多種解題視角下的別樣精彩
——品味2021年浙江高考填空壓軸題

浙江 尹 健 沈 恒

平面向量是中學數學的重點和難點，也是浙江高考填空題中的“最高峰”．對于如此重要的一道題，筆者在這里先提出三個問題：第一，如何有效地解答高考真題中的平面向量試題？第二，命題專家在出題時怎么考查平面向量的知識點與其他內容的綜合性？第三，根據試題的導向，我們的教學該怎么調整？筆者以為，每一年高考試題都會帶給一線教師值得回味之處．在剛剛結束的2021高考中，浙江卷平面向量樸實無華，在容易上手的同時又能凸顯學生的能力，強調基礎又重視能力，較好的區分了學生的水平和層次，值得一線教學深思．

1.問題

(2021·浙江卷·17)已知平面向量a，b，c(c≠0)，滿足|a|=1，|b|=2，a·b=0，(a-b)·c=0，記平面向量d在a，b方向上的投影分別為x，y，d-a在c方向上的投影為z，則x2+y2+z2的最小值為．

分析：本題涉及四個向量，三個參數，第一眼看上去非常復雜，但根據平面向量基本定理，四個向量都可以用a，b作為基底表示，而由a，b的垂直關系可以借助坐標系來進行運算，三個參數之間也有一些聯系，從而達到消參的目的，但是始終會剩下兩個無關變量x，y，接下來該怎么處理呢？對于含有兩個變量的最值問題，一種方法可以先固定一個變量x或y，將其看成常數，借助函數的方法來解決；另一種方法是借助不等式來統一解決；由于向量本身具有幾何意義，所以本題也可以從幾何圖形的視角入手，這里從條件提供的向量關系來作出圖象，即投影的概念，那么所涉及的參數也可以賦予幾何意義，從而簡化問題，直至解決．可以這么說，今年浙江卷平面幾何試題的命制入口較寬，方法較多，計算較簡潔，具有濃烈的浙江特色．下面我們先來看看多種常用解法.

2.解法

說明：坐標法是平面向量中常用的方法，也是學生在考試中最優先選擇的方式，因此學生突破本題時，最容易想到的正是此方法．而且由于題目給出|a|=1，|b|=2，a·b=0，所以非常容易建立坐標系，之后的c，d等向量都可以用坐標表示出來，根據投影的概念，z也可以用x，y表示出來，到這一步為止，對于大部分學生來說都可以完成．但是接下來，x2+y2+z2即使代入消去z，表達式中仍有x，y兩個變量，這兩個變量沒有任何相互關系，所以無法利用代入消元法．通過進一步分析發現，我們可以選用逐個擊破的方式，先將y看成常數，表達式看成關于x的二次函數，由二次函數的最小值消去x，這樣一來，表達式就變成關于y的二次函數，最后就可以直接求出此二次函數的最小值．此方法消去的參數是x，那么能不能消去y呢？當然是可以的，具體解法如下.

說明：本解法與解法一類似，只是消去的參數不同，所以重復的地方不再贅述．上述兩種方法，都是學生在考試時容易想到的方法，操作起來也具有時效性．但是．由于上述兩種方法都不可避免地要消去x，y其中的一個，所以步驟較多，計算量較大，消耗的時間較多．那么如何不用消參，可以更加高效地解決問題呢？我們可以借助不等式．

說明：有關兩變量的最值問題，不等式是一種比較快捷、實用的方法．而此方法使用的是柯西不等式，通過比較可以發現，此方法比前兩種方法的計算要少，在得到表達式后只需一步即可求出最終答案，筆者在寫的時候將這最后一步拆成多個步驟的目的主要是為了閱讀時更加清晰，在實際考試時，只要列一個柯西不等式即可得出答案．然而，柯西不等式這個內容本身對學生的水平要求較高，而且在等式變形的時候配方也是一個不小的難點，所以雖然計算簡化了，但思維的要求卻提高了．而且此方法只是簡化了后半程的計算，前半程還是和前兩種方法一致，這就是坐標法的弊端，一定會有比較復雜的計算過程．為了克服這種弊端，我們需要拋棄坐標，利用平面向量的幾何性質．

解法四(幾何法1)：

說明：可以看到，當我們將向量的幾何性質與代數性質結合得到圖象之后，題目涉及的參數也被賦予了幾何意義，從一開始減少了變量，后續的運算也簡單了，有效地提高了解題效率．雖然將變量改為|d|與θ比前三種方法要簡潔，但是我們發現最后還是繞不開雙變量問題，這并沒有解決本題最核心的難點，所以接下來我們繼續將此方法優化，尋找單一變量．

解法五(幾何法2)：

說明：比較解法四與解法五，我們發現如果進一步去理解圖形，那么從一開始我們就可以將參數減少到最少，直接變成一個單一變量的二次函數最值問題，這樣一來，我們只需要花費前幾種方法一半的時間，就可以解決此題．因此我們深深地認識到，平面向量具有代數和幾何的雙重身份，將兩者結合起來解決問題，往往是解題的最佳方案．

3.對比

命題組對試題的命制考慮周全，解決問題的切入口是開闊的．這就凸顯了高考真題以通性通法為基本依據的特性，透過本題思考高三的平面向量復習教學應該怎么做呢？讓我們從上述常規的解法中來判斷、辨別和思考(如下表)：

解法1解法2解法3解法4解法5優點容易上手,坐標法結合函數是學生在考試時最喜歡使用的方法,大部分學生均能沿著這一思路走下去與解法1大致相同不等式法能夠取代函數法來解決最值問題,并且運算量要少于函數法消參的過程更加簡潔,運算量更小,解決了坐標法的弊端消參過程很徹底,運算量小,比解法4更加高效缺點步驟較多,運算量大,消參過程極為煩瑣,多數學生面對雙變量問題無從下手與解法1大致相同對學生的能力要求較高,并且不能從根本上解決坐標法的弊端盡管減少了參數,但依舊有一定的計算量,仍然是雙變量的問題需要對向量的幾何性質有較好地掌握,并且能夠準確深入地分析圖形,對學生的思維要求很高

續表

4.建議

學生非常熟悉平面向量的基礎知識，但是大部分學生在面臨平面向量難題的時候往往不能通曉其究竟，筆者將其歸結為三種癥結：

癥結建坐標系“一知半解”多個變量“望而生畏”幾何性質“置若罔聞”學生對于坐標法是非常熟悉的,而且浙江卷近年高考真題都可以用坐標來做.然而坐標法雖然容易上手卻運算煩瑣,這里涉及函數、不等式、變形等一系列其他內容的基本功,導致很多學生坐標算到一半,就不知所措了對于向量中的最值問題,尤其是當向量位于17題位置時,涉及的變量往往不止一個,而很多學生對于單一變量都不能完整掌握,那么對于多個變量,就更加無從下手,一看不會,馬上就放棄了從向量最初的教學開始,必定會強調幾何性質,但是很多學生不愿意花時間思考,只知道動筆算,經常把向量問題當成純粹的代數問題,對于幾何性質用的很少教學建議解決“一知半解”,要加強學生的基本功,向量是考小題的,只會建系但是得不出最后的答案,還是沒有分的,向量往往會和其他知識點結合起來,所以教師應該提前做好教學布局,對于向量解題過程每一個環節都要有細致的講解,并且要給學生專項的訓練,讓學生融會貫通解決“望而生畏”,首先要加強學生的自信心,讓學生看到題目不會害怕,所以在平時的教學中盡量講容易想到且適用于大部分學生的方法,另一方面還要培養學生對數學的研究精神,讓學生看到難題之后產生興趣而不是失去興趣解決“置若罔聞”,這實際上對學生的思維能力要求較高,主要依靠在課后的單獨輔導,在學生掌握坐標等代數方法后,要向學生傳達幾何性質的優越性,引導學生向這方面思考