拋物線的切線性質及其應用探究

安徽 王 輝

直線與圓錐曲線的位置關系是各類考試考查的重點，特別是直線與拋物線的相切問題，充分蘊含著解析幾何的靈魂，體現了數形結合的思想，解法靈活多變.本文探究試題本質，歸納結論并進行拓展引申，以期拋磚引玉，指導高三高效復習備考.

1.引例呈現與分析

(2021·全國乙卷理·21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4．

(1)求p；

(2)若點P在M上，PA，PB為C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值．

試題分析：試題表面常規，但內涵深刻，考查圓錐曲線的綜合運用，重點考查直線與拋物線的相切位置關系，考查化歸與轉化思想、運算求解等能力，較好地檢測了學生的數學素養和學習潛能．

2.解法探究

所以Δ=16k2+16b>0，即k2+b>0，且x1+x2=4k，x1x2=-4b，所以P(2k,-b)，

又因為點P(2k,-b)在圓M:x2+(y+4)2=1上，故

而yp=-b∈[-5,-3]，

評析：第(2)問標準套路，設切點，直接求導得到切點A,B處的斜率，進而求出拋物線的切線方程，聯立方程組求出交點P的坐標.待定系數法設切點弦AB所在直線方程，聯立直線與拋物線的方程組，利用韋達定理，找到變量k,b之間的關系，結合弦長公式，構造函數表示三角形的面積，進而用函數思想方法求最值.解題思路清晰明了，但是運算煩瑣，對學生的運算能力要求較高.

解法2：設A(x1,y1),B(x2,y2),P(a,b)，AB中點為Q(x0,y0),

又因為切線PA,PB都過點P(a,b)，

代入x2=4y,可得x2-2ax+4b=0，Δ=4a2-16b>0,

于是x1+x2=2a，x1x2=4b,

因為點P(a,b)在圓M:x2+(y+4)2=1上，因此a2+(b+4)2=1，

即a2=1-(b+4)2，所以

評析：本解法相對于解法1，運算量就小很多，通過寫出PA，PB兩條切線的方程，利用兩點確定唯一直線，設而不求的技巧，寫出切點弦AB的方程.此解法抓住弦AB的中點Q與P的橫坐標相同這一性質，分割表示所求面積，降低了運算量.學生應重視拋物線相關性質結論的積累，簡化解題過程.

3.拋物線的切線性質探究

通過對引例分析和解答，得到弦AB的中點Q與點P的橫坐標相同這一性質，是不是巧合?能不能把拋物線的切線性質一般化，還有哪些與切線有關的常用性質?本文將進行如下探究總結.

結論1：已知點Q(x0,y0)在拋物線上，則過點Q(x0,y0)的切線方程如下：

(1)若y2=2px(p>0),則切線方程為y0y=p(x0+x);

若y2=-2px(p>0),則切線方程為y0y=-p(x0+x);

(2)若x2=2py(p>0),則切線方程為x0x=p(y0+y);

若x2=-2py(p>0),則切線方程為x0x=-p(y0+y);

證明(1)對y2=2px(p>0)的兩邊求導數，

因為點Q(x0,y0)在拋物線上，

將②代入到①中，得y0y-2px0=px-px0,y0y=p(x+x0),

因此切點為Q(x0,y0)的切線方程是y0y=p(x0+x).

結論2：已知點Q(x0,y0)不在拋物線y2=2px(p>0)上，設過點Q(x0,y0)的切線為QA,QB,A,B為切點，則過切點AB的直線方程為y0y=p(x+x0)，

證明：由結論1可得，對于拋物線y2=2px(p>0)來說，過拋物線上的點A(x1,y1),B(x2,y2)的切線方程分別是

y1y=p(x+x1),y2y=p(x+x2).

因為點Q(x0,y0)在直線y1y=p(x+x1)上，所以

y1y0=p(x0+x1) ①，

同理點Q(x0,y0)在直線y2y=p(x+x2)上，

y2y0=p(x0+x2) ②.

由①②可知,點A(x1,y1),B(x2,y2)均在直線

y0y=p(x+x0)上,

所以切點弦直線AB的方程是y0y=p(x+x0)，問題得證.

同理可得焦點在x軸上的切點弦直線方程，此處略.

結論3：已知點Q(x0,y0)不在拋物線y2=2px(p>0)上，設過點Q(x0,y0)的切線為QA,QB,A,B為切點，設弦AB的中點為P，則PQ平行于拋物線的對稱軸.

證明：由結論2可知,過拋物線y2=2px外一點Q(x0,y0)的切點弦AB的直線方程為y0y=p(x+x0)，代入拋物線方程y2=2px，得y2-2y0y+2px0=0,

上述引例解法2實際上是結論1,2,3的應用，這就需要學生在平時重視一般結論和基本解題方法的積累，善于鉆研和思考問題的本質規律，從而提高復習備考效率.

4.引例的引申探究

引申2：設Q(a,b)是拋物線x2=2py(p>0)外部一點，設弦AB與QA,QB圍成的三角形面積為S，則

以上引申的證明不再贅述.

5.一般化結論探究，揭示問題本質

對于一個數學問題，如果我們從不同的角度去思考和剖析的話，往往會得到意想不到的結果與收獲.因此在平時的教學過程中，要學會對問題的深入探究以及對同根、同源、同宗問題的延續及推理，總結歸納解題方法，找到問題的一般結論.

事實上，我們把“一條過定點的拋物線的中點弦”“一條定直線x=-m”“一條切線”“一條平行于對稱軸的直線”四個語句中的任意三個作為條件，余下的一個作為結論，能夠構成以下幾個真命題.

結論4：如圖，過拋物線C:y2=2px(p>0)的對稱軸上的任意一點(m,0)(m>0)作直線AB,交拋物線于A,B兩點，切線QA與直線x=-m交于點Q,過點Q且平行于拋物線對稱軸的直線交直線AB于點P,則P為AB的中點.

證明：設直線AB的方程為x=ty+m,

將其代入拋物線方程C:y2=2px(p>0)，整理得y2-2pty-2pm=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1+y2=2pt,y1y2=-2pm,

而過點A處切線的方程為yy1=p(x+x1)，

結論5：過拋物線C:y2=2px(p>0)的對稱軸上的任意一點(m,0)(m>0)作直線AB,交拋物線于A,B兩點，記AB的中點為P,過點P且平行于對稱軸的直線與直線x=-m的交點為Q,則直線QA,QB為拋物線的切線.

證明:設直線AB的方程為x=ty+m,

將其代入拋物線方程C:y2=2px(p>0)，整理得y2-2pty-2pm=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，

則y1+y2=2pt,y1y2=-2pm,

結論6：過拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上的任意一點(m,0)(m>0)作直線AB,交拋物線于A,B兩點，切線QA與直線x=-m交于點Q,P為AB的中點，則直線PQ平行于拋物線的對稱軸.

結論7：過拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上的任意一點(m,0)(m>0)作直線AB,交拋物線于A,B兩點，直線QA為拋物線的切線，則過AB的中點且平行于拋物線對稱軸的直線與直線QA的交點在直線x=-m上.

結論8：過直線x=-m(m>0)上的任意一點Q作拋物線y2=2px(p>0)的切線，切點分別為A,B,則直線AB過定點(m,0).

證明：設Q(-m,yQ)，由題意得,切點弦AB所在直線的方程為yyQ=p(-m+x), 所以直線AB過定點(m,0).

反過來，拋物線互相垂直的兩條切線的交點必在準線上.

以上探究的結論主要圍繞焦點在x軸正半軸上的拋物線y2=2px(p>0)，當焦點在其它位置時，拋物線相關性質同理可得.當然，與拋物線有關的切線性質還有很多，在此不再一一列舉.

6.延展應用，拾級而上

直線與拋物線、橢圓的位置關系一直是高考和模擬考試中的熱點和難點，在很多圓錐曲線題目中都是探求一些特殊結論(如定點、定值問題)，這些結論看似特殊，實則都具有普遍性，它們的背景往往是某種圓錐曲線的一個特定性質，由這些性質可以衍生出許多形式不同但本質相同的試題，研究這類試題不僅能夠更好地把握解析幾何的本質，還能擴展視野，減少大量的運算過程，避免煩瑣的推理，提升解題能力以及核心素養.下面舉例說明上述結論性質在解決直線與拋物線相切問題時的運用.

【例】(2021·“江南十校”一模聯考理·20)已知動圓P與x軸相切且與圓x2+(y-2)2=4相外切，圓心P在x軸的上方，P點的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

解析：(1)x2=8y(x≠0)；

(2)由題意知，E(4,2)在曲線C上，直線AB的斜率存在，

設A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1+x2=8k,x1x2=-32.

故y=4，所以交點D(4k,-4)，

設E到AB的距離為d1,D到AB的距離為d2，

評析：本題解題的關鍵在于借助切線方程聯立求點D的坐標，進而將問題轉化為E到AB的距離d1和D到AB的距離d2的比值問題，再利用換元法求最值即得答案.本題與引例中的2021年全國乙卷理科第21題有幾分相似.利用性質結論9可知，兩切線的交點為D(pk,-m)，即點D(4k,-4)顯然就在直線y=-4上.在解題時合理使用結論能簡化推理和運算過程，具有簡潔、直觀的特點，極大地提高了解題效率.

7.結束語