用特殊位置探求解析幾何中定點定值問題

江蘇 梁永年

解析幾何的本質是用代數的方法研究幾何問題.在教學中，有些數學老師認為學生解析幾何學不好的主要原因是運算能力不強，為此，就通過大量解題去訓練學生的運算求解能力，其結果是學生解決解析幾何問題的能力并未得到顯著提高.究竟如何才能有效提升解析幾何的復習效率呢？涂榮豹教授認為：解題教學 “以尋找思路為核心”，尋找思路也就是要找到解決問題的切入點.

1.教學分析

本校開展以解析幾何中定點、定值問題為主題的測試.從反饋情況來看，學生解答這類試題難度較大，得分很低.其實，學生基礎較好，也理解解決這類問題的一般思路，但面對新問題、新思路依然受阻.筆者認為定點問題與定值問題的共同特征是“定”，而與“定”對應的是“動”，即運動變化.因此，定點與定值問題的本質是尋求運動變化過程中的不變量，這就啟示我們根據運動變化中的特殊位置去尋找方法和思路，為我們解決問題提供一個重要的方法策略，從而更能有效地提升學生的復習效率.本文將以具體案例(利用圖形的特殊情形)來說明特殊化思想在解析幾何定點定值問題中的應用.

2.案例分析

2.1 優化運算思路

從特殊情形入手猜測結論，再證明這個點(值)與變量無關，可將盲目的探索問題轉化為有方向有目標的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口，分析法是解決不少證明問題的有效方法，對一些定點、定值問題的證明也行之有效，能達到事半功倍的效果.

2.2 指明探索方向

分析：雖然學生知道定點、定值問題的基本方法是找準主元，引入參數，建立各個量間的數量關系.但是，對于這道題，發現不管設什么量，都不好表示|PM|， |PN|．

當過點P且與圓O相切的切線斜率存在時，可設直線MN的方程為y=kx+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

有些考題，我們雖不能立即看透其本質，但借助于幾何直觀中特殊位置獲得定點或定值，再對一般情形給出推理與證明，我們大膽預測，多試一試，不斷培養從圖形中發現規律的能力.

2.3 揭示問題本質

分析：該題難度較大，學生得分率很低.但其實思路方法并不難，設M(x1,y1)，N(x2,y2)，設直線MN的方程為y=kx+m,與橢圓方程聯立，由AM⊥AN可得,4k2+8km+3m2-2m-1=0.由于現在初中因式分解要求較低，很多學生根本無法處理該等式，如何突破這一難點呢？

考慮直線MN在變化過程中的特殊位置：

(3)考慮極限情況，當點N無限接近點A時，此時直角三角形退化為線段，D點無限接近點A，即有D3(2,1)；

利用特殊的位置突破本題的難點，引導學生學會分析直觀圖形，培養學生從圖形中發現規律和透過現象看本質的能力，這種思維方式是逐漸養成的一種思維習慣，離不開反復的訓練強化，需要日積月累，并將數學知識轉變成數學能力，這樣不斷循環往復，學生的數學素養也就得以不斷提升.

3.備考建議

從特殊到一般，再由一般到特殊，探尋問題解決思路，這是認識世界的一個普遍規律.從圖形的特殊位置、特殊情形、極限狀態、圖形的對稱性等關鍵信息切入，猜測定點、定值結論，再證明這個點(值)與變量無關，是解決定點、定值問題的一個有效方法，能達到事半功倍的效果.