現(xiàn)代電機優(yōu)化方法綜述

花 為，顧佳磊

（東南大學(xué)電氣工程學(xué)院，南京 210096）

0 引言

電機優(yōu)化設(shè)計在近年來得到了越來越多的關(guān)注。傳統(tǒng)的電機優(yōu)化主要通過參數(shù)掃描的方法進行，即對有限數(shù)量的優(yōu)化變量通過離散步長進行網(wǎng)格分析，人為挑選出最為合適的候選設(shè)計。但是該方法效率低下，同時也難以獲得全局最優(yōu)解。對于多目標(biāo)電機優(yōu)化設(shè)計來說，傳統(tǒng)的參數(shù)掃描方法可行性被進一步降低。

隨著優(yōu)化算法和建模技術(shù)的發(fā)展，電機優(yōu)化設(shè)計得以與智能算法結(jié)合，出現(xiàn)了如遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）等智能算法指導(dǎo)下的電機優(yōu)化思路。對于單一設(shè)計目標(biāo)，電機設(shè)計已經(jīng)能夠?qū)崿F(xiàn)其全局最優(yōu)性能。而電機設(shè)計者追求的多個優(yōu)化目標(biāo)，如降低成本、減少損耗、提高效率等也通過智能算法的多目標(biāo)版本得以實現(xiàn)。

智能算法指導(dǎo)下的大規(guī)模電機優(yōu)化的主要缺陷在于大量的有限元分析（Finite Element Analysis，F(xiàn)EA）帶來的龐大計算負(fù)擔(dān)。一方面，可以通過減少使用甚至不使用FEA獲取電機電磁性能，由此出現(xiàn)了代理模型法（Surrogate Models）、高效計算有限元法 （Computationally-efficient FEA， CE-FEA）、磁網(wǎng)絡(luò)法（Reluctance Networks Method， RNM）等方法。另一方面，從整體優(yōu)化思路本身出發(fā)，盡可能提高優(yōu)化過程的效率，由此產(chǎn)生了并行處理策略、子空間法以及基于敏感性分析的序列優(yōu)化法等優(yōu)化策略。

轉(zhuǎn)速和功率密度的提升提高了電機的性能指標(biāo)，實現(xiàn)了更高的效率和功率以及更低的成本和損耗，同時也使得電機處于設(shè)計極限處，此時必需考慮運行的最高溫度、運動部件的受力情況、轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速等多物理場特性。再者，這些特性還會對電機電磁性能產(chǎn)生影響，電機設(shè)計者需要考慮到多場之間的相互耦合作用，電機設(shè)計已經(jīng)從基本的電磁設(shè)計擴展到熱、應(yīng)力、結(jié)構(gòu)、振動等多物理場綜合分析。

電機應(yīng)用場合日益豐富，牽引機等無固定工作點的電機已經(jīng)不能通過只優(yōu)化額定點來得到最優(yōu)的電機設(shè)計。這類優(yōu)化問題需要結(jié)合駕駛周期，選擇工作周期內(nèi)具有代表性的工作點，以期望提升整個駕駛周期內(nèi)的電機效率。

確定性設(shè)計（Deterministic Approach， DA）無法考慮電機制造運行中不可避免的不確定性因素，電機魯棒性優(yōu)化方法（Robust Approach，RA）深入研究了不確定因素對批量產(chǎn)品性能的影響，相關(guān)研究主要圍繞著電機魯棒性分析和降低魯棒優(yōu)化計算資源兩方面展開。

本文旨在呈現(xiàn)全面的電機優(yōu)化設(shè)計綜述：第一部分介紹了常用的多目標(biāo)電機優(yōu)化模型和智能優(yōu)化算法；第二部分總結(jié)了減少優(yōu)化時長的方法策略；第三部分歸納了當(dāng)前電機優(yōu)化的研究重點，包括駕駛周期優(yōu)化、多物理場優(yōu)化和魯棒性優(yōu)化；第四部分討論了目前電機優(yōu)化尚未解決的關(guān)鍵問題和未來的發(fā)展方向；最后進行了全文總結(jié)。

1 優(yōu)化模型與優(yōu)化算法

電機優(yōu)化的主要目的在于確定與材料、拓?fù)浜徒Y(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)的一組優(yōu)化變量，以滿足如輸出功率、效率、體積和成本等特定的設(shè)計指標(biāo)和約束條件[1]。電機優(yōu)化主要包括兩個方面：確定優(yōu)化模型和選擇合適的優(yōu)化算法。電機優(yōu)化通常是多約束條件下的多目標(biāo)優(yōu)化問題，其一般表達(dá)形式為

式（1）中，p、m和D分別為優(yōu)化目標(biāo)f、約束條件g和優(yōu)化變量x的數(shù)目，xu和xl分別為決策向量的上下取值邊界。

權(quán)重組合法和帕累托最優(yōu)解集法（Pareto Set）是處理多目標(biāo)優(yōu)化問題的兩種常用方法。權(quán)重組合法通過賦予每個優(yōu)化目標(biāo)相應(yīng)的權(quán)重，從而將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化問題

式（2）中，fi和ωi分別為第i個優(yōu)化目標(biāo)及其對應(yīng)的權(quán)重。

權(quán)重組合法原理簡單并且方便實施，但是權(quán)重的分配完全依賴于電機設(shè)計者對于不同優(yōu)化目標(biāo)重要性的經(jīng)驗判斷，不同的權(quán)重分配情況將帶來不同的最優(yōu)結(jié)果。因此，如何科學(xué)地選擇合適的權(quán)重系數(shù)是該方法難以解決的問題。

與常規(guī)單目標(biāo)優(yōu)化的顯著區(qū)別是，多目標(biāo)優(yōu)化中每個優(yōu)化目標(biāo)之間存在著相互制約的矛盾關(guān)系，難以同時取得最優(yōu)設(shè)計，也即某一個優(yōu)化目標(biāo)的改善將導(dǎo)致其他優(yōu)化目標(biāo)的惡化，從而使得最優(yōu)結(jié)果不再是某個特定設(shè)計，而是存在多個全局最優(yōu)解，它們共同構(gòu)成了Pareto Set，這種方法被稱為最優(yōu)解集法，是拓寬折衷設(shè)計的最優(yōu)選擇[2]。如圖1所示，紅色圓點表示的最優(yōu)解集是由一條曲線或者一個曲面構(gòu)成的[1]。可以看出，不存在單個設(shè)計使得f1和f2同時取得最小值。 Pareto Set法的優(yōu)點在于：獲得最優(yōu)解集之后，電機優(yōu)化人員進而可以根據(jù)設(shè)計要求選擇最為合適的設(shè)計結(jié)果。

圖1 以帕累托最優(yōu)解集表示的優(yōu)化結(jié)果Fig.1 Optimization results expressed in Pareto Sets

隨著計算機軟硬件技術(shù)的發(fā)展，人工智能（Artificial Intelligence，AI）技術(shù)在電機優(yōu)化設(shè)計過程中得以應(yīng)用，遺傳算法、差分進化（Differential Evolution，DE）算法、粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法、蟻群優(yōu)化（Ant Colony Optimization，ACO）算法以及其他智能算法促進了電機優(yōu)化技術(shù)的快速發(fā)展。

文獻(xiàn)[3]為了最大化平均轉(zhuǎn)矩和最小化轉(zhuǎn)矩波動，應(yīng)用了改進PSO法對一臺120W無刷直流電機（Brushless DC motor， BLDC）的永磁體長度、 氣隙長度和定子槽口寬度進行優(yōu)化，并且將最優(yōu)結(jié)果和GA的優(yōu)化結(jié)果進行比較，證明了改進PSO法的結(jié)果質(zhì)量、準(zhǔn)確性、約束條件的處理能力以及計算效率都要優(yōu)于GA。但是，PSO法存在著局部搜索能力差的缺陷，容易陷入局部最優(yōu)。文獻(xiàn)[4]指出DE的缺陷在于它需要額外的機制來處理帶約束條件的優(yōu)化問題，進而應(yīng)用提出的結(jié)合差分進化的多目標(biāo)優(yōu)化算法（Combined Multiobjective Optimization with Differential Evolution，CMOD）對三臺內(nèi)置V型永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）的成本和損耗進行優(yōu)化設(shè)計，與DE優(yōu)化結(jié)果的比較證明了CMOD的收斂速度、結(jié)果多樣性、約束處理能力以及Pareto Set質(zhì)量更為優(yōu)越。文獻(xiàn)[5]綜述了PMSM驅(qū)動中最先進的控制和優(yōu)化方法，總結(jié)了AI技術(shù)在電機控制中的研究進展，歸納的AI技術(shù)特征對電機本體設(shè)計具有很大的借鑒意義。

將各種改進的多目標(biāo)算法版本計算在內(nèi)，可以應(yīng)用在電機優(yōu)化中的算法種類龐大，這些算法各有優(yōu)劣。在眾多優(yōu)化算法中，非支配排序遺傳算法Ⅱ[6]（Non-dominated Sorting GAⅡ，NSGAⅡ）和Pareto強度進化算法Ⅱ[7]（Strength Pareto Evolutionary AlgorithmⅡ，SPEAⅡ）是應(yīng)用最為廣泛的優(yōu)化算法，是處理多目標(biāo)電機優(yōu)化問題較為穩(wěn)妥的選擇。對于電機設(shè)計者而言，只需要選擇合適且有效的優(yōu)化算法，而無需追求所謂的最優(yōu)算法。電機優(yōu)化設(shè)計的難點和關(guān)鍵之處是如何將優(yōu)化算法與電機優(yōu)化過程有效結(jié)合，即采取何種優(yōu)化策略以大大提高優(yōu)化效率。

2 優(yōu)化策略

在基于AI的大規(guī)模電機優(yōu)化中，F(xiàn)EA法用來為每個候選設(shè)計計算適應(yīng)度函數(shù)。FEA法可以獲得高精度的電機性能，但是耗時嚴(yán)重，而智能優(yōu)化算法通常需要評估成千上萬的候選設(shè)計。以一個5維優(yōu)化問題為例，則至少需要對5000（10×5×100）個候選設(shè)計計算性能指標(biāo)，這對于大多數(shù)設(shè)計者來說是龐大的計算負(fù)擔(dān)，學(xué)者們對此開展了相關(guān)研究并且提出了一些有效減小計算負(fù)擔(dān)的優(yōu)化策略。

2.1 代理模型

代理模型是一種代替大部分FEA的間接優(yōu)化方法，和全FEA優(yōu)化相比，代理模型可以顯著減少計算耗時。值得注意的是，足夠的預(yù)測精度是代理模型得以實施的前提，否則將導(dǎo)致不可靠的結(jié)果，這將毫無意義。換言之，代理模型的關(guān)鍵在于建立精度高而耗時少的方案，響應(yīng)面法（Response Surface Method，RSM）、徑向基函數(shù)法（Radial Basis Functions Model， RBF）、 克里金模型（Kriging Model）和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) （Artificial Neural Network，ANN）模型是四種常用的電機優(yōu)化代理模型。

除了在評估性能指標(biāo)時可以借助于代理模型，在通過敏感性分析選擇優(yōu)化變量時也可以以采樣獲得的數(shù)據(jù)建立代理模型，在代理模型的基礎(chǔ)上進行敏感性分析，從而提高計算效率。

RSM法利用光滑曲面擬合多維空間函數(shù)，可以使用自變量的線性項、二次項或交叉項作為基底，生成回歸函數(shù)以逼近實際值。文獻(xiàn)[8]對一臺Halbach永磁電機的永磁體參數(shù)、定子參數(shù)、氣隙長度等八個預(yù)選變量進行了敏感性分析，結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 氣隙磁密THD敏感性分析結(jié)果Fig.2 Analysis results of air gap magnetic density THD sensitivity

圖3 輸出轉(zhuǎn)矩敏感性分析結(jié)果Fig.3 Analysis results of output torque sensitivity

接著選擇最小化氣隙磁密諧波含量和最大化輸出轉(zhuǎn)矩作為優(yōu)化目標(biāo)，以對優(yōu)化目標(biāo)貢獻(xiàn)最大的定子齒寬wst和永磁體寬度hpm建立RSM模型

隨后，采用杜鵑搜索算法獲取Pareto前沿并且選擇了近似的最優(yōu)結(jié)果。這種在敏感性分析和性能函數(shù)計算階段借助于RSM法的電機優(yōu)化思路將復(fù)雜的電機問題轉(zhuǎn)化成二階數(shù)學(xué)方程尋優(yōu)問題，簡化了計算。但是只選擇了兩個變量構(gòu)建RSM模型，也存在著預(yù)測精度較低的缺陷。

Kriging模型響應(yīng)的計算公式為

式（4）中，X 為輸入向量， f（X）為近似模型， β為待計算的參數(shù)向量，z（X）為隨機誤差。

預(yù)測結(jié)果包括確定項 fT（X）β和隨機誤差項z（X）兩部分，樣本之間的協(xié)方差為

式（5）中，R為空間相關(guān)函數(shù)，由于Gauss模型能夠提供一個相對平滑且可微分的表面，因而被廣泛用作空間相關(guān)函數(shù)；RM為相關(guān)系數(shù)矩陣，由空間相關(guān)函數(shù)R構(gòu)成

根據(jù)最佳線性無偏估計理論，預(yù)測結(jié)果和參數(shù)計算方法為[9]

式（7）、 式（8）中， F、 r（X）和 Y 分別定義為

文獻(xiàn)[10]應(yīng)用Kriging模型對一臺表貼式PMSM的轉(zhuǎn)矩波動和損耗進行了優(yōu)化，采取了權(quán)重組合法同時優(yōu)化轉(zhuǎn)矩波動和損耗兩項電機性能。由于權(quán)重的選擇依賴于設(shè)計者的經(jīng)驗，盡管提高了電機性能，但未能獲得全局最優(yōu)設(shè)計。

ANN模型模仿動物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)行為特征，根據(jù)相應(yīng)的學(xué)習(xí)算法，能夠?qū)θ我獾姆蔷€性問題進行模擬。如圖4所示，ANN模型主要由輸入層、隱藏層和輸出層三部分構(gòu)成。輸入層接收數(shù)據(jù)集信息并且傳遞給相鄰的隱藏層，隱藏層通過轉(zhuǎn)移函數(shù)處理數(shù)據(jù)，并將結(jié)果傳遞給下一隱藏層，直至輸出層。在對電機性能做回歸預(yù)測時，輸出層將對傳入的數(shù)據(jù)直接求和。

圖4 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型基本結(jié)構(gòu)Fig.4 Basic structure of ANN

文獻(xiàn)[11]采用的單隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對直線管狀電機推力和推力波動進行建模學(xué)習(xí)，并且在驗證集上分別取得了0.4%和1%平均預(yù)測誤差的良好效果，隨后該代理模型被用作電機溫升情況研究。可見，合適的ANN模型經(jīng)過訓(xùn)練能夠高精度預(yù)測電機的性能，從而代替大量的FEA計算，減輕了電機優(yōu)化計算負(fù)擔(dān)。

RBF模型的基本思想是：組合多個徑向基函數(shù)逼近某一給定函數(shù)。文獻(xiàn)[12]對同步磁阻電機和內(nèi)置永磁電機（Interior Permanent Magnet Machine，IPM）建立了RBF代理模型，得到了電流和磁鏈之間的關(guān)系，并且該代理模型包含了電機非線性特征和交叉耦合效應(yīng)，從而獲得了平滑且準(zhǔn)確的d-q磁鏈波形，為涉及到磁鏈微分／積分計算的控制算法提供了極大便利。

2.2 CE-FEA

文獻(xiàn)[13]～文獻(xiàn)[15]介紹了高效計算有限元法CE-FEA，該方法充分探索了電路和磁路的對稱性，減少了計算所需的靜磁有限元數(shù)目。CE-FEA能夠用最少的靜磁解得出反電勢、平均轉(zhuǎn)矩、齒槽轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)矩波動以及鐵心損耗等電機性能參數(shù)，相比時步有限元法，保留了有限元法的高精度和能夠考慮飽和的優(yōu)點，同時大大減少了計算時間。

文獻(xiàn)[15]詳細(xì)介紹了CE-FEA在PMSM建模和參數(shù)設(shè)計中的作用，給出了主要電磁性能的計算方法：對于三相PMSM來說，一個完整電周期的磁鏈可以由1／6電周期內(nèi)的三相磁鏈拼接而成；接著對拼接后的磁鏈進行快速Fourier分解，可以得到磁鏈的Fourier級數(shù)形式

式（13）中，λa為A相磁鏈的瞬時值， λv和?v分別為磁鏈的v次諧波幅值和對應(yīng)的相位，θ為電角度位置，vM為截斷的最高次級數(shù)次數(shù)。

將磁鏈關(guān)于時間進行微分，可以得到反電勢的表達(dá)式為

式（14）中，ω 為同步頻率， 單位為 rad／s。

電磁轉(zhuǎn)矩根據(jù)虛功法進行計算

式（15）中，P為極數(shù)，Wstore為磁路中儲存的能量，θm為機械角度位置，ia、ib和ic分別為A、B、C三相電流的瞬時值。

文獻(xiàn)[14]指出，在CE-FEA計算電磁轉(zhuǎn)矩時，為了計及12次轉(zhuǎn)矩諧波，需要至少5個靜磁有限元結(jié)果，該方法非常適合應(yīng)用到大規(guī)模電機設(shè)計優(yōu)化的研究之中。

徑向和切向磁密的表達(dá)式如下

式（16）中， Br，t為定子鐵心內(nèi)徑向或切向磁密，k為正整數(shù)，θs為電角度表示的槽距，r為電機徑向位置，t為鐵心磁密瞬時值對應(yīng)的時刻。

磁密的Fourier級數(shù)形式為

式（17）中，Bv為v次磁密幅值。

CE-FEA法計算定子鐵損時，只計算磁滯損耗和渦流損耗。根據(jù)損耗模型，單位質(zhì)量下的損耗表達(dá)式為

式（18）、 式（19）中， wh和 we分別為單位質(zhì)量的磁滯損耗分量和渦流損耗分量，khv和kev分別為對應(yīng)的損耗系數(shù)，vf1為諧波頻率。khv和kev都是頻率和磁密幅值的函數(shù)，可以用磁密幅值的三次多項式表示[16]。

文獻(xiàn)[17]結(jié)合CE-FEA法和解析法對永磁體渦流損耗進行了研究，其基本思想為：把永磁體進行分層分段，假定每個單元內(nèi)的磁密一致，通過磁密計算反電勢，結(jié)合等效電阻進行積分求取永磁體渦流損耗，并和2D、3D有限元結(jié)果進行了比較，驗證了方法的正確性。其中，磁密波形經(jīng)由轉(zhuǎn)子側(cè)的時空轉(zhuǎn)化法[13]進行重組，即由最小周期單元內(nèi)不同位置的磁密拼接而成。

2.3 磁網(wǎng)絡(luò)模型

磁網(wǎng)絡(luò)法通過把電機磁路與電路類比，以平衡計算時間和計算精度。文獻(xiàn)[18]按照不同轉(zhuǎn)子位置下的氣隙磁路對磁通切換電機進行磁路劃分，建立等效磁網(wǎng)絡(luò)模型，通過迭代求解，計算了電機的靜態(tài)特性，但是這一方法依賴于具體的電機結(jié)構(gòu)，通用性不足。當(dāng)電機結(jié)構(gòu)發(fā)生較大變化時，需要對磁網(wǎng)絡(luò)模型進行修改，而且氣隙磁路與位置有關(guān)，需要多個磁網(wǎng)絡(luò)模型。針對該方法的缺陷，文獻(xiàn)[19]、文獻(xiàn)[20]提出了基于網(wǎng)格劃分的磁網(wǎng)絡(luò)法（Mesh-based Generated Reluctance Networks Modelling，MBGRN）。文獻(xiàn)[21]給出了負(fù)載下MBGRN的建模方法，并且考慮了磁路飽和，給出了磁鏈、反電勢、推力、鐵心損耗的計算方法，通過與有限元結(jié)果的比較驗證了MBGRN法的有效性。

然而，這種劃分方式在氣隙部分產(chǎn)生了大量的磁阻單元，增加了計算負(fù)擔(dān)，削弱了磁網(wǎng)絡(luò)法計算成本低于有限元法的優(yōu)勢。

MBGRN法在處理氣隙時存在的上述問題催生了一種將網(wǎng)格劃分與解析法相結(jié)合的建模方法：混合解析模型（Hybrid Analytical Modeling， HAM）。以表貼式PMSM為例，該方法的基本思想為：將定子通過MBGRN建模，其他部分（氣隙和轉(zhuǎn)子）建立解析模型，通過使交界面的標(biāo)量磁勢相等并計算分界面節(jié)點處從氣隙側(cè)傳入的磁通完成模型之間的耦合，如圖5[22]和圖6[19]所示。

圖5 混合解析模型法示意圖Fig.5 Schematic diagram of HAM

圖6 HAM耦合示意圖Fig.6 Schematic diagram of direct coupling of HAM

文獻(xiàn)[22]～文獻(xiàn)[25]依據(jù)HAM法對電機進行建模分析。文獻(xiàn)[22]對一臺混合勵磁同步電機的原始結(jié)構(gòu)和忽略轉(zhuǎn)子槽之后的結(jié)構(gòu)分別建立了解析模型，并與定子磁網(wǎng)絡(luò)模型耦合，比較了兩種模型下的電磁性能，發(fā)現(xiàn)盡管第二種模型忽略了轉(zhuǎn)子槽結(jié)構(gòu)，其結(jié)果仍然保持了相對好的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[23]開展了永磁直線電機的相關(guān)研究，驗證了HAM模型相比有限元法良好的準(zhǔn)確性，并且極大地減少了計算時間。文獻(xiàn)[24]、文獻(xiàn)[25]分別基于HAM模型研究了直線管狀磁通切換電機和直線永磁電機的齒槽力，取得了很好的效果。

文獻(xiàn)[26]將MBGRN和HAM兩種磁網(wǎng)絡(luò)建模方法進行了比較分析，得出了兩種方法都能準(zhǔn)確計算電磁性能并且相比之下HAM法更為優(yōu)越的結(jié)論。由此可見，結(jié)合磁網(wǎng)絡(luò)模型和解析計算的HAM法，既保持了MBGRN磁網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渫ㄓ眯詮姷膬?yōu)點，又有效降低了計算負(fù)擔(dān)，有助于提升電機優(yōu)化效率。

2.4 其他方法

文獻(xiàn)[27]從側(cè)重于計算時間的角度對電機優(yōu)化方法進行了總體介紹，并且比較總結(jié)了不同方法之間的差別，如表1所示。

表1 優(yōu)化方法比較Table 1 Comparison of optimization methods

除了代理模型、CE-FEA、磁網(wǎng)絡(luò)法外，還有并行處理法[28-29]、子空間法[30-31]等其他降低計算時間的方法。并行處理仍然基于有限元仿真，依靠計算機群同時計算以加快優(yōu)化進程。子空間法考慮到多個目標(biāo)函數(shù)可以對應(yīng)不同分布、不同數(shù)目的采樣點，通過在不同子區(qū)域選取數(shù)目不同的采樣點以有效減少計算時間。合理地運用或者組合這些方法，都能夠顯著降低電機優(yōu)化的整體耗時。

3 研究重點

3.1 駕駛周期優(yōu)化

常規(guī)電機優(yōu)化設(shè)計局限在額定工作點處，如今已有學(xué)者結(jié)合實際應(yīng)用，將電機優(yōu)化拓展到多工作點上。文獻(xiàn)[32]以一臺具有較寬恒功率區(qū)間的IPM為研究對象，對額定工作點和最大轉(zhuǎn)速工作點進行了優(yōu)化，以提高這兩個工作點的輸出轉(zhuǎn)矩，降低電機質(zhì)量，同時提高最大轉(zhuǎn)速。如式（20）所示，以懲罰函數(shù)的形式在目標(biāo)函數(shù)中引入了約束條件的影響。

式（20）中，gm為第m個約束條件，ε為懲罰參數(shù)。

如電動汽車牽引用等沒有明確工作點的電機，其工作區(qū)域非常廣泛，對這類電機的優(yōu)化研究需要依據(jù)駕駛周期進行，公路燃油經(jīng)濟性測試駕駛時間表（Highway Fuel Economy Test Driving Schedule， HWFET）、 城市駕駛時間表（Urban Dynamometer Driving Schedule，UDDS）和新歐洲駕駛曲線（New European Drive Cycle， NEDC）是相關(guān)研究中比較常見的駕駛周期。

結(jié)合美國駕駛時間表，文獻(xiàn)[33]優(yōu)化了二代Prius IPM的材料成本和功率損耗，給出了基于駕駛周期的電機優(yōu)化基本流程。依據(jù)能量分布，采用k-均值聚類法選擇代表工作點，每一個代表點附近的工作點數(shù)則反映了該代表點對應(yīng)的權(quán)重。

也有文獻(xiàn)從能量的角度選擇代表工作點。文獻(xiàn)[2]結(jié)合NEDC采取不同于聚類的策略選擇代表點，將能量最高的6個工作點予以保留，隨后把轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速平面人為分成6個子區(qū)域，每個子區(qū)域根據(jù)其中工作點的能量和轉(zhuǎn)速計算出代表點，由此而新產(chǎn)生的6個代表點不一定是電機工作中的實際運行點。文獻(xiàn)[34]把NEDC按照時間分區(qū)，將每個區(qū)域內(nèi)功率看作是時間的常量或者線性函數(shù)，通過式（21）以功率對時間的積分給出了單位時間步長內(nèi)能量的計算方法，而后結(jié)合差分進化算法對內(nèi)置式和表面式永磁電機進行了優(yōu)化。

式（21）中，ai為第i個時間區(qū)間內(nèi)線性功率方程的斜率，E0為初始能量。

文獻(xiàn)[35]采用一種基于自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊推理系統(tǒng)（Adaptive Network-based Fuzzy Inference System，ANFIS）訓(xùn)練了計算效率云圖的代理模型，實現(xiàn)了整個駕駛周期內(nèi)能量的計算，并且通過計算Euclidean距離結(jié)合進化算法，找到了電機工作的標(biāo)稱點，從而舍棄了工作點能量計算和聚類的工作。這種代理模型能夠快速計算出能量，但是在每一代種群里，都需要對網(wǎng)絡(luò)重新訓(xùn)練，這就加大了時間負(fù)擔(dān)。還有的相關(guān)研究拓寬了所研究的電機類型和應(yīng)用場合，文獻(xiàn)[36]的研究對象是電動方程式賽車用輪輻式永磁電機；而文獻(xiàn)[37]研究的則是五相磁通切換永磁電機，在駕駛周期優(yōu)化的目標(biāo)下，采用CE-FEA獲取電磁性能，同時通過MATLAB完成與ANSYS／Maxwell的數(shù)據(jù)交換和數(shù)據(jù)處理，給出了自動化優(yōu)化實現(xiàn)的方法。這種如圖7所示的自動化優(yōu)化方法已經(jīng)能夠?qū)⒅悄芩惴ê蛢?yōu)化策略應(yīng)用到電機優(yōu)化之中，為今后更為復(fù)雜、功能更為全面的電機優(yōu)化平臺提供了實現(xiàn)思路。

圖7 MATLAB與ANSYS／Maxwell仿真之間的數(shù)據(jù)交換Fig.7 Data exchange between MATLAB and ANSYS／Maxwell simulation

3.2 多物理場優(yōu)化

傳統(tǒng)的電機設(shè)計偏重于對電機電磁部分進行研究，但是電磁性能會受到電機結(jié)構(gòu)、溫度的影響，單純進行電磁優(yōu)化難以滿足設(shè)計要求。基于多物理場的電機優(yōu)化研究關(guān)鍵在于解決兩點問題：

1）如何考慮多場之間的關(guān)系；

2）采取何種多場計算方法。

對于第一點，首先考慮電磁場和溫度場之間的關(guān)系。一方面，電機溫度分布會影響材料屬性，進而影響電磁性能；另一方面，電磁性能變化導(dǎo)致?lián)p耗改變，進而又會影響電機溫升。文獻(xiàn)[38]、文獻(xiàn)[39]對磁熱雙向耦合計算開展了研究，結(jié)合有限元電磁計算與熱網(wǎng)絡(luò)溫升計算實現(xiàn)雙向耦合，提高了計算精度。其次，考慮了溫度與應(yīng)力之間的關(guān)系，溫度會影響護套與轉(zhuǎn)子部件之間的接觸情況。文獻(xiàn)[40]推導(dǎo)了表面式PMSM在不同材料護套下永磁體轉(zhuǎn)子強度的解析解，研究了轉(zhuǎn)速和溫度等因素對轉(zhuǎn)子強度的影響。

對于第二點，一方面，由于多物理場分析的復(fù)雜性，相關(guān)研究多著重于多場特性的分析和驗證。多場設(shè)計流程由若干步驟順序進行，任何一步結(jié)果不滿足要求都會返回上級而產(chǎn)生新的迭代循環(huán)[41]。另一方面，為了保證精確的計算結(jié)果，多物理場特性依賴于有限元或者流體計算[42]，耗時嚴(yán)重，限制了多物理場優(yōu)化在電機優(yōu)化中的發(fā)展。

針對上述多物理場優(yōu)化中存在的問題，文獻(xiàn)[43]、文獻(xiàn)[44]借助于 ANSYS／Workbench搭建了優(yōu)化平臺，電磁計算采用有限元法，溫度計算采用熱網(wǎng)絡(luò)模型，應(yīng)力采用解析法以縮短優(yōu)化時間。文獻(xiàn)[45]基于有限元樣本數(shù)據(jù)建立了磁鏈模型、鐵損模型和永磁體損耗模型用于計算電磁性能，基于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)建立解析轉(zhuǎn)子機械應(yīng)力模型用于計算給定位置的最大應(yīng)力，建立集中參數(shù)熱網(wǎng)絡(luò)用于預(yù)測電機溫升。該方法能有效減少計算時間，并且能對多個工作點進行分析。文獻(xiàn)[46]更進一步，建立了電機性能的Kriging代理模型，結(jié)合遺傳算法完成了對高速電機轉(zhuǎn)子部分的優(yōu)化設(shè)計。

值得注意的是，當(dāng)面臨復(fù)雜的設(shè)計要求時（比如多物理場設(shè)計），如圖7所示的簡單自動化電磁優(yōu)化框架已經(jīng)不能滿足設(shè)計需要。如果借助于ANSYS／Workbench，又無法將先進的優(yōu)化策略應(yīng)用其中?？傊壳吧形从谐墒烨夜δ軓姶蟮碾姍C自動化優(yōu)化平臺，這是未來電機優(yōu)化發(fā)展有待解決的問題。

3.3 魯棒性優(yōu)化

為了充分利用材料，獲取最佳電機性能，優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)結(jié)果通常將電機設(shè)計在約束極限附近。這種確定性設(shè)計方法沒有考慮到如材料分散性、加工公差等不可避免的不確定性對批量產(chǎn)品性能的影響[47-48]，從而無法保證大批量產(chǎn)品保持可靠的高性能。從圖8可以看出，確定性最優(yōu)設(shè)計對不確定性參數(shù)非常敏感，容易超出可行域造成產(chǎn)品失效，由此催生的電機魯棒性最優(yōu)設(shè)計能夠在不確定性參數(shù)影響下將電機性能保持在約束范圍之內(nèi)[48]。

圖8 確定性設(shè)計和魯棒性設(shè)計的示意與比較Fig.8 Illustration and comparison of deterministic and robust designs

從質(zhì)量管理技術(shù)中產(chǎn)生的六西格瑪設(shè)計方法（Design for Six-sigma，DFSS）作為一種魯棒設(shè)計方法，被采用解決上述DA方法的缺陷。文獻(xiàn)[48]、文獻(xiàn)[49]分別將DFSS應(yīng)用到單目標(biāo)和多目標(biāo)電機優(yōu)化中，針對魯棒設(shè)計龐大計算成本的特點，提出了一些降低計算負(fù)擔(dān)的策略。

DA優(yōu)化模型（式（1））通過DFSS方法處理得到的魯棒優(yōu)化模型為

式（22）中，μ和σ分別為均值和標(biāo)準(zhǔn)差，并且通常由蒙特卡洛分析法（Monte Carlo Analysis，MCA）計算；LSL和USL分別為下邊界和上邊界，n為西格瑪水準(zhǔn)，在DFSS設(shè)計中通常取為6。

DFSS設(shè)計通過求解性能函數(shù)的均值和方差實現(xiàn)了電機魯棒優(yōu)化設(shè)計，但是采用MCA法計算均值和方差又顯著增加了計算負(fù)擔(dān)。文獻(xiàn)[50]分析了隨機不確定性變量和區(qū)間不確定性變量對魯棒設(shè)計的影響，提出了多項式潮流切比雪夫區(qū)間法（Polynomial Chaos Chebyshev Interval， PCCI）展開不確定性區(qū)間內(nèi)的電機性能函數(shù)，并且通過區(qū)間算數(shù)估計均值和方差的邊界，有效減少了魯棒優(yōu)化的計算負(fù)擔(dān)。當(dāng)電機設(shè)計者希望保持大批量產(chǎn)品性能可靠性時，魯棒性優(yōu)化是減少次品率的有效手段，也是今后電機優(yōu)化發(fā)展的重點之一。

4 展望

各種優(yōu)化策略和研究重點都是輔助電機設(shè)計者優(yōu)化電機的有效工具，對于電機設(shè)計者來說，合理的電機優(yōu)化步驟應(yīng)如圖9所示。首先應(yīng)該將電機工況、物理場特性、產(chǎn)品數(shù)量、優(yōu)化層級與電機應(yīng)用場景和設(shè)計要求進行比對，從而選擇相應(yīng)的優(yōu)化方法，并在此基礎(chǔ)上得到滿足要求的初始設(shè)計，進而根據(jù)電機類型和電機拓?fù)浣?yōu)化模型，選擇合適的智能算法和優(yōu)化策略，完成最優(yōu)設(shè)計。

圖9 電機優(yōu)化流程Fig.9 Diagram of electrical machine optimization process

盡管目前的優(yōu)化技術(shù)已經(jīng)顯著提高了電機優(yōu)化效率，但是仍然存在著一些問題尚未完全解決。首先是對電機設(shè)計中不確定性的研究還不夠充分，采用式（22）進行魯棒性優(yōu)化，特別是面對不確定種類多樣的情況下，通過目標(biāo)函數(shù)和約束條件的均值和方差上界表征不確定性對性能函數(shù)的影響，存在著區(qū)間縮放導(dǎo)致的先天性誤差，如何獲取確切的參數(shù)取值目前尚未有相關(guān)研究。同時，電機性能無可避免涉及到FEA計算，而魯棒性優(yōu)化對每個候選設(shè)計都需要額外的計算量以評估其魯棒性，這極大地加劇了優(yōu)化的時間成本。盡管此時可以借助于代理模型降低計算負(fù)擔(dān)，但是在候選設(shè)計附近小區(qū)間內(nèi)的性能預(yù)測給代理模型的精度帶來了巨大考驗，權(quán)衡好魯棒性和電機性能之間的相對關(guān)系也是電機魯棒優(yōu)化值得研究的地方。

其次，系統(tǒng)級的電機優(yōu)化（System-level）也是未來的研究重點。目前，電機優(yōu)化大多聚焦于電機本體設(shè)計，鮮有將電機本體和控制系統(tǒng)結(jié)合、統(tǒng)一優(yōu)化的方案。為了得到驅(qū)動系統(tǒng)的最優(yōu)動態(tài)特性，系統(tǒng)級優(yōu)化不僅優(yōu)化電機的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，還對PI參數(shù)等控制部分的變量進行優(yōu)化。此時，優(yōu)化變量維度的增加導(dǎo)致電機優(yōu)化問題變得更為復(fù)雜，有學(xué)者將分層優(yōu)化策略應(yīng)用到系統(tǒng)級優(yōu)化中，緩解了這一問題，將變量根據(jù)敏感性分成若干層次，按照從高到低的順序依次優(yōu)化[9，51]，也有學(xué)者將系統(tǒng)級優(yōu)化應(yīng)用到基于駕駛周期的電機優(yōu)化中[52]?？梢?，系統(tǒng)級優(yōu)化和其他研究重點的結(jié)合也是之后電機優(yōu)化的研究關(guān)鍵之處，有助于從整體上獲取最優(yōu)電機設(shè)計。但是，與之而來的是更為復(fù)雜、更為難以處理的優(yōu)化問題，設(shè)計者應(yīng)該結(jié)合優(yōu)化策略研究出相應(yīng)的有效方法。

最后，一個無法避免的問題在于電機優(yōu)化的計算負(fù)擔(dān)。智能算法需要評估成千上萬的候選設(shè)計，而電機性能主要通過FEA計算得到，如此多次的有限元調(diào)用對于絕大多數(shù)設(shè)計者來說都是難以完成的。因此，在優(yōu)化模型中采用高效的優(yōu)化策略是必不可少的。但是，脫離了FEA，計算精度必然會下降。同時，預(yù)測精度再高的代理模型也無可避免會出現(xiàn)極個別預(yù)測偏差過大的情況。如何正確權(quán)衡計算時間和計算精度之間的關(guān)系，改進現(xiàn)有的或者提出新的優(yōu)化策略，是電機優(yōu)化方法發(fā)展的關(guān)鍵方向。

5 結(jié)論

本文對電機優(yōu)化方法進行了全面的綜述，重點總結(jié)了有效減少優(yōu)化時間成本的策略（代理模型、CE-FEA和磁網(wǎng)絡(luò)模型）和目前電機優(yōu)化設(shè)計的重點研究方向（駕駛周期優(yōu)化、多物理場優(yōu)化和魯棒性電機優(yōu)化），這些優(yōu)化思路可以做到：

1）與完全依賴于FEA的優(yōu)化設(shè)計相比，大大減少了優(yōu)化時間；

2）通過尋找代表工作點對沒有固定工作點的電機提供了優(yōu)化思路；

3）電機優(yōu)化不再局限于額定工作點的電磁分析，而是結(jié)合實際應(yīng)用環(huán)境，分析電機應(yīng)力、溫升、振動、噪聲等多物理特性；

4）在設(shè)計階段考慮加工制造和運行環(huán)境中的不確定性的電機魯棒性優(yōu)化方法有效提高了批量產(chǎn)品的性能。

同時，本文對電機優(yōu)化方法的發(fā)展方向和值得研究的重點問題進行了展望，特別是目前電機設(shè)計面臨的龐大計算負(fù)擔(dān)，將是未來復(fù)雜化、自動化、高效化電機優(yōu)化方法發(fā)展有待解決的關(guān)鍵所在。