小學“畫數學”課程的開發與實施

摘 要 小學“畫數學”課程是小學生基于感知和表象，通過畫概念圖、畫知識樹、畫四格漫畫等圖示多元化表征數學概念、數量關系、知識體系等內容，以深化知識理解、完善體系建構、優化學習體驗的一門課程。以泰勒的目標模式為指導，從學科知識、學習經驗、社會經驗多源選擇課程內容，按垂直、水平組織標準，搭建理解數學、建構數學、體驗數學三類八項課程架構，建構以資源建設為前提、以范式總結為核心、以多元評價為保障的實施路徑，助力學生素養發展。

關? 鍵? 詞 “畫數學”課程 目標體系 課程內容

課程實施路徑

引用格式 馮剛.小學“畫數學”課程的開發與實施[J].教學與管理，2022（02）：27-31.

在學科育人、課程育人理念指引下，為強化育人效應、促進素養發展，校本課程的開發與實施正如火如荼地展開。“畫數學”課程是小學生基于感知和表象，通過畫概念圖、畫知識樹、畫四格漫畫等圖示多元化表征數學概念、數量關系、知識體系等內容，以深化知識理解、完善體系建構、優化學習體驗的一門校本課程。圍繞現代課程理論之父泰勒所創立的目標模式中的選擇界定課程目標、選擇建立學習經驗、組織學習經驗、課程評價四大經典問題[1]，從確立課程目標、選擇課程內容、組織課程內容、優化課程實施四個方面開發及實施小學“畫數學”課程，以期實現課程育人目標，促進學生素養發展。

一、聚焦學科育人，確立課程目標體系

課程目標是選擇、實施和評價課程內容的依據。著眼于學生的素養發展，基于學科發展、社會需求、學習經驗，兼顧“畫數學”這一學習方式的本質特性，嘗試架構小學“畫數學”課程的目標體系（如圖1）。

1.價值觀念

價值觀念是教育中隱性且重要的因素，通過課程顯性或隱性地傳遞，是課程與教學的導向標。“畫”這一方式可以將理性思維可視化，激發學生的個性化表達，故將“科學理性、個性創新”作為小學“畫數學”課程目標體系的價值觀念。

2.必備品格

必備品格是蘊藏于知識與能力背后的觀念性成分，是適應社會及個人發展必備的品德和人格，包括理性精神、創新意識和積極情感。理性精神主要包括嚴謹、求真、探究三個方面。嚴謹即理智客觀、縝密周詳，求真即尊重事實、崇尚真理，探究即探究意識、繪圖能力。創新意識主要包括批判、審美、反思三個方面。批判即敢于質疑、提出觀點，審美即創作數學作品、做出審美判斷，反思即審視學習狀態、調整學習策略。積極情感主要包括自主、堅韌、熱愛三個方面。自主即自主求知、自主規劃，堅韌即不畏艱難、不畏挫折并不斷提升自我，熱愛即以畫為趣、積極向上。

3.關鍵能力

關鍵能力是學生在學習及生活中至關重要的能力。“畫數學”課程的關鍵能力目標為數學的眼光（抽象意識及空間意識）、數學的思維（推理意識及運算能力）、數學的語言（模型意識與數據意識）。

二、挖掘核心要素，多源選擇課程內容

課程內容的選擇是課程開發過程的有機構成，怎樣選擇有助于達成課程目標的課程要素是“畫數學”課程開發的基本內容。

1.把握基本取向，厘清內容來源

“學科的發展”“學習者的經驗”及“當代社會生活的需求”是課程目標的基本來源，亦是課程內容選擇的基本取向[2]。

（1）課程內容即學科知識。眾多結構主義課程論者均秉持此主張，當下世界各國的教育實踐也主張將學科知識作為課程的主要內容。基于此，“畫數學”課程內容的選擇源于小學數學學科知識，是對數學學科核心知識的再認識與重組。挖掘每冊教材中的核心知識，分析圖式表征的重要性與必要性，進而對教材中的內容進行“畫數學”的設計，提高學生“畫數學”能力，在提升學生數學素養的同時幫助學生實現知識的深度理解。

（2）課程內容即學習者的經驗。眾多經驗課程理論流派，如盧梭的“自然教育論”、杜威的“進步教育論”，均將學習者的經驗視為課程內容的核心。基于此，“畫數學”課程內容的選擇源于學生的個人認識和經驗、學生與同伴及社會交往中的社會經驗。如學生在四年級學習畫線段圖解決問題時，往往感覺到自身畫線段圖能力的不足，對線段圖的理解也不夠深入，此時學生自然產生學習畫線段圖的需求。面對學生經驗不足后的現實需求，巧妙設計畫線段圖的課程內容，將學生的經驗塑造成“畫數學”課程的內容。

（3）課程內容即當代社會生活經驗。人和教育均具有社會性，將社會生活經驗納入課程內容順理成章。美國教育家杜威所創辦的芝加哥實驗學校，在意圖上是“社會中心”的，其課程亦是積極適應社會生活的。基于此，“畫數學”課程內容的選擇也應源于當代社會生活經驗，進一步改造并超越社會生活經驗后落實于課程內容中。如生活中分清東南西北這樣的方向感是非常重要的，而學生這樣的生活經驗又是相對缺乏的。源于這樣的社會生活經驗，將其改造設計成“畫數學”課程內容，引導學生親臨某個商場或小區進行觀察與分析，嘗試畫出商場或小區平面圖，并進行全班分享交流。具象的視覺效應轉換為抽象的數學畫面，抽象的數學畫面又在交流分享中再現為具象的視覺感受，雙重轉換的過程中是學生“畫數學”能力的提升，是學生抽象意識與空間意識的發展，是“畫數學”課程目標的深度達成。

2.遵循基本原則，明確內容要求

如前文所述，“畫數學”課程內容源于學科知識、學習者的經驗及當代社會生活經驗，多樣化的課程內容來源需要基本原則的保障。

（1）注重整體性，讓“需求在場”。課程內容的學習只有基于學生的現實需求和學習動機才能得以激發，課程的學習效果才能得到保證。“畫數學”課程內容是對學科知識、學習經驗及社會經驗的整合與再設計，應以整體的視角挖掘現有課程要素間的斷層與生長點，尋找填補與生長的策略，優化整合課程要素，以滿足學生的學習需求，喚醒學習動機，實現沉浸式學習。

（2）注重抽象性，讓“思維在場”。“畫數學”課程是將抽象的數學知識、數學技能等以圖示表征的方式呈現，是實現思維可視化、提升思維品質與發展思維能力的校本課程。為此，選擇課程內容時應關注內容的抽象性，過于直觀、淺顯易懂的內容是不適宜選取與開發的。通過對抽象內容的“畫數學”設計，學生的思維變得深刻、靈動、清晰，抽象思維得以發展。

（3）注重開放性，讓“發展在場”。為讓所有人在數學上得到一定的發展，“畫數學”課程的內容應具備開放性，既關注完成形式的開放化，亦關注結果呈現的多元化。“畫數學”課程內容的完成形式是開放的，如畫線段圖、示意圖、實物圖、思維導圖等;“畫數學”課程內容的結果呈現是多元的，如靜態作品呈現、動態錄像呈現、實際演示呈現等。通過開放性的“畫數學”課程內容，讓“畫數學”學習方式受到學生的認可與支持，以適合的方式促進學生個性化、自主化地發展。

三、搭建整體結構，科學組織課程內容

課程內容的組織是基于目標，將內容妥善組織成課程結構的過程。立足課程目標中價值觀念、必備品格、關鍵能力三個方面，以學習目的為標準將“畫數學”課程分為理解數學、建構數學、體驗數學三個部分，依據垂直組織與水平組織兩大標準分層架構“畫數學”課程的基本內容，完善其整體結構（如圖2）。

1.理解數學課程

理解數學課程是運用思維圖示（如概念圖、線段圖等）清晰呈現知識本質、分析解題過程，旨在幫助學生更好地感知、理解數學知識，掌握有效的思考策略并發展思維能力。依據水平組織的標準，將其細分為畫概念圖、畫線段圖、畫示意圖及畫思路圖四部分。每一部分均按照垂直組織的標準，在各年級以連續性、順序性的邏輯演進序列進行編排。畫概念圖的課程內容旨在利用圖示來表征數學知識及其本質聯系，使隱性的知識顯性化、可視化，以便學生思考、交流與表達[3]。從低年級（1-3年級）的簡單實物圖到高年級（4-6年級）的抽象概念圖，是逐步舍去物質屬性、不斷走向抽象的過程，并遵循學生認知螺旋發展的規律。畫線段圖的課程內容旨在將抽象的文字轉化為直觀的線段圖，以此來表示問題中的數量關系，幫助學生更好地理解題意、解決問題。1～2年級以直條圖為主，3～4年級逐步從直條圖抽象至線段圖，5～6年級則指向線段圖更一般化的運用及多條線段圖的組合，螺旋上升、層層遞進。畫示意圖的課程內容與畫線段圖的課程內容的目標較為一致，落腳點都是對題意的直觀表征，但示意圖課程更多傾向于幾何領域的問題，如面積、周長等。低年級以簡單示意圖（如以圓圈表示排隊問題等）為主，高年級則是對復雜的面積模型示意圖等進行深入研究。畫思路圖的課程內容旨在幫助學生將問題解決過程中的算法與步驟清晰地呈現出來，厘清問題與條件的同時審視解題思路與過程，其實施對象為高年級學生。

2.建構數學課程

建構數學課程是依托知識樹、思維導圖等形式，將零散的知識點穿成邏輯清晰、層次分明的知識網絡，旨在幫助學生建構知識體系，發展提煉概括與分析能力。依據垂直組織標準，將其細分為畫知識樹與畫思維導圖兩部分。低年級學生缺乏生活經驗，頭腦中也缺乏相關事物、圖形等表象，故而其再現能力較弱，知識回憶以散狀或點狀為主要形態。為此，為低年級學生設計畫知識樹課程內容，幫助學生依托知識樹的樹狀結構來理解與表征知識本質及其聯系，建構知識體系的同時為后續思維導圖的學習做好鋪墊。高年級學生腦海中儲存了較多事物及圖形的表象，知識梳理及關聯能力也較低年級學生有較大提升，為此，畫思維導圖的課程內容的實施對象為高年級學生。蘇教版小學數學教材自四年級起，每單元整理與練習的第一部分均為“回顧與整理”，可見以思維導圖梳理知識體系符合教材編寫要求。學生通過思維導圖這樣的圖解形式儲存、組織和優化知識系統，潛力得到最大限度的開發，知識體系得以順利構建。

3.體驗數學課程

體驗數學課程是以創作漫畫、繪本為載體建立數學與學生實際經歷的重合點，引導學生在對現實問題的數學化加工過程中成為知識的學習者與創造者，進而實現數學認知的具體化。依據垂直組織標準，將其細分為畫四格漫畫與畫數學繪本兩部分。低年級學生生活經歷較少、創作能力較差，故安排畫四格漫畫的課程內容。四格漫畫耗時不長、難度不大，契合低年級學生的認知與創作能力，為高年級繪制數學繪本打好基礎。四格漫畫的課程內容多運用于幫助學生表達對“數的認識”“數的運算”“圖形的認識”等內容的理解。高年級學生相較于低年級學生創作能力及想象能力明顯增強，故安排畫數學繪本的課程內容。數學繪本運用范圍較廣，復雜的運算律、圖形間的聯系、實際問題的解決等均可運用數學繪本進行表達。但繪制數學繪本耗時較長，且需要構思設計，因此畫數學繪本課程的成果多安排在寒暑假、小長假等時間完成。

四、力求素養發展，建構課程實施路徑

課程實施是將課程內容付諸實踐的具體過程。“畫數學”課程的實施，以資源建設為前提，以范式總結為核心，以多元評價為保障。

1.優化資源建設

“畫數學”課程資源主要包括“畫數學”手冊及“畫數學”場域兩方面。

（1）編制“畫數學”手冊。“畫數學”手冊是助力教師教及學生學的文本材料，包括“畫數學”教學手冊及“畫數學”作業手冊。“畫數學”教學手冊與教材編排一致，是供教師教學參考的12冊教學用書，每冊均包含理解數學、建構數學、體驗數學共約18個“畫數學”教學活動，每個活動的編排由學習目標、學習內容、學習建議三環節構成。學習目標旨在幫助教師及學生基于目標進行教與學，讓教與學的指向性更為明確。學習內容則是結合學情及生活實際對教材內容的改編或創編，為教學提供現實材料支撐。學習建議則從設計本活動的構想、本活動適宜教學的時機、教學中的重難點等方面進行闡釋，提高教師教學的有效性。“畫數學”作業手冊也分為12冊，供學生課后自主學習使用。作業手冊的部分內容是與“畫數學”教學手冊新授后相匹配的作業，用以鞏固新授內容，提高“畫數學”的能力。作業手冊中的另一部分內容則是要求學生以“畫數學”的方式表征數學教材中所學習的概念與規律，解決數學教材及社會生活中的實際問題。其目的一方面在于鞏固深化對數學知識的理解與運用，另一方面在于提升學生的“畫數學”意識，鼓勵學生自主應用“畫數學”這一學習方式解決各類問題。

（2）開辟“畫數學”場域。具身認知理論強調環境對學習的重要性。所謂“畫數學”場域，即能夠激發學生“畫數學”積極性、展示學生“畫數學”作品的區域及環境。一方面，教師可以組織班級與學校層面動靜結合的“畫數學”評比賽事，以賽促畫。除去班級與校級的靜態“畫數學”作品評比，現場的“畫數學”作品講解與介紹亦是可供借鑒的重要形式。學生在班級及全年級同學面前現場介紹作品的創作思路與創作過程，鍛煉自己綜合能力的同時帶動所有學生進行思維發散，激發學生“畫數學”的動機，提高“畫數學”的能力。另一方面，教師可以打造“畫數學”的環境，以境潤畫。首先，教師可以充分利用班級的墻面及板報，將其布置成班級“繪數角”，用以展示班級同學的作品。其次，教師可以充分利用樓道拐角處，布置成樓道“繪數角”，用以展示班級評選出的優秀作品。最后，教師可以利用校園宣傳欄的位置，布置成校園“繪數角”，用以展示校園評比中最優秀的作品。班級、樓道、校園“繪數角”的布置，有助于提升學生“畫數學”的技能與積極性。

2.提煉流程范式

理解數學、建構數學、體驗數學三部分內容的目的有所差異，其教學流程亦有所不同。基于實踐提煉不同的教學流程范式，能夠優化課程實施效果。

（1）理解數學課程內容的教學流程。畫概念圖的課程內容多以“你能畫圖來表達、證明它嗎？”“這個概念用圖是否更好理解？”等問題驅動，其一般流程是“完整誦讀概念（公式、性質等）—思考用一種簡單圖形（圓、直條等）表達—換一種圖形進行表達—標示所有數據”。畫線段圖的課程內容多以“這題的數量關系能用線段圖表示嗎？”這樣的問題驅動，其一般流程是“畫出線段圖草圖—標示所有數據—思考線段圖還能表示哪些問題？”畫示意圖的課程內容多以“能用圖形表示題目的意思嗎？”“和圖形的面積、周長有關嗎？”等問題驅動，其一般流程是“細讀了解問題梗概—思考相似解題模型—結合文字畫出草圖—表示所有數據”。畫思路圖的課程內容多以“題中問題是什么？”“哪些條件有直接聯系？”等問題驅動，其一般流程是“尋找問題解決需要的條件—梳理條件間的聯系—以字母或簡單圖形等形式表達條件與問題”。

（2）建構數學課程內容的教學流程。畫知識樹的課程內容與畫思維導圖的課程內容的實施時機均為某一單元知識的總結或某一學期知識的總結，單個知識點較多的課例亦可。畫知識樹的課程內容多以“本單元你學到了哪些知識？”“你能畫知識樹整理嗎？”等問題驅動，其一般流程是“羅列所學知識點—圈畫關鍵知識點—畫出知識樹—‘大葉’掛上重點知識—‘小葉’掛上一般知識”。畫思維導圖的課程內容多以“你能整理知識導圖嗎？”“你能畫出本單元的思維導圖嗎？”等問題驅動，其實施流程一般為“羅列知識點—知識先后排序—尋找知識點聯系—分析知識主次—繪制思維導圖”。

（3）體驗數學課程內容的教學流程。畫四格漫畫的課程內容多通過“背后藏著怎樣的故事呢？”“你能用四幅圖畫出清楚有趣的數學故事嗎？”等問題驅動學生思考與想象，其實施流程一般為“看數（算式、圖形等）進行想象—心中說說能想到的小故事—動手開始創作—優化點綴漫畫作品—交流分享學習體會”。畫數學繪本的課程內容多通過“你能用一個故事情境串起整個單元知識嗎？”“你能想出藏著很多數學知識的小故事嗎？”等問題驅動學生的思考，學生通過廣泛閱讀、模仿借鑒、直接創作等方式進行學習，增強學習體驗的同時培養創新思維。

3.跟進多元評價

“畫數學”課程評價是目標取向的一種評價方式，同時兼顧斯騰豪斯的過程取向與林肯的主體取向，即不僅對既定目標的達成程度作出判斷，還著眼于評價學生在課程實施、教學運行中的具體表現，關注學生對自身行為的反省意識和能力。

（1）評價內容多維化。課程內容、實施過程、實施成效共同構成“畫數學”課程評價的內容。對課程內容的評價，主要從課程內容與小學生認知特點是否吻合、預期目標能否達成、學習動機能否激發，內容與學科的銜接性、內容的科學性、內容的趣味性等方面展開。對實施過程的評價，主要從實施中問題的指向性與貼合性，引導的學習難度、思維密度，組織合理性等方面展開。課程成效的評價以內部評價（自主評價）為主，輔以外部評價（教師評價），從情感態度（積極性、好奇心、理性觀）、認知技能（畫圖技能、知識理解、體系建構）、過程體驗（經歷過程、學習體驗）、成長感悟（學習表現、收獲感想、如何改進）四個維度展開。

（2）評價方式多樣化。“畫數學”課程的評價既有質性評價，也有量性評價;既關注“畫數學”過程中的表現及成果所呈現的變化過程，也關注“畫數學”學習的結果。通過過程性評價，評價教師教與學生學的過程，完善教學過程的同時為課程的進一步開發提供依據。通過對學生的“繪數角”作品及現場分享表現進行展示性評價，反饋結果的同時提高學生的“畫數學”動機，而學生“畫數學”能力的發展情況，則通過“畫數學”專題考核進行總結性評價。

綜上，基于目標模式這一經典的課程開發模式進行小學“畫數學”課程的開發與實踐，能夠在育人目標引領下充分發揮“畫數學”課程的育人價值，促進學生價值觀念、必備品格及關鍵能力的發展。

參考文獻

[1] 王本陸.課程與教學論[M].2版.北京：高等教育出版社，2009：89.

[2] 張華.課程與教學論[M].上海：上海教育出版社，2000：191.

[3] 劉善娜.把數學畫出來——小學畫數學教學實踐手冊[M].北京：教育科學出版社，2019：4.

[責任編輯：陳國慶]