阿波羅尼斯圓及其應用

江西 孫春生

1.在以A,B為定點的阿氏圓上任意一點，到A,B兩點的距離之比都等于定值λ(λ≠1)；

3.頂點C的軌跡就是阿氏圓，是以TD為直徑的圓，且A,B,T,D四點共線.

阿波羅尼斯圓常以以下三種形式出現：①作為數學文化試題直接應用；②需要挖掘隱含條件，轉化使用；③與立體幾何知識聯系在一起，拓展應用．以下分類例析．

一、作為數學文化題呈現

【例1】阿波羅尼斯(古希臘數學家，約公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，他證明過這樣一個命題：平面內與兩個定點距離的比為常數k(k>0,k≠1)的點的軌跡是圓，后人把這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知定點A(-2,0),B(2,0)，動點C滿足|AC|=2|BC|，則動點C的軌跡為一個阿波羅尼斯圓，記此圓為圓P，已知點D在圓P上(點D在第一象限)，AD交圓P于點E，連接EB并延長交圓P于點F，連接DF，當∠DFE=30°時，直線AD的斜率為

( )

【分析】先設點C(x,y)，根據|AC|=2|BC|求出點C的軌跡方程，過圓心P作PG⊥DE于點G，求出|PG|，|PA|，可求出sin∠PAG的值，再利用同角三角函數的基本關系可求得直線AD的斜率.

因為∠DPE=2∠DFE=60°，|PE|=|PD|，則△DPE為等邊三角形，

【評注】近幾年高考數學文化題難度加大，首先要明白題中含義，明確數學關系，再結合相關數學知識來解決問題.

二、構造阿波羅尼斯圓

( )

解法一:設點C(m,n)，

【評注】本題解題的關鍵是構造2|MA|=|MC|，得到M所在圓就是對應的阿波尼羅斯圓，然后逆向求出定點C的坐標，利用三角形兩邊之差小于第三邊的方法解決.本題的解法二，直接利用阿波羅尼斯圓中，角平分線的性質來解，簡潔明了.

三、挖掘隱含條件使用

【分析】此類題我們通常想到的是用解斜三角形的方法，但如果利用AB=2AD，構造阿波羅尼斯圓來解決，則能優化思維，簡化運算．

解法一:用解斜三角形的方法，設AD=CD=m，

則AB=2m，根據面積公式得,

所以(S△ABCmax)=BD·r=2.

【評注】解題過程中，若多關注問題的形成，注重知識的積累，形成解法的多樣性，在答題時往往能更勝一籌．

四、在空間中拓展應用

【例4】在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是正方體的表面ADD1A1(包括邊界)上的動點，若動點P滿足PA=2PD，則點P所形成的圓的半徑為；若E是CD的中點，且正方體的表面ADD1A1(包括邊界)上的動點F滿足條件∠AFB=∠EFD，則三棱錐F-ACD體積的最大值是．

解:如圖，以D為坐標原點，DA為x軸，DD1為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(2,0),D(0,0)，

設P(x，y)，

因為AB⊥平面ADD1A1，CD⊥平面ADD1A1，

所以∠FAB=90°，∠FDE=90°，

因為E是CD的中點，所以AF=2DF，由此得到點F的軌跡即為P點的軌跡.

則三棱錐P-ACD體積的最大值是

【評注】第二問中要根據角度相等，充分利用空間位置關系，得出AF=2DF這一幾何條件，再利用阿波羅尼斯圓的性質解決問題．

五、 逆向構造探究題

【例5】已知圓C：(x-3)2+y2=4，直線l：(m+1)x-(3m-1)y+m-3=0．

(1)求直線l所過定點A的坐標及當直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值；

解法一：(1)定點A(2,1)，m=1，過程略．

假設存在定點N(3,t)滿足題意，則有|PM|2=λ2|PN|2，

整理得(x-3)2+(y-3)2=λ2[(x-3)2+(y-t)2]，

又因為(x-3)2=4-y2，

所以4-y2+(y-3)2=λ2[4-y2+(y-t)2]，

化簡得(2λ2t-6)y-(λ2t2+4λ2-13)=0,

當λ=1，t=3時，點N與點M重合，不符合題意，

解法二:設過定點M,N的阿波羅尼斯圓交直線x=3于T,D兩點，則T(3,2),D(3,-2)分別為△MAC的內角平分線與外角平分線與直線MN的交點，M(3,3)，設N(3,n)，將點的坐標代入