運用樣例探究 升華學生核心素養
——以“解三角形”一章復習為例

廣東 王鐵成

高三數學復習大多為“做題——講題”模式，老師力求把題型覆蓋全面，學生的負擔自然重，機械的訓練不利于提高學生的核心素養.這就需要一些典型的樣例為載體.樣例是指教師提供以逐步呈現解題步驟的形式來為學生提供問題解決方法的例題.樣例分不完整樣例和完整樣例，不完整樣例在呈現方式、設問方式，以及答案組織方面具有某種不完整性，教學情境更具生成性、開放性和不確定性，能更好地激發學生的積極性和創造性，從而提高學習效果，從某種意義上講契合高考新題型——結構不良試題.有助于幫助學生搭建知識網絡，培養學生提出問題、解決問題的意識和能力，升華核心素養.但是這種樣例的學習方式對學生的基礎知識要求較高，同時要求學生有一定的自學能力和理解能力.高三畢業班的學生恰好大多都具備這個條件.本文以“解三角形”為例，嘗試運用“樣例”探究新模式，打破“做題——講題”死循環，提高課堂效率，落實《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標準》)理念，升華核心素養.

1.探究不完整樣例 復習本章主干知識點

“解三角形”一章中最重要的幾個基本知識點：正弦定理、余弦定理、射影定理及它們的證明和應用，下面我們通過案例研究任意三角形中的“向量的等量關系”，通過不同的數學方法處理，證明定理.

2.創設條件與結論互換的樣例 加深對基本定理的認識

在高中數學教學中，我們會發現很多數學命題中的原命題和逆命題都是真命題，因此我們可以通過將問題與條件互換，創設樣例，教師給出命題充分性的證明，由學生來補充命題的必要性條件，反之亦然.在這個活動中學生能夠充分體會到知識運用和問題思考的雙向性，有利于培養學生的發散性思維，認識到事物的對立與統一.

案例2正弦定理、余弦定理的相互推導證明

視角一：用正弦定理推導余弦定理(以a2=b2+c2-2bccosA為例)

b2+c2-2bccosA

=4R2(sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA)

=4R2[sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)]

=4R2[sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sinBsinCcosBcosC]

=4R2(sinBcosC+sinCcosB)2=a2.

視角二：用余弦定理推導正弦定理

sin2C=1-cos2C

通過“公式互推”樣例的活動組織，讓學生在公式“對象”和“過程”的雙重身份中不斷切換思維對象，不斷感知數學推理的力量，同時加深對兩個基本定理的認識.這樣的活動組織可以提高學生的推理論證能力，拓寬認識公式的視野，貫通知識間的聯系.

3.創設確定條件變換結論樣例 建立數學模型

在高中數學學習中，還有一類問題就是題目的條件非常類似，甚至相同.由于考查的目標不同，可以采用不同的提問角度創設結論.如果學生能夠在這種通過結論變換創設的“不完整樣例”的活動氛圍中學習，必定能夠增強思維的深度，提高運用所學知識的能力.

案例3△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a=6，∠A=60°，請添加結論，形成一個完整習題.

學生根據已有的基本知識設計習題，部分具有代表性的習題，選取如下：

問題1：求b+c的取值范圍；

問題2：求三角形周長的取值范圍；

問題3：求bc的取值范圍；

問題4：求三角形面積的最大值.

本案例實際上呈現了解三角形中的一個最重要的模型“給出定邊及其所對的角”，其他結論部分可以設計求一些基本量的最值問題，其實這也是很好的一道結構不良試題.學生如果能從單純的解決問題上升到能夠編撰習題的高度，那么課堂是非常成功的.既能促進學生的深度學習，訓練學生的基本技能，同時發展學生的數學認知，提高數學素養.

4.創設能夠多視角解題的樣例 鋪設學生知識網絡

教育家波利亞說過“即使是相當好的學生，當他得到問題的解答后，就會合上書本，找點別的事來干，這樣做，他就錯過了解題的一個重要方面”.如果教師能使學生在每次解題之后捫心自問:“這道題的解法是否完善?這道題有沒有更好的解題途徑?能不能換個角度考慮一下?還能不能再推廣呢?”，在不同角度的解法間切換，那么學生就會融會貫通各個知識點，形成知識團，學生的核心素養品質必然由量變產生徹底的質變.

案例4解決案例3的問題4

視角一:借助余弦定理和均值不等式

因為a，∠A已知，△ABC面積的最大值可轉化為求bc的最大值，所以用余弦定理建立b，c之間的關系，在此基礎上用基本不等式求最值.

視角二:借助正弦定理和三角函數的性質

視角三:借助平面幾何知識

案例5(2021·新高考Ⅰ卷·19)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

解：第(1)問較為簡單，請讀者自行解決，由于篇幅不再贅述，我們集中精力解決第(2)問.

視角一：借助余弦定理

另解：也可以在△ABD中和在△ABC中使用余弦定理，即利用∠BAD=∠BAC也可以求解.

視角二：借助平面向量

再由余弦定理b2=a2+c2-2accos∠ABC，及b2=ac得到6a2-11ac+3c2=0下同案例5視角一.

視角三：借助平面幾何知識(勾股差定理和托勒密定理)

知識面更寬的學生，或者參加過競賽培訓的學生，其實還有更容易的平面幾何方法，比如勾股差定理和托勒密定理.

5.創設“錯中悟道”樣例 深化學習品質

高三講評課涉及的內容都是學生已學過的知識，學生會覺得課堂很平淡，但是解三角形里面的運算有時形式化技巧用得較多，如果在學生算出了結果后，我們引導學生去質疑，你的結果正確嗎？那么課堂效率就會顯著提高.同時也會培養學生的質疑批判精神，錯中悟道.

①∠A的大小；

②若a=6，b+c=8求△ABC的面積.

這樣的錯中悟道樣例探究，也正是《課程標準》所要求的“在學生進行活動的同時，給學生樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神，不斷提高實踐能力，提升創新意識.”

6.結束語

上述的幾個案例層層遞進，從知識的3個層次，了解、理解、運用來提高，特別是在高三復習的階段，學生會以這些案例為載體，把解三角形的相關知識融會貫通成知識團，再有機添加到自己所擁有的高中數學知識網中，并且不斷地壯大和凝練！6個案例基本表征如下：