伏安法測電阻的電路設計初探

安徽 邵 永 侯朝陽

電學實驗是每年高考必考的內容，通常在遵循可行性原則、準確性原則、操作性原則和安全性原則的前提下優化實驗方案，完成實驗目的，由于具有方法多樣化和綜合性強的特點，因此成為高考的重點和難點，學生的得分明顯偏低。在眾多的測量電阻的方法中伏安法最受命題者的青睞，因此，本文從眾多的設計中提煉、發散、概括減小誤差，特別是因電路設計而產生的系統誤差的若干方式，以期達到提高學生的實驗能力、發散思維能力，培養學生的創新意識和創新能力。

一、電表內阻未知條件下的伏安法測電阻

【例1】某同學通過圖1所示實驗電路測量一種合金的電阻率。適當調節滑動變阻器，讀出電壓表和電流表的示數分別為2.23 V和38 mA，由此該同學算出接入電路部分的合金絲的阻值為58.7 Ω。為了更準確地測出合金絲的阻值，在不更換實驗器材的條件下，對實驗應作怎樣的改進?請寫出兩條建議。

圖1

【解析】根據同學的計算結果可知，該電阻的阻值較大，所以要想精確測量其阻值，應減少電壓表的分流作用，采用電流表的內接；或者多次測量利用圖像的斜率求出金屬絲的電阻。

二、另類伏安法測電阻

【例2】有一個電壓表V，其內阻約為30 kΩ、量程30 V，為了測量其內阻，現有下列器材供選用：

標準電壓表V1：量程3 V，內阻為3 kΩ

標準電壓表V2：量程12 V，內阻為3 kΩ

電流表A：量程0～3 A，內阻未知

滑動變阻器R：總阻值1 kΩ

穩壓電源：30 V，內阻不能忽略

開關、導線若干

圖2

(1)根據上述器材，小明同學設計了如圖2所示的實驗電路圖，你認為此電路是否可行？請簡述理由：___________________________________________________________；

(2)請設計一個合理的電路圖，將所選用的器材用相應的符號表示標在圖上(要求V表指針的偏轉過半，并能測量多組數據)；

(3)電壓表內阻的表達式Rg=________；式中字母的意義是________________________。

【解析】(1)用圖2所示電路，電流表A的量程太大，而電壓表與其串聯時實際流過的電流太小，即電流表的指針偏轉不明顯，則此電路不可行；

(2)待測電壓表V的最大電流與標準電壓表V1的最大電流接近，可用待測電壓表V與標準電壓表V1串聯進行實驗，電路如圖3所示；

圖3

【點撥】電壓表測量的既是與之并聯電阻的電壓也是電壓表自身的電壓，電流表測量的既是與之串聯電阻的電流也是電流表自身的電流，所以當電壓表與電流表串聯時測量電壓表內阻無系統誤差，當電壓表與電流表并聯時測量電流表內阻無系統誤差。由于內阻已知的電表具有電阻、電壓表、電流表三重身份，所以兩塊電流表并聯時把已知內阻的電流表當成電壓表、兩塊電壓表串聯時把已知內阻的電壓表當成電流表，這樣測量同樣無系統誤差。例2中通過兩塊電壓表串聯測未知電壓表內阻，就是因為標準電壓表的內阻已知，所測電壓除以電表內阻等于流過待測表的電流，這是另類伏安法的具體呈現形式之一。

圖4

三、已知內阻的電表在伏安法中的應用

【例3】某同學要測量某定值電阻Rx的阻值，被測電阻大約為15 Ω，實驗室提供了以下器材：電源E：電動勢為3 V；電流表A：量程0～25 mA，內阻rA為90 Ω；電壓表V：量程0～3 V，內阻rV約3 kΩ；滑動變阻器R：阻值范圍0～10 Ω；定值電阻R1：阻值為10 Ω；開關S，導線若干。

甲

乙

(1)實驗開始前，需要將電流表A與定值電阻R1并聯，將電流表量程擴大，擴大后的量程為________A；

(2)實驗中盡可能多測量幾組數據，請根據要求在圖5方框內畫出實驗電路圖，并將實物圖甲連接完整；

(3)閉合開關前，將滑動變阻器的滑片移到最________(填“左”或“右”)端，閉合開關后，移動滑動變阻器，當電流表A的示數為11.4 mA時，電壓表的示數如圖5乙所示，電壓表的示數為________V，被測電阻的阻值為Rx=________Ω(計算結果保留三位有效數字)。

(2)由于要多次測量幾組數據，因此滑動變阻器用分壓式接法，由于改裝后電流表內阻已知，因此采用電流表內接法，電路圖及實物連接圖如圖6所示。

【點撥】用伏安法測電阻時由于電壓表分流或電流表分壓而產生系統誤差，在電表內阻未知的情況下通常采用“大內小外”的原則減小系統誤差，但是如果電表內阻已知則可以消除系統誤差，若電流表內阻已知統統采用電流表內接法，若電壓表內阻已知則統統采用電流表外接法，由于本題中電流表內阻已知，所以雖然是小電阻也不要采用外接法，需用內接法。

圖7

四、電橋平衡條件在伏安法測電阻中的應用

【例4】某同學利用如圖8所示的電路測量一微安表(量程為100 μA，內阻大約為2 500 Ω)的內阻。可使用的器材有：兩個滑動變阻器R1、R2(其中一個阻值為20 Ω，另一個阻值為2 000 Ω)；電阻箱Rz(最大阻值為99 999.9 Ω)；電源E(電動勢約為1.5 V)；單刀開關S1和S2。C、D分別為兩個滑動變阻器的滑片。完成下列填空：

圖8

(1)R1的阻值為________Ω(填“20”或“2 000”)；

(2)將電阻箱Rz的阻值設為2 500.0 Ω，接通S1。將R1的滑片置于適當位置，再反復調節R2的滑片D的位置。最終使得接通S2前后，微安表的示數保持不變，這說明S2接通前B與D所在位置的電勢________(填“相等”或“不相等”)；

(3)將電阻箱Rz和微安表位置對調，其他條件保持不變，發現將Rz的阻值設為2 601.0 Ω時，在接通S2前后，微安表的示數也保持不變。待測微安表的內阻為________Ω(結果保留到個位)。

【解析】(1)滑動變阻器R1要接成分壓式，則要選擇阻值較小的滑動變阻器，故填“20”。

(2)相等。

【點撥】這種電路叫惠斯通電橋，又稱單臂電橋，由英國發明家克里斯蒂在1833年發明，由于惠斯通第一個用它來測量電阻，所以習慣上稱作惠斯通電橋，其測量原理是當電橋平衡時四臂阻值交叉相乘相等，利用已知的三個臂的阻值測量電阻。

惠斯通電橋體現著物理中的和諧之美，當電橋處于平衡時，電路結構既可以看成先并聯再串聯、也可以看成先串聯再并聯，而利用這個特點可以實現別樣的測量方式。如圖9所示，當通過靈敏電流計的電流為零時，看成S2閉合時的電壓測量、看成S2斷開時的電流測量均無系統誤差，所以在電橋平衡時利用伏安法測電阻無系統誤差。如圖10所示，當靈敏電流計上電流為零時，看成靈敏電流計在閉路時兩個電壓表示數之和就是路端電壓，看成靈敏電流計開路時兩電流表示數之和就是干路電流，所以在電橋平衡時利用伏安法，即利用U1+U2=E-(I1+I2)r測量電源電動勢和內電阻時無系統誤差。

圖9

圖10

五、添加補償電路在伏安法測電阻中的應用

【例5】如圖11所示，某同學通過以下步驟測電阻：

圖11

(1)閉合開關K1、K2，斷開開關K3、K4、K5，調節電阻箱R0使電壓表偏轉三分之二以上。

(2)閉合開關K4、K5，斷開開關K1、K2、K3，調節R1(粗調)，使電壓表示數與(1)中相同。

(3)閉合開關K1、K3、K4、K5，斷開開關K2，調節R2(微調)，使靈敏電流計的示數為零，記下電流表示數I和電壓表示數U。

則電阻的測量值為________，理論上分析該同學測得的電阻________(選填“大于”“小于”或“等于”)真實值。

【點撥】在閉合開關K1、K2，斷開開關K3、K4、K5時就是伏安法測電阻，由于電壓表的分流會造成電阻的測量值偏大，在閉合開關K1、K3、K4、K5，斷開開關K2時，實際是增加了一個補償電路，當靈敏電流計的示數為零時，流過電流表的電流和待測電阻的電流相同，電壓表與待測電阻并聯所測電壓等于電阻兩端電壓，因此這樣測量無系統誤差，這叫電壓補償法。除了電壓補償法還有電流補償法，如圖12所示，利用電流補償法可以測量電源的電動勢和內阻，閉合開關S1、S2，反復調節R1、R2，使靈敏電流計的示數為零，記下電壓表和電流表的示數，這樣得到的電壓就是路端電壓、得到的電流就是干路電流，所以利用U=E-Ir計算出的電動勢和內阻沒有系統誤差。

圖12