數學分析中的極值原理在實際生活中的應用教學研討

(荊楚理工學院數理學院 湖北·荊門 448000)

自上世紀八十年代中期到現在，國際高等教育界越來越重視實踐教學、強化應用型人才的培養。在教育教學改革中，國內的諸多高校同樣注重實踐環境的強化，實踐教學已經成為培養學生實踐能力的重要環節，是培養適應社會經濟發展需求的應用型人才的重要途徑。同時，社會的進步和科技的發展，使得數學與當代科學技術高度融合，數學的應用已經進入了人們生活的各個領域。因此，培養高素質的應用型人才，探討數學類核心課程課堂教學改革是十分必要的。

函數的極值原理在經濟發展活動中有著廣泛的應用，針對生活活動中出現的問題，我們可以利用求解函數的極值問題，歸納出一套完整且系統求解方法，從而能夠廣泛的應用。同時，隨著經濟大潮對現實的沖擊，很多學生產生了讀書無用論的思想，不愿意將精力放在學習中，而醉心于各種眼前利益。

本文通過引入一些實際生產生活中的問題，闡述了在不同的問題中，對于解決極值問題的不同應對方法。大學生創業者可以根據這方面的數學知識來預估項目的發展情況，通過資金和利潤之間的關系，以及其它制約因素對總收益的影響，從而判斷項目的經濟效益是否得到提高，項目有沒有開發前景等問題，也可以判斷最小成本和最大收益之間的關系。從而將數學分析中的極值原理在實際生活中發揮出最大的作用，重新建立學生學習數學知識的興趣和信心。對于引導學生用正確的方式創業，也具有十分積極的促進作用。

1 一元函數極值原理的教學研討

教學過程中，極值判別法判斷駐點或者導數不存在的點是極大值還是極小值時，可以引導學生結合圖像進行記憶。對于第一判別法，可以利用一階導數的符號結合函數單調性的圖像，左減右增則為極小值，左增右減則為極大值；對于第二判別法，可以利用二階導數的符號結合函數凸凹性的圖像，凸函數上的極值只可能是極小值，凹函數上的極值只可能是極大值。

對于一個實際問題，首先是設未知量，將它轉化為函數的最大值最小值問題，而最大值最小值只可能在端點處或者極值點處，極值點只可能在駐點處或導數不存在的點處，再利用極值判別法進行判斷，最后比較端點和極值點的值，可得最大值和最小值。

教學時，可多引用一些與實際聯系緊密的問題、最新發生的問題、學生感興趣的問題，比如最大利潤問題、稅收額最大問題、環境污染最小問題、新冠肺炎傳染最低問題、甚至是剛考過的高考題等。稅收是國家取得財政收入的一種手段，是為了維持國家的存在和行使國家職能的重要方式，環境污染問題是當下的大問題，綠水青山就是金山銀山，中國經濟騰飛了，但也付出了極大的環境代價，消耗大量的能源和資源，造成嚴重的環境污染，中國如果要可持續發展，就必須在發展和維護環境間做好平衡，將舉例和國家施政方針結合起來，可以對學生進行更好的愛國主義教育。最新發生的問題，能讓學生切實體會到數學的作用和魅力。剛考過的高考題，特別是全國卷的題，用新學的數學知識，站在更高的角度看待同一問題，甚至還可以和高中學生常用的解題方法作比較。

一元函數極值原理解決問題一般步驟總結如下：

（1）通過設未知量將實際問題轉化為函數最大值最小值問題；

（2）根據實際問題給出函數f(x)的定義域；

（3）求出f'(x)，并在定義域內求f'(x)=0的點（駐點）和f'(x)不存在的點；

（4）對于駐點和導數不存在的點利用極值判別法來確定函數的極值點，分段函數需要判斷出每一段的極值點；

（5）定義域是否存在端點，如有，需要考慮端點處的值；

（6）比較所有端點和極值點的值的大小，從而得出最終結果。

2 多元函數無條件極值原理的教學研討

一元函數的極值第一判別法主要是從駐點或導數不存在的點兩邊導數的符號進行判斷，兩邊導數符號相反，則中間點是極值點，兩邊導數符號相同，則中間點不是極值點。二元函數的點在平面上，不能從左右兩邊衡量，所以，二元函數沒有這種極值判別法。教學過程中，需要給學生講清楚這一點。二元函數的極值判別法類似于一元函數的極值第二判別法，利用二階偏導數組成的行列式的符號進行判斷，記憶時可結合一元函數的極值第二判別法。

對于一個實際問題，首先是設兩個或兩個以上未知量，將它轉化為多元函數的最大值最小值問題，而最大值最小值只可能在邊界處或者極值點處，極值點只可能在駐點處或偏導數不存在的點處，再利用極值判別法進行判斷，最后比較邊界點和極值點的值，可得最大值和最小值。

多元函數邊界點的值比較起來比一元函數的區間端點要復雜很多，主要是因為一元函數的區間端點只有兩個點，而多元函數的邊界點有無數個點，比如二元函數需要將邊界曲線方程帶入到函數中消去一個未知量，化為一元函數，再根據未知量范圍求出邊界上的最大值和最小值。

其它多元函數可引導學生類推相似的極值判別法結論，同時，舉例時可與一元函數的例子相互關聯，比如產品從一個換成兩個，再來考慮利潤和成本問題。設未知量時，有時候設法并不是唯一的。

二元函數無條件極值原理解決問題一般步驟總結如下：

（1）通過設未知數將問題轉化為二元函數最大值最小值問題；

（2）根據實際問題給出函數f（x，y）的定義域；

（3）解方程組f'x（x，y）=0、f'y（x，y）=0 求得定義域內所有實數解，即駐點；

（4）對于每一個駐點，利用極值判別法判斷是否是極值，是極大值還是極小值；

（5）考察函數f（x，y）是否有偏導數不存在的點，若有用定義加以判別是否為極值點；

（6）定義域是否存在邊界點，如有，需要考慮邊界點處的值；

（7）比較所有邊界點和極值點的值的大小，從而得出最終結果。

3 多元函數條件極值原理的教學研討

多元函數的條件極值問題，與無條件極值問題比較，多出了對應的約束條件，一般用拉格朗日乘數法解決，首先構造拉格朗日函數，然后找出拉格朗日函數的最大值最小值。拉格朗日函數的最大值最小值找法和多元函數最大值最小值找法一樣，只可能在邊界處或者極值點處，極值點只可能在駐點處或偏導數不存在的點處，再利用極值判別法進行判斷，最后比較邊界點和極值點的值，得到最大值和最小值。

需要注意的是，拉格朗日乘數法在解方程組求駐點時計算量往往非常大。實際教學中，我們發現，學生利用輪換對稱性人工解方程組時，經常會漏根，把正確的根漏掉后，得出錯誤的結論。這也和計算工具的普及，導致學生整體計算能力下降有關。因此，教學時需要引導學生結合Matlab軟件進行解方程組計算。

同時，拉格朗日乘數法在判斷駐點是否是極值點時，需要結合隱函數與隱含數組的導數偏導數求法，利用多元函數極值判別法進行判斷，判斷起來非常復雜。比如三元函數f（x，y，z）在約束條件（x，y，z）=0下的極值，可以把（x，y，z）=0看作隱函數z=z（x，y），目標函數F（x，y）=f（x，y，z（x，y））看作f（x，y，z）與z=z（x，y）的復合函數，若點P0是其駐點，則A=Fxx（P0），B=Fxy（P0），C=Fyy（P0），利用二元函數極值判別法進行判斷。

如果能夠消去約束條件，我們會發現，這種方法計算量會更小，不借助一些數學軟件，手動人工計算的話，這種方法無論是求駐點，還是判斷是否是極值點，都更加方便。但是同時，約束條件不一定都能夠消掉，教學時可以給學生分析各種方法的利與弊。

舉例說明時，可以從同一個例子中，給出有約束條件和沒有約束條件的不同題目，消去約束條件和不消去約束條件的不同解法。

多元函數條件極值原理解決問題一般步驟總結如下：

（1）通過設未知數將問題轉化為函數最大值最小值問題，并給出約束條件；

（2）構造拉格朗日函數，并確定函數的定義域；

（3）對拉格朗日函數各個變量求偏導數，在定義域內求出所有駐點和偏導數不存在的點；

（4）對于駐點，結合隱函數和隱含數組求導法則，利用無條件極值的充分條件判斷是否是極值，是極大值還是極小值；

（5）對于偏導數不存在的點，用定義加以判別是否為極值點；

（6）定義域是否存在邊界點，如有，需要考慮邊界點處的值；

（7）比較所有邊界點和極值點的值的大小，從而得出最終結果。

4 結束語

在教學過程中，通過一元函數的極值第一判別法和第二判別法作比較，通過一元函數的極值判別法與二元函數的極值判別法作比較，通過人工計算駐點坐標和借助數學軟件來計算作比較，能夠讓學生對于求極值的方法掌握的更深。通過消去約束條件和不消去約束條件的方法相互比較，通過有約束條件和沒有約束條件的同種類型的問題作比較，通過一元和多元函數在同種類型的問題上的應用比較，能夠讓學生對極值原理的應用理解的更透。

特別值得注意的是，如果一個實際問題我們確定存在最大值最小值，就不需要判斷駐點和導數偏導數不存在的點是否是極值點，直接比較這些值的大小，最大的即為最大值，最小的即為最小值。

最后，我們總結出無論是一元還是多元函數，無論是有條件還是無條件，極值原理解決問題的通用步驟如下：

（1）通過設未知數將問題轉化為函數最大值最小值問題，有約束條件則構造拉格朗日函數（能消掉約束條件就直接消去條件），并確定函數的定義域；

（2）對函數各個變量求導數或偏導數，在定義域內求出所有駐點和導數偏導數不存在的點；

（3）定義域是否存在邊界點，如有，需要考慮邊界點處的值；

（4）判斷實際問題是否存在最大值或最小值，若存在，則直接比較所有邊界點、駐點和導數偏導數不存在的點的值的大小，最大的即為最大值，最小的即為最小值。