從一道幾何光學(xué)題的探究過程看科學(xué)思維的妙用

湖北 徐愛梅

對物理問題的探究過程，常常需要巧妙地運(yùn)用科學(xué)思維，利用模型建構(gòu)、科學(xué)推理、科學(xué)論證、質(zhì)疑與創(chuàng)新，化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉，探尋其本質(zhì)規(guī)律。教師在教學(xué)過程中不能只滿足于物理問題的解答，應(yīng)該在問題的解決過程中讓學(xué)生體會科學(xué)思維運(yùn)用的巧妙，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維。對于光學(xué)試題也是如此。

在筆者印象中，光是自然界最聰明的物質(zhì)，它總是傾向于更高的效率，比如光總是走最快的路徑。我們可以運(yùn)用類比思維，從光的反射、折射規(guī)律中找到求解宏觀物體最短運(yùn)動時間的方法，相較于使用費(fèi)時的數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)運(yùn)動規(guī)律，運(yùn)用類比思維的好處是可以根據(jù)條件和規(guī)律的相似性快速找到解決問題的方法。比如在沙灘上看到一個人落水了，施救者走什么路線可最快到達(dá)落水者身邊？類比思維的解法是按照施救者在沙灘和水中速度，類比光的折射路徑。再如力學(xué)上的最速降線問題，也可用光的折射規(guī)律來理解，其路徑類似于海市蜃樓的光路。

光的折射引起色散時，比較介質(zhì)中不同色光的傳播時間，就要用到比較思維。比較思維能力是物理試題中經(jīng)常考查的科學(xué)思維，比較的時候要善于抓住相同點(diǎn)、聯(lián)系量、不變量，可以使比較的過程變得更簡單。

模型思維能力也是物理創(chuàng)新試題中經(jīng)常考查的科學(xué)思維，常在典型模型的基礎(chǔ)上加以變通或組合，考查學(xué)生對基本原理或者基本模型的組合運(yùn)用等。教材上常見的模型有平行玻璃磚、半圓形玻璃磚、三棱鏡、全反射棱鏡等。《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中特別強(qiáng)調(diào)了物理學(xué)科核心素養(yǎng)中模型建構(gòu)的科學(xué)思維。一些優(yōu)秀的模擬題充分體現(xiàn)了這一特點(diǎn)。2021年武昌五月質(zhì)量檢測試卷第9題就是一道考查科學(xué)思維的好題。

【試題呈現(xiàn)】某玻璃磚的橫截面是底角為45°的等腰梯形，如圖1，一束由紅綠兩色組成的復(fù)色光從AB邊中點(diǎn)E平行于BC邊射入后，兩種色光在BC邊均發(fā)生全反射后再從CD邊射出玻璃磚，其中紅光的射出點(diǎn)是CD邊中點(diǎn)F。除了全反射，不考慮光在玻璃磚內(nèi)的多次反射，則下列說法正確的是

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圖1

A.綠光在CD邊的出射點(diǎn)在F點(diǎn)下方

B.綠光在CD邊出射的方向與BC平行

C.綠光在玻璃磚內(nèi)傳播的時間一定比紅光要長

D.綠光在玻璃磚內(nèi)傳播的時間可能和紅光相等

一、利用對稱性化折線為直線

圖2

對于一道選擇題，命題人應(yīng)該不是要學(xué)生去做復(fù)雜的計(jì)算，那命題人是不是想普及什么特殊模型的特殊規(guī)律呢？筆者聯(lián)想到課本中曾有一個縫紉機(jī)纏線的滾輪從較光滑的桌面斜滾到布面上的情境，因?yàn)闈L輪的速度大小發(fā)生變化導(dǎo)致滾動方向也隨之改變，可以幫助理解光的折射現(xiàn)象，其中用到了時間相等來證明折射定律。筆者相信這道模擬題中也一定會存在一個蘊(yùn)含簡單規(guī)律的特殊模型。筆者把這個問題拋到一個物理教師QQ群中，并引起各地物理教師的熱烈討論。

二、利用熟悉模型推導(dǎo)結(jié)論

安徽省池州市的黎楊老師說：“當(dāng)做平行玻璃磚問題？折射率大的時間一定大。”

平行玻璃磚是學(xué)生比較熟悉的光學(xué)元件。但大多數(shù)學(xué)生只是重點(diǎn)研究過出射光與入射光平行的證明和比較不同折射率的單色光側(cè)移量的大小這兩個問題，對比較時間的問題沒有深入的研究。如圖3所示(①為紅光，②為綠光)，與筆者作入射光的對稱線(作入射點(diǎn)的像點(diǎn))不同的是，其他幾位老師做的是反射光的對稱線，相當(dāng)于做的是出射點(diǎn)的像點(diǎn)，入射點(diǎn)本來就相同，而出射點(diǎn)的像點(diǎn)連線就構(gòu)成了出射面CD的鏡面對稱像，很容易發(fā)現(xiàn)與平行玻璃磚的聯(lián)系。

圖3

作DC的垂線CE′，EE′⊥CE′，其中E′為垂足，則F、D關(guān)于BC面的像點(diǎn)F′、D′也在這條線上。根據(jù)對稱性，光的路程分別為EF′、ED′。

湖北省武漢市的張旭老師給了這個模型的推導(dǎo)過程與筆者下面的推導(dǎo)類似。

設(shè)入射角為i，折射角為θ，平行玻璃磚厚度為d，

結(jié)論：入射角i相同，折射角為θ=45°時，當(dāng)分母有最大值，時間t最短。

討論：折射率n越大，折射角θ越小。

此題入射角等于45°，折射角θ<45°，折射率更大的綠光在等腰梯形玻璃中的傳播時間一定比紅光長。不過，筆者感覺這種方法的計(jì)算量還是有些大，如果學(xué)生事先不知道這個模型，考場上推導(dǎo)還是會花費(fèi)大量時間。作為選擇題，還有沒有更簡潔的模型來解決呢？命題者心中想的是什么模型呢？

三、提出特殊模型速解問題

四川省的林斌老師提出：“做個圓直接秒(殺)”。如圖4所示(①為紅光，②為綠光)，紅光與綠光同時到達(dá)圖中圓弧，易得紅光的傳播時間小于綠光的傳播時間。

圖4

證明：如圖5所示，設(shè)圓的直徑為2R，入射角為θ，折射角為α，則

圖5

由于兩種單色光的入射角相等，所以它們經(jīng)過相同的時間到達(dá)圓弧面。

湖北省武漢市的姜付錦老師告訴筆者，這個模型叫惠更斯等時圓：兩束不同折射率的單色光以相同的入射角從一半圓形的玻璃磚的左端點(diǎn)入射，則兩束單色光在玻璃磚中傳播的時間相等。惠更斯等時圓為什么有如此簡潔奇妙的特點(diǎn)呢？是否包含什么本質(zhì)規(guī)律？河南省的李亞坤老師說了一句：“同一波面，時間必定相等。介質(zhì)中換算真空光程。”這就是惠更斯原理的波陣面。

結(jié)合等時圓的證明，我們可看出，以相同的入射角射到某一界面的復(fù)色光進(jìn)入介質(zhì)色散后波到達(dá)的點(diǎn)構(gòu)成的面應(yīng)該在一個圓面上，圓面的直徑在入射面上，入射點(diǎn)為直徑的一個端點(diǎn)，隨著時間延長，這個直徑越來越大。

筆者再一次驚嘆于物理規(guī)律的相似性，電場、引力場、光學(xué)、力學(xué)，總能在不同的領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)相似的規(guī)律。靜電透鏡、引力透鏡、磁聚焦與磁發(fā)散、光學(xué)透鏡、磁感線與電場線；運(yùn)動時間最短問題與費(fèi)馬定律；神奇的三分之二現(xiàn)象；力學(xué)和電磁學(xué)動態(tài)分析中的最終穩(wěn)態(tài)問題；變壓器和穩(wěn)恒電路中的動態(tài)分析問題；力學(xué)等時圓、光學(xué)等時圓……

四、拓展

在解決了之前筆者提出的問題后，湖北省的趙宗坤老師和姜付錦老師又分別給出了兩種不同情況的玻璃磚色散問題。

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圖6

A.t1>t2B.t1=t2C.t1

如圖7所示，運(yùn)用之前得出的結(jié)論易得t1>t2，A選項(xiàng)正確。

圖7

【例2】頻率不同的兩束單色光1和2以相同的入射角從同一點(diǎn)射入某種介質(zhì)后，其光路圖如圖8所示，下列關(guān)于兩束光的說法中正確的是

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圖8

A.單色光1比單色光2更容易發(fā)生衍射現(xiàn)象

B.單色光1比單色光2更容易發(fā)生光電效應(yīng)現(xiàn)象

C.單色光1與單色光2在介質(zhì)中的傳播時間可能相等

D.單色光1發(fā)生全反射的臨界角比單色光2的要大

如果熟悉惠更斯等時圓的模型，也可畫圖速解。如圖9所示，折射角為45°時，時間最短。若①②的折射角互余，則時間相等。

圖9

五、總結(jié)