滑板上表面由不同材料組合的板塊模型分類剖析

廣東 吳炳光

滑塊和滑板疊加的模型簡稱為“板塊模型”，這兩個(gè)簡單的“道具”為考查學(xué)生的物質(zhì)觀念、運(yùn)動與相互作用觀念、能量觀念展現(xiàn)了豐富多彩的情境，是高中物理講、學(xué)、練、測的重要模型之一。

在常見的習(xí)題、試題等案例中，“板塊模型”的滑板上表面通常是由同一種材料構(gòu)成的，要么是光滑的平面，要么就是動摩擦因數(shù)為一個(gè)恒定數(shù)值的粗糙平面，情境比較單一，缺少復(fù)雜性和新穎性。如果在“板塊模型”的滑板上表面做文章，將其設(shè)置為由幾種不同材料分階段組合，通過學(xué)生對多過程問題的解答，可以比較準(zhǔn)確地反映學(xué)生分析問題、解決問題的能力和學(xué)科核心素養(yǎng)。下面通過創(chuàng)設(shè)類型多樣的、具有一定復(fù)雜程度的試題，對滑板上表面由不同材料組合的“板塊模型”進(jìn)行分類剖析，供大家參考。

一、滑板上表面是“粗糙+光滑”兩段組合

【例1】如圖1所示，質(zhì)量M=3 kg的滑板A置于粗糙的水平地面上，A與地面的動摩擦因數(shù)μ1=0.3，其上表面右側(cè)光滑段長度L1=2 m，左側(cè)粗糙段長度為L2，質(zhì)量m=2 kg且可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊B靜止在滑板上的右端，滑塊與滑板上表面粗糙段的動摩擦因數(shù)μ2=0.15，取g=10 m/s2，現(xiàn)用F=18 N 的水平恒力拉動A向右運(yùn)動，當(dāng)A、B分離時(shí)，B相對地面的速度vB=1 m/s，求滑板粗糙段長度L2的大小。

圖1

【解析】在F的作用下，滑板A做勻加速直線運(yùn)動，滑塊B靜止不動。

當(dāng)A運(yùn)動位移為L1時(shí)B進(jìn)入粗糙段，設(shè)此時(shí)A的速度為vA。

當(dāng)滑塊B由光滑段進(jìn)入粗糙段后，設(shè)滑板A的加速度為aA，滑塊B的加速度為aB。

對滑板A，由牛頓第二定律得F-μ1(M+m)g-μ2mg=MaA；解得aA=0

對滑塊B，由牛頓第二定律得μ2mg=maB；解得aB=1.5 m/s2

這就說明，滑板A以vA=2 m/s的速度做勻速直線運(yùn)動直至A、B分離。

設(shè)滑塊B在粗糙段滑行的時(shí)間為t。

對滑板A有sA=vAt

所以，滑板粗糙段長度L2=sA-sB=1 m

【點(diǎn)評】這道試題，滑板上表面由“粗糙+光滑”兩段組合，滑塊B開始處于光滑段，滑板A先做勻加速運(yùn)動，當(dāng)滑塊B由光滑段進(jìn)入粗糙段后，滑板A將做什么性質(zhì)的運(yùn)動呢？這就需要將整體法、隔離法、牛頓運(yùn)動定律、相對運(yùn)動等重要內(nèi)容緊密結(jié)合，通過定量計(jì)算，才能知道滑板A第二階段做勻速直線運(yùn)動直至A、B分離。這種多過程的情境設(shè)計(jì)，可以幫助學(xué)生更好地形成“運(yùn)動與相互作用觀念”，對學(xué)生綜合解題能力的培養(yǎng)有顯著的作用。

二、滑板上表面是“粗糙+光滑+粗糙”三段組合

【例2】如圖2所示，長度L=7 m、質(zhì)量M=1 kg的滑板C靜止在粗糙的水平地面上，滑板上表面左右兩端各有長度d=1 m的粗糙區(qū)域，中間部分光滑。可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊A和B初始時(shí)如圖放置，質(zhì)量分別是mA=0.25 kg和mB=0.75 kg，A、B與滑板粗糙區(qū)域之間的動摩擦因數(shù)均為μ1=0.2，滑板與水平地面之間的動摩擦因數(shù)為μ2=0.3。某時(shí)刻對滑板施加F=8 N的水平恒力，滑板開始向右加速，A與B碰撞瞬間粘在一起不再分開并撤去F，取g=10 m/s2，求：

(1)物塊A與B碰后瞬間的速度大小；

(2)最終物塊A與滑板C左端的距離。

圖2

【解析】(1)假設(shè)物塊A與滑板C共同加速，加速度為a。對物塊A與滑板C，由牛頓第二定律得F-μ2(M+mA+mB)g=(M+mA)a；而當(dāng)C對A的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，設(shè)A的加速度為aA。對物塊A，由牛頓第二定律得μ1mAg=mAaA；聯(lián)立各式解得a=1.6 m/s2，aA=2 m/s2；由于a

(2)撤去力F后，物塊AB整體繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動，設(shè)加速度為a1；對物塊AB整體，由牛頓第二定律得μ1(mA+mB)g=(mA+mB)a1；滑板C做勻減速直線運(yùn)動，設(shè)加速度大小為a2；對滑板C，由牛頓第二定律得μ2(M+mA+mB)g+μ1(mA+mB)g=Ma2。

圖3

另外，還可以應(yīng)用v-t圖像法解答此題，過程更直觀，臨界情況更明確，如圖3所示。需要強(qiáng)調(diào)的是，用v-t圖像法解答的過程中，必須判斷說明AB整體不會向右滑過C滑板左邊粗糙區(qū)域。主要思路如下：

AB碰后一直到A、B、C均停止運(yùn)動過程，有：

最終AB整體與滑板左端的水平距離

Δs=d+sAB-sC=0.87 m

【點(diǎn)評】這道試題，滑板上表面由“粗糙+光滑+粗糙”三段組合，試題情境的復(fù)雜性和新穎性都較高，難度較大，區(qū)分度較好。解題過程中，學(xué)生需要靈活選擇研究對象及其對應(yīng)的運(yùn)動過程，需要具備力學(xué)規(guī)律的分析推理能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力，通過對物理動態(tài)過程的分析和研究，形成物理建模研究的物理思維和數(shù)理結(jié)合科學(xué)探究等學(xué)科核心素養(yǎng)。因此不論在知識維度，還是思維能力維度對學(xué)生要求都較高。

三、滑板上表面是“不同粗糙程度”的三段組合

【例3】如圖4所示，長L=5 m、質(zhì)量M=1 kg的滑板靜置在粗糙水平面上，滑板與水平面之間的動摩擦因數(shù)μ=0.1，滑板的上表面由不同材料構(gòu)成。質(zhì)量m=1 kg的小物塊靜止在滑板左端的O點(diǎn)，物塊與滑板OA段、AB段、BC段之間的動摩擦因數(shù)分別為μ1=0.3、μ2=0.1和μ3=0.5。從t=0開始對物塊施加一水平拉力F，F(xiàn)隨時(shí)間t變化關(guān)系如圖5所示，取水平向右為正方向。已知OA、AB段長度分別為L1=1.0 m、L2=3.0 m，重力加速度g=10 m/s2。求：

(1)物塊到達(dá)滑板上表面A點(diǎn)時(shí)的速度大小v1；

(2)第2 s內(nèi)物塊與滑板之間的摩擦產(chǎn)生的熱量Q；

(3)最終物塊與滑板都靜止時(shí)，物塊距滑板右端C的距離d。

圖4

圖5

另外，此題也可以應(yīng)用v-t圖像法進(jìn)行解答，通過分析和計(jì)算，整個(gè)過程的物塊、滑板v-t圖像如圖6所示，這種方法可以讓學(xué)生領(lǐng)悟到每一個(gè)過程的臨界狀態(tài)，找出隱含條件，找出臨界值，體會用v-t圖像輔助解題的優(yōu)越性。

圖6

【點(diǎn)評】這道試題，滑板上表面是“不同粗糙程度”的三段組合，學(xué)生需要在識圖、讀題、審題過后，通過定量計(jì)算，判斷得出，第1 s內(nèi)，物塊相對滑板向右滑動；第2 s末，物塊剛好運(yùn)動到達(dá)滑板上的B點(diǎn)處；然后物塊勻減速運(yùn)動，滑板勻加速運(yùn)動，第2.4 s末，物塊與滑板共速，然后共同減速，到第3 s末，物塊與滑板恰好停止。物塊和滑板經(jīng)歷了四個(gè)運(yùn)動過程，解題過程難在力學(xué)規(guī)律的選擇，難在隱含條件的挖掘，難在假設(shè)法的思維判斷。

這道試題，考查學(xué)生的審題、知識遷移和綜合分析推理能力，能夠促進(jìn)學(xué)生更好地理解物理世界，給不同水平的學(xué)生留有發(fā)揮的空間，有很好的區(qū)分度。

四、滑板上表面“動摩擦因數(shù)均勻變化”的情境

圖7

圖8

(1)物塊滑離滑板時(shí)的速率v；

(2)若解除滑板的鎖定并撤去上表面的材料后，物塊與滑板上表面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，物塊仍從圓弧最高點(diǎn)A由靜止釋放，求物塊落地時(shí)距滑板右端的水平距離。

【點(diǎn)評】這道試題，創(chuàng)設(shè)了滑板上表面“動摩擦因數(shù)均勻變化”的新情境，但降低了運(yùn)動的復(fù)雜性，降低了試題的難度。需要注意的是，在對不同年級、不同層次學(xué)生的命題中要控制好試題情境的水平層級。

例4中，由于滑板上表面的動摩擦因數(shù)均勻(線性)變化，摩擦力的大小線性變化，摩擦力做功是變力做功，采用平均值法進(jìn)行計(jì)算，簡化了解題過程。另外，滑板并不是薄板，物塊滑離滑板后做平拋運(yùn)動，受力情況發(fā)生突變，滑板不是做勻加速運(yùn)動，而是做勻速直線運(yùn)動，解題過程中需要注意這一點(diǎn)，避免錯(cuò)解。

五、結(jié)束語

問題的復(fù)雜程度與情境的復(fù)雜性、內(nèi)容的抽象性和應(yīng)用的綜合性密切相關(guān)。對“板塊模型”的滑板上表面做文章，稍作變更、拓展，多角度進(jìn)行設(shè)問，便可以編制出一些培養(yǎng)學(xué)生物理觀念、科學(xué)思維的優(yōu)秀試題。通過靈活運(yùn)用有關(guān)物理知識和方法解答一系列相似的“板塊模型”題，有利于開拓解題思路，提升物理學(xué)科核心素養(yǎng)。