例談一題多解培養學生的創新思維

盧襯云

摘 ?要：本文就一道幾何題的多種解法進行探究，在同樣條件下運用不同的知識，設計出不同的解法，從而培養學生的創新思維。

關鍵詞：一題多解;探究;創新思維

解題方法是一個利用已有的知識和經驗將末知問題已知化，即按照熟悉化原則進行探究，從而作出解答的過程。一題多解能使學生善于抓住問題的廣泛范圍，多側面、多角度考慮問題，在同樣條件下運用不同的知識，設計出不同的解法，從而培養學生的創新思維。

創新是有層次的。對中學生來說，獨立發現或獲取新知識、新方法、新思路、新見解、新組合、新用法等，都是一種創新。因此，我們可以通過教育來培養和發展的。下面就一道幾何題的多種解法進行探究，為學生開拓探究的空間和廣闊的舞臺，從而培養學生的創新思維。

一、新思路、新見解——點燃學生的創新意識

例：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點。求證：CE⊥BE.

解法一：利用勾股定理和勾股定理逆定理

證明：如圖（1），過點C作CF⊥AB，垂足為F

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°

∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°

∴四邊形AFCD是矩形

∴AD=CF， ?BF=AB-AF=1

在Rt△BCF中，CF2=BC2-BF2=8

∴ CF=2 ?2 ? ? ?∴ AD=CF=2 ?2

∵ E是AD中點

∴ DE=AE= ? ? AD= ?2

在Rt△ABE和 Rt△DEC中

EB2=AE2+AB2=6

EC2= DE2+CD2=3

EB2+ EC2=9=BC2

∴ ∠CEB=90°∴ EB⊥EC

解法二：利用梯形的中位線性質和三角形內角和定理

證明： 如圖（2），在BC上找中點F，連結EF

∵ 在梯形ABCD中，E、F分別是DA、CB的中點

∴EF= ? （DC+AB）= ? （1+2）=1.5

∵F是CB的中點 ? ∴CF=FB= ? ? ?CB=1.5

∴EF=CF=FB∴∠CEF=∠ECF，∠FEB=∠CBE

∵∠CEF+∠ECF+∠FEB+∠CBE=180°

∴2∠CEF+2∠FEB=180°

∴∠CEF+∠FEB=90°∴ EB⊥EC

或：過點E作EF∥DC，交CB于點F， 利用平行線分線段成比例定理證點F是CB的中點（證法略）

二、新知識、新方法——激發學生的創新潛能

例：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點. 求證：CE⊥BE.

解法三：利用割補法或旋轉法構造等腰三角形

證明： 如圖（3），延長CE、BA交點F

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°

∴ ∠D=∠EAF=90°， ∠DCE=∠F

∵ E是AD中點∴ DE=AE= ? ? ?AD

∴△CDE≌△FAE∴AF=DC=1，FE=EC

∴BF=BA+AF=3

在△CBF中，BC=BF=3，FE=EC∴EB⊥EC

或： 將△CDE繞點E順時針旋轉90°與△FAE重合，得到△CDE≌△FAE（證法略）

三、新組合、新用法——培養學生的創新能力

例：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點. 求證：CE⊥BE.

解法四：利用勾股定理和相似三角形的性質

證明： 如圖（4），過點C作CF⊥AB，垂足為F

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°

∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°

∴四邊形AFCD是矩形

∴AD=CF， ?BF=AB-AF=1

在Rt△BCF中，

CF2=BC2-BF2=8

∴ CF=2 ?2

∴ AD=CF=2 ?2

∵ E是AD中點 ? ∴ DE=AE= ? ?AD= ?2

∵ ? ? ? = ? ? ? ?= ? ? ? ? ， ? ? ? =

∴ ? ? ? =

∵∠D=∠A=90°

∴△CDE∽△EAB

∴∠DEC=∠EBA

∵∠EBA+∠AEB=90°

∴∠DEC+∠AEB=90°

∴∠CEB=180°- 90°=90°

∴EB⊥EC

解法五：利用勾股定理和銳角三角函數

證明： 如圖（5），過點C作CF⊥AB，垂足為F

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°

∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°

∴四邊形AFCD是矩形

∴AD=CF， ?BF=AB-AF=1

在Rt△BCF中，CF2=BC2-BF2=8

∴ CF=2 ?2

∴ AD=CF=2 ?2

∵ E是AD中點

∴ DE=AE= ? ? AD= ?2

在Rt△DCE中，

tan∠CED= ? ? ? ? = ? ? ? =

在Rt△DCE中，tan∠DCE= ? ? ? ? =

∴∠CED=∠EBA

∵∠EBA+∠AEB=90°

∴∠CED+∠AEB=90°

∴∠CEB=180°- 90°=90°

∴EB⊥EC

通過對一道幾何題的多種解法進行探究，使學生學到的不僅是一道題的解法，而是學習了一類問題的思維方法和解決問題的知識，有益于提高學生學習的主動性及分析問題解決問題的能力，從而拓寬了學生的思維領域。

笛卡說過“數學是使人變聰明的一門學科”。在這方面，蘇霍姆林斯基在總結一生的工作時說：“我在學校工作了近35年，直到20年前我才明白，在課堂上要做的兩件事：其一要教給學生一定的知識;其二要使學生變得聰明”。說明了學生的學習目的在于學會怎樣科學地思維，掌握科學思維方法。因此，在教學上我們要注重發揮習題的功能，讓學生在解題過程中，捕捉有用的信息進行思考，尋覓舊有原題的解題方法，再探求新問題的解法，形成解決問題的新方法，最大限度地開發學生的創新思維。同時，作為教師要及時給予肯定鼓勵，使學生感到學無止境，不斷向高處攀登。這正是陶行知先生早就盼望的：處處是創造之地，天天是創造之時，人人是創造之人。

參考文獻：

[1] 王培德 .數學思想應用及探究—建構建構教學[M]. 人民教育出版社，2008，8

[2] 黃為.讓數學課堂充滿生命的活力—談數學思維能力的培養[J].中學數學研究，2010，4.

（作者單位：東莞市萬江區萬江第二中學，廣東 ?東莞 ?523049）