得到如下結論：

已知可導函數f(x)具有凹凸性，g(x)=ax+b(a,b是可同時為0的常數).

(1)當f(x)≥g(x)在區間[a,b]恒成立，若f(a)=g(a)，則f′(a)≥g′(a)；若f(b)=g(b)，則f′(a)≤g′(a).

(2)當f(x)≤g(x)在區間[a,b]恒成立，若f(a)=g(a)，則f′(a)≤g′(a)；若f(b)=g(b)，則f′(a)≥g′(a).

通過對結論的提煉和歸納，學生格外開心，消除了對類似問題的敵對或者恐懼感.

教師：我們再回到習題2，如何說明a<1不成立呢?對于解答題，還要做到推理的嚴謹和書寫的規范.請大家思考并完成.

學生14：(2)當a≥1時，令h(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-ax-1(x>0)，則h′(x)=(-x2-2x+1)ex-a，h″(x)=(-x2-4x-1)ex<0，于是h′(x)在[0,+∞)上單調遞減，故h′(x)≤h′(0)=1-a≤0(h′(x)不恒為0)，即h(x)在[0,+∞)上單調遞減，因此，h(x)≤h(0)=0，即f(x)≤ax+1，滿足題意；當a<1時，h′(x)在[0,+∞)上單調遞減，h′(0)=1-a>0，且存在x0，使得h′(x0)=0，當x∈(0,x0)時，h′(x)>0，則h(x)在(0,x0)單調遞增，故h(x)>h(0)=0，即f(x)>ax+1，與題意矛盾，故舍去，所以實數a的取值范圍為[1,+∞).

反思：借助函數的凹凸性分析和求解上述類型的問題，可以迅速、準確找到代數推理過程中的分類討論的分界點，從而大大降低了思維的難度，縮短了思維的時間，提高了解題的效益，同時也增強了學生求解這一類較難試題的信心.

四、結束語