巧用等時圓結論解答物理題

山東 張巖松 楊文成

一、等時圓模型

圖1

圖2

證明1

在圖1中任意選取一根直桿bd，并假定直桿bd與輔助線ab的夾角為α，過d點做圓的切線，則直桿bd與切線的夾角也為α，如圖3所示。

圖3

由圖3可知bd=2Rsinα。

當小滑環從b點滑向d點時有

證明2

在圖2中任意選取一根直桿AC，連接BC，假設AB與BC的夾角為θ，從C點做直徑AB的垂線，設垂足為D點。如圖4所示。由圖4可知∠ACD=θ。

圖4

二、等時圓典型例題講解：

【例1】如圖5所示，位于豎直平面內的固定光滑圓環軌道與水平面相切于M點，與豎直墻相切于A點，豎直墻上另一點B與M的連線和水平面的夾角為60°，C是圓環軌道的圓心。已知在同一時刻，a、b兩球分別由A、B兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道AM、BM運動到M點；c球由C點自由下落到M點；則

( )

A.a球最先到達M點

B.b球最先到達M點

C.c球最先到達M點

D.b球和c球都可能最先到達M點

圖5

【解析】由等時圓結論不難看出：ta等于等時圓時間，

故應選C。

【例2】如圖6所示，兩個圓1和2外切，它們的圓心在同一豎直直線上，有三塊光滑的板，它們的一端搭在墻上，另一端搭在圓2的圓周上，三塊板都通過兩圓的切點，A在圓周上，B在圓內，C在圓外，從A、B、C三處同時由靜止釋放一個小球，它們都沿板運動，則最先到達圓2的圓周上的球是

( )

A.從A處釋放的球 B.從B處釋放的球

C.從C處釋放的球 D.同時到達

圖6

【解析】根據“等時圓結論”，因為A點在圓周上，B點在圓周的里面，而C點在圓周的外面，所以從B處釋放的球最先到達圓2的圓周上，從C處釋放的球最后到達圓2的圓周上。故選B。

【例3】如圖7所示，ab、ac是豎直平面內兩根固定的光滑細桿，a、b、c位于同一圓周上，O為該圓的圓心，ab經過圓心。每根桿上都套著一個小滑環，兩個滑環分別從b、c點無初速度釋放，用v1、v2分別表示滑環到達a點的速度大小，用t1、t2分別表示滑環到達a點所用的時間，則

( )

A.v1>v2B.v1

圖7

因為b環下降的豎直高度比c環下降的豎直高度高，故：v1>v2，所以A正確；

從a點做豎直向上的輔助線ae，該直線與原來的過O點的豎直直徑平行。

過a、b兩點做輔助圓，使其圓心O1在直線ae上，如圖8所示，設其半徑為R1。

同理，過a、c兩點做輔助圓，使其圓心O2在直線ae上，如圖8所示，設其半徑為R2。

因為R2>R1，所以t2>t1，故D正確。

綜上所述，答案應選AD。

圖8

【例4】如圖9所示，在傾角為θ的斜面上方的A點處放置一光滑的木板AB，B端剛好搭在斜面上。木板與豎直方向AC所成角度為α，一小物塊自A端沿木板由靜止滑下，要使物塊滑到斜面的時間最短，則α與θ角的大小關系應為

( )

圖9

圖10

結語

高中物理中有許許多多的物理模型，譬如追擊相遇模型、晾衣架模型、板塊模型、傳送帶模型、突變非突變模型、定桿動桿模型、人船模型、活塞氣缸模型、液柱玻璃管模型等等。

通過建模，推導出一些結論，然后利用這些結論去解題，這是我們解題常用的方法。實際上在高中物理中還有著許許多多的這樣結論，它們是由物理基本規律和基本公式推導出來的。這些結論其實并不是真正的物理公式，但是利用這些結論去解題能夠省時省力，可以提高解題的效率和解題的準確率，我們平時解題時一定要注意積累。