回歸定義促深思 深度學習拓視野

四川 王昌林 羅萍雙

深度學習是根據學生自身經驗從而滿足自身需求的學習方式.其主要過程包括發現問題、解決問題、總結歸納問題、問題推廣應用四個環節.深度學習還是一種文化的傳承，教師若是熱愛數學，對鉆研數學問題有濃厚興趣，勇于探究和創新，其品質和精神必然能潛移默化地感染學生，從而引領學生開展深度學習.積極開展深度學習，對于教師來說，可以促進自身專業發展，提高施教水平；對于學生來說，可以完善知識結構，提升創造和創新問題以及研究問題的能力.

1.問題提出

問題提出可以是人為引導產生的，也可以是偶然產生的.許多教師通過在課外拓展題、高考壓軸題、自主招生的另類題以及競賽試題中去有意尋找問題，從而提出問題，這個過程是較為低效的且許多問題是不利于開展深度學習的.問題提出應該是一個自然的過程，例如在教材的定義、例題和習題中.這些“接地氣”問題的提出對深度學習的開展才是高效且有益的.

1.1問題提出背景

一位高三學生，學習成績在班級處于中上游水平.學生在結束全部新課內容后對所學知識進行歸納整理時發現，橢圓與雙曲線定義中分別是到兩定點距離之“和”與到兩定點距離之“差”，從而產生猜想如果是“平面內到兩定點的距離之積或商為定值”又會是怎樣的圖象呢？于是自己嘗試對猜想進行探索，有一些眉目卻不能解決，于是想到尋找老師幫忙驗證與完善.

1.2提出問題

橢圓的定義是平面內到兩定點的距離之和為定值，雙曲線的定義是平面內到兩定點的距離之差為定值，一個是距離之和一個是距離之差，既然有了加和減，那乘和除呢？這樣的曲線存在嗎？有的話它們的動點軌跡分別又是什么樣子呢？

2.問題解決

問題解決是深度學習的重點，問題解決與否決定著深度學習能否順利進行.問題解決的方式是多樣的，可以是教師主導，也可以是學生自主.在解決問題的過程中可以采取合作討論、查閱研讀相關資料與書籍、借助現代教育技術等多種方式.需要注意以下幾點：

(1)要給學生充分的思考探究時間，寶劍鋒從磨礪出，學生才能有所收獲；

(2)在解決問題時回顧舊知識與方法，起到復習鞏固作用；

(3) 暴露出真實的思維過程，教師既能及時糾正學生的錯誤，又能傳授解決問題的經驗；

(4)方法的引導與選取要“接地氣”，要與學生的思維水平相適應；

(5)問題偏難應加強鼓勵，推動深度學習積極進行.

以下為整理后的探究曲線方程片斷：

師：針對所提出的問題？對于曲線方程，你做了哪些探究工作呢？

生：我類比探究橢圓方程的步驟，把曲線看作是平面內一動點的軌跡，并作如下探究：

取線段AB的中點為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立如圖1所示平面直角坐標系.

圖1

設|AB|=2c(c>0)，即A(-c,0)，B(c,0).

設動點P的坐標為(x,y)，

等式兩邊平方化簡可得(λ2-1)x2-2c(λ2+1)x+(λ2-1)y2=c2(1-λ2).

式子還不夠簡潔，但不知道后面該進行怎樣的化簡.

師：仔細觀察，等式有沒有什么共同的或者相似的地方？

學生認真觀察后……

生：有，未知數x與y前都是λ2與1的加與減形式，減比較多，要不我們同時除以λ2-1？

師：想法沒問題，但若是λ2-1=0，你還可以直接除以λ2-1嗎？

生：那就分等于0和不等于0兩種情況討論.

學生開始分情況討論，教師在旁指導，得到結果如下：

師：現在來看動點P的軌跡是什么？

師：是的，我們把它稱作阿波羅尼斯圓.顧名思義，阿波羅尼斯圓是古希臘數學家阿波羅尼斯在研究了眾多的平面軌跡問題后得到的結果，即平面內到兩定點距離之比為定值且動點的軌跡為直線或圓.

生：這個初中的時候有提到過,還可以叫阿氏圓,原來是它.

師：是的，類比我們剛才的方法，你能繼續探究“積”所對應的曲線方程嗎？

生：取兩定點A，B，動點P滿足|PA|·|PB|=λ(λ>0且為常數).取線段AB的中點為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立如圖1所示平面直角坐標系.

設|AB|=2c(c>0)，即A(-c,0)，B(c,0).

設動點P的坐標為(x,y)，

等式兩邊同時平方得(x2+2cx+c2+y2)(x2-2cx+c2+y2)=λ2，若是展開，等式左邊項數過多，我覺得不正確，后面就沒有繼續探究了.

師：按照剛才的思考方式，再試試，看能不能繼續探究呢？

學生仔細觀察等式結構并思考后回答：

生：等式左邊兩因式中就2cx那一項的系數不同，其余部分都是相同的，我們將2cx調整位置后可以得到(x2+c2+y2+2cx)(x2+c2+y2-2cx)=λ2，將“x2+c2+y2”看成是一個整體，就可以得到(x2+c2+y2)2-4c2x2=λ2.

師：是的，還可以再化簡嗎？

生：等式看起來有些復雜，但是每一項都有平方，它是一個偶函數，軌跡應該是對稱的.

師：我們用幾何畫板來看一下吧.(以下為幾何畫板作圖的詳細過程與結果)

(1)連接PA，PB，并度量長PA與PB長度，點擊[數據]-[計算]PA·PB的值，并[制表]PA,PB以及PA·PB的輸出值.移動點N，得如圖2所示的雙紐線，PA·PB的值固定不變且與OM相等.

(2)左右移動點M，得以下軌跡：

師：我們發現點M其實是可以和點O重合，那我們前面有沒有哪里需要改正的呢？

生：動點P應該滿足|PA|·|PB|=λ(λ≥0且為定值).

師：是的，平面內到兩定點的距離之積為定值的點的軌跡，我們把它稱為卡西尼卵形線.和阿波羅尼斯一樣，卡西尼也是一個人名，卡西尼卵形線是卡西尼在研究土星及其衛星的運行規律時發現的.關于軌跡方程，λ與c之間有這樣的關系：

①當λ=0時，動點P的軌跡為兩個定點A(-c,0)，B(c,0)；

②當0<λ

③當λ=c時，動點P的軌跡為圖2所示8字形交叉的雙紐線；

生：卡西尼卵形線竟然如此有意思，其中它變化多樣的動點軌跡最有意思.卡西尼當時沒有幾何畫板這些現代化的作圖工具，能探究出來這些優美的軌跡和結論，真的太厲害了.

3.結論應用

深度學習是師生共同經歷的一場智慧之旅.旅程的終點不是讓學生獲得一堆零散、呆板、無用的知識，而是讓他們能夠積極、充分、靈活地運用知識，去理解世界、解決問題，學以致用，獲得人格的健全和精神的成長.理解不僅僅是單純字面意思上的知道、了解、明白之意，它更強調一種深層次的思考，即解釋、思辨、推理、驗證、應用等更有難度、更加復雜和更具綜合性的學習.

【解析】因為點M，N，T皆是在圓O上的點，

所以|OM|=|ON|=|OT|.

由切割線定理可知|OT|2=|OA|·|OB|，

所以|OT|2=|OM|2=|ON|2=|OA|·|OB|，

所以△OMA∽△OBM，△ONA∽△OBN，

【評注】在驗證結論①正確性后就可以看出，應用1有著阿波羅尼斯圓的知識背景.

【應用2】給定平面上兩個點F1(-1,0)，F2(1,0)，點P到這兩點的距離的乘積為a2(a>1)，設點P的軌跡為曲線C.下列關于曲線C的說法中，正確的是.

【評注】應用2是以卡西尼卵形線為背景命制的試題，準確運用定點與定值的關系可以快速有效地判斷結論①②的正確性.

【評注】應用3是教材習題，將定點改為定直線，探究曲線方程的方法和前面的探究是一樣的，除此以外人教A版選修2-1的第47頁、59頁、65頁等也有與應用3相類似的例題和習題.

4.教學思考

深度學習的發生是不經意間的，問題的提出往往都會伴隨著深度學習的發生.學生提出的問題或許有些比較顯而易見，但仔細思考卻也是豐富多彩，關鍵在于弄清學生為什么會提出這樣的問題，這個問題可以怎樣解決，學生能獲得什么.波利亞在《怎樣解題》中指出：解決問題包括弄清題意、擬定計劃、執行計劃和回顧.深度學習的過程就是幫助學生享受這一過程，享受成功解決問題的快樂；享受山重水復疑無路，柳暗花明又一村的驚喜；享受知識本身所散發的獨特魅力.