一題一課落素養 深度教學顯神通
——一類二元二次型條件下函數最值問題的解法探究

甘肅 張 科 朱軍平

隨著《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》頒布，落實數學學科核心素養愈發為教師所重視，但在實踐層面上還需要更有效的探索，筆者在教學實踐中基于數學學科核心素養開展深度教學研究.二次型條件下的最值問題是高中數學的熱點和難點問題，各類數學考試、高校自主招生和數學競賽都會涉及二元二次條件下的最值問題，通常可用換元法進行求解，用三角替換或是整體替換，怎樣換元，這是學生求解過程中的難點！如何讓學生能夠“以不變應萬變”解答問題，并形成數學學習的技能？本文在高等數學觀點下，利用拉格朗日乘數法在二次條件下，對函數z=f(x，y)的最值進行了規范解答與推廣應用，有利于高效解決此類問題.

1.試題呈現與解法探究

【試題再現】已知實數x，y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值是

( )

【命題意圖】本題是一道二次型條件下的最值問題，意在考查學生對二次型最值問題的基本解題思路與消元的解題策略掌握情況.

“換元法”是高中階段學生常用的解決此類問題的方法，但是這種方法操作起來并不容易，那么除了“換元法”之外，是否還有其它方法可以解決此類問題?

如果將此問題從二元函數的角度去分析，會發現此類問題的高等數學背景和本質，其實就是多元函數條件極值、最值問題.令f(x，y)=2x2+y2，φ(x，y)=5x2-y2-4xy-5，則原問題可轉化為在條件φ(x，y)=0下，求函數z=f(x，y)的最小值.下面介紹“拉格朗日乘數法”，一種利用高等數學知識求解二元二次代數式的最值的方法.

由于上述解法三與前述換元法比較，更加簡便、高效，且具有“以不變應萬變”的解題功能，所以在高中階段把這一方法介紹給學生，特別是尖子生是可行的，也是值得推廣的.

2.變式探究

變式一：已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值為

( )

A.3 B.4

變式二：若正實數x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值為________.

評析：以上兩道變式題，利用常規解法具有較強的技巧性，其中變式一對變形能力要求較高，變式二關鍵在于構建不等式；而創新解法中，只需要按部就班地運用“拉格朗日乘數法”即可順利獲解.

3.考題鏈接

題1.若正數x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是

( )

C.5 D.6

題2.實數x，y滿足2x2+3y2=6y，則x+y的最大值是________.

評析：以上兩道考題，利用常規解法求解時需要明確解題方向，其中題1靈活借用了“1”的特性和基本不等式，題2靈活運用了三角換元和相關三角函數知識；而創新解法中，只需要按部就班地運用“拉格朗日乘數法”即可順利獲解.

4.推廣引申

這類問題在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)中也比較常見，現將此類問題引申到圓錐曲線類似的最值問題中.

【例2】雙曲線x2-4y2=4(x≥2)上是否存在一點到直線y=3x的最短距離，若存在，求出該點坐標；若不存在，請說明理由.

解析：雙曲線x2-4y2=4(x≥2)上存在一點到直線y=3x的距離最短，理由如下：

【例3】在拋物線y2=4x上求一點，使得其到直線x+y+4=0的距離最小.

評析：一般地，處理橢圓、雙曲線、拋物線上的動點到一條定直線的距離的最值問題，均可靈活運用本文介紹的“拉格朗日乘數法”加以求解.

5.反思感悟

綜上，在二元二次型條件下，利用“拉格朗日乘數法”可順利求解目標函數z=f(x，y)的最值問題.具體解題時，需要先構建構造拉格朗日函數L(x，y)=f(x，y)+λφ(x，y)，其中附加條件為φ(x，y)=0；再通過求導構建方程組，然后解方程組即得最值情境，進而破解目標問題.

在今后的高考復習備考中我們要善于通過一題多解的形式，探究發現具有一般性的解法，即解題通法，其優點是解題步驟程序化，極易操作，從而便于迅速解決問題.