以形表數(shù) 據(jù)圖析理
——培養(yǎng)低年級(jí)小學(xué)生畫圖說理能力的策略例析

施巧凝

（晉江市第三實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建 晉江 362200）

“會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)說理是運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行邏輯表達(dá)的過程。數(shù)學(xué)語言包含文字語言、符號(hào)語言、圖形語言。學(xué)生利用畫圖策略幫助解決問題，經(jīng)歷讀取文字語言，把文字語言轉(zhuǎn)化成圖形語言和符號(hào)語言，分析、發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，結(jié)合圖形語言和符號(hào)語言有條理地表述自己的思考的過程。會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，說明學(xué)生的思維逐步達(dá)到條理化、概括化和精確化，這不僅是對(duì)知識(shí)掌握程度的一種反映，更是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。然而，數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的形成不是一蹴而就的，需要長期熏陶，不斷強(qiáng)化。從小學(xué)低年級(jí)開始培養(yǎng)學(xué)生畫圖說理能力，有利于其數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的發(fā)展。

一、以形表數(shù)，方法易理解

以形表數(shù)，即一個(gè)小小的圓圈或一條小小的線段，既可以表示一個(gè)比較小的數(shù)量，也可以表示一個(gè)非常大的數(shù)量，還可以表示各種各樣的生活情境和數(shù)學(xué)信息。小學(xué)高年級(jí)，最常使用的是線段圖。從用單個(gè)圖形表示1 個(gè)，到一條抽象的線段表示各種不同的數(shù)量，對(duì)小學(xué)生來說是很大的思維跨越。“從一年級(jí)起，就可以相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生畫圖表示數(shù)，畫圖說明計(jì)算結(jié)果，特別是在解決問題時(shí)，放手讓他們把‘應(yīng)用題畫出來’”。［1］“在畫圖教學(xué)中，教師要有意識(shí)地溝通各種圖示的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象的過程，體會(huì)在不改變數(shù)學(xué)信息和數(shù)量關(guān)系的前提下，圖是可以逐漸變化的，可以變得更加簡(jiǎn)潔、抽象，從而為后續(xù)表征復(fù)雜問題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。”［2］

根據(jù)北師大版教材逐步呈現(xiàn)的各種用圖形表示數(shù)量的方法，在一年級(jí)下冊(cè)的期末復(fù)習(xí)階段設(shè)計(jì)一節(jié)關(guān)于畫圖解決問題的練習(xí)拓展課。先回顧教材在用圖形表示數(shù)量方面的編排。一年級(jí)上冊(cè)課本第5 頁“練一練”第1 題，第一次用圓圈表示數(shù)量，實(shí)物和圖形一一對(duì)應(yīng)（見圖1）。接著，在課本第6 頁“練一練”第4 題，數(shù)字和圖形一一對(duì)應(yīng)。（見圖2）

圖1

圖2

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從認(rèn)識(shí)數(shù)字開始。數(shù)的意義本身是抽象的，對(duì)于低年級(jí)學(xué)生而言，“數(shù)字”這一數(shù)學(xué)符號(hào)的呈現(xiàn)也十分抽象。因此，教科書創(chuàng)設(shè)各種生活情境，每一個(gè)抽象的數(shù)的認(rèn)識(shí)都經(jīng)歷了“數(shù)出實(shí)物的數(shù)量→用圖表示數(shù)量的多少→用數(shù)字表示數(shù)量的多少”的過程。用圖形表示數(shù)量的多少，實(shí)物和圖形、數(shù)字和圖形是一一對(duì)應(yīng)的，滲透對(duì)應(yīng)的思想和符號(hào)化的意識(shí)。20 以內(nèi)的數(shù)量，一個(gè)圖形表示1 個(gè)，畫圖相對(duì)簡(jiǎn)單，但到了100 以內(nèi)的數(shù)，甚至更大的數(shù)，怎么畫圖呢？除了用計(jì)數(shù)器表示的方式，一年級(jí)下冊(cè)課本第48頁設(shè)計(jì)了一道習(xí)題：

圖中，大正方形表示10，小正方形表示1。

二年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)乘法，第17、19、41 頁循序漸進(jìn)地出現(xiàn)數(shù)線，第73 頁第一次呈現(xiàn)長條圖（見圖3、圖4、圖5）。

圖3

圖4

圖5

數(shù)線圖從尺子圖上抽象出來，逐步經(jīng)歷從一格表示1 個(gè)到一格表示多個(gè)的過程。數(shù)線圖實(shí)際上是數(shù)軸的雛形，而線段圖是數(shù)軸的一部分。到了課本73 頁，長條圖出現(xiàn)了。二年級(jí)下冊(cè)到三年級(jí)下冊(cè)，數(shù)線圖和長條圖、點(diǎn)子圖（圓點(diǎn)）不斷交替出現(xiàn)，不難看出，教材特別重視數(shù)形結(jié)合。

用畫圖表示數(shù)量、認(rèn)識(shí)數(shù)的運(yùn)算的圖像表征過程，可以幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)算理的理解，初步培養(yǎng)學(xué)生有條理地表達(dá)自己思考過程的能力。表示數(shù)量的畫圖方法，包括單個(gè)小平面圖形、長條圖、數(shù)線、線段等。筆者在練習(xí)拓展課中，通過一道練習(xí)題，讓各種表示數(shù)的方式自然、有層次地呈現(xiàn)，打通數(shù)種方法之間的聯(lián)系。如出示熊貓、大象、小猴三種動(dòng)物的數(shù)量，先呈現(xiàn)熊貓數(shù)量的畫圖表示方式，請(qǐng)學(xué)生用同樣的方式表示大象的數(shù)量（上述一年級(jí)下冊(cè)課本第48 頁習(xí)題畫圖方式的繼續(xù)運(yùn)用），進(jìn)一步提出求和、求相差數(shù)的問題。其中，求相差數(shù)的問題，利用希沃白板拖曳功能，引導(dǎo)學(xué)生通過重排圖形順序，分一分，結(jié)合圖形分析、闡述計(jì)算的道理——把大象的數(shù)量分為兩部分（見圖6），一部分是和熊貓同樣多的數(shù)量，一部分是比熊貓多的，去掉同樣多的部分，剩余的就是大象比熊貓多的部分。

圖6

接著提出“小猴比大象多幾只”這個(gè)問題，請(qǐng)學(xué)生按照表示大象數(shù)量的方式，表示出小猴的數(shù)量。此時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)即便調(diào)整正方形、小長方形的順序，也無法像比較大象和熊貓的數(shù)量那樣一一對(duì)應(yīng)，直觀看出小猴的數(shù)量比大象多了多少（見圖7）。有學(xué)生想到，要把表示10 只小猴的其中一個(gè)正方形分成10 個(gè)小長方形，10 個(gè)一拿出2 個(gè)一，剩余的8 個(gè)一和3 個(gè)十合起來，就是多出來的部分。有的想到把這些圖形粘在一起，將分別表示大象和小猴的所有圖形移動(dòng)合并。

圖7

單個(gè)圖形合并之后，隱去中間的線條，得到長條圖。長條圖比畫單個(gè)圖形簡(jiǎn)單一些，但因?yàn)閯?dòng)物的數(shù)量無法通過“數(shù)一數(shù)”直接看出，所以要在長條圖中標(biāo)注出數(shù)量（見圖8）。再進(jìn)一步抽象，把長條圖壓扁，去掉顏色，隱去上面的邊，加上大括號(hào)，標(biāo)準(zhǔn)的線段圖就水到渠成。

圖8

上述案例中，一步步變幻，一點(diǎn)點(diǎn)抽象，拓展畫圖表示數(shù)的方法，為二年級(jí)尺子變數(shù)線、長條圖的學(xué)習(xí)做好鋪墊。此外，在學(xué)生畫數(shù)線、長條圖、線段圖時(shí)，要有意識(shí)地引導(dǎo)他們關(guān)注數(shù)的大小、數(shù)量的多少與長條、線的長短之間的關(guān)系，在發(fā)展數(shù)感的同時(shí)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性。

二、據(jù)圖析理，思維可視化

（一）關(guān)注數(shù)學(xué)語言

兒童的知覺方式與成人不同，符號(hào)的解釋能力也具有差異。低年級(jí)學(xué)生簡(jiǎn)單、直線式的思維特點(diǎn)，使他們?cè)诒磉_(dá)想法時(shí)，往往眼睛看到什么就說什么，心里想到什么就說什么，有時(shí)無法從數(shù)學(xué)的角度去思考問題。如北師大版一年級(jí)上冊(cè)第21 頁“想一想，說一說”比高矮（見圖9）。一位學(xué)生說：“我認(rèn)為最高的是中間的小兔子。因?yàn)樗戎舻妒郑芨吲d，說明它最高。”學(xué)生受生活中游戲經(jīng)驗(yàn)以及圖案中表情、動(dòng)作這些非數(shù)學(xué)信息的影響，而沒能注意所要比較的是兔子本身的高、矮。

圖9

這樣的題目，教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題目信息中的數(shù)學(xué)語言（含文字和圖形）。如“有幾只小兔在比高矮？圖上除了3 只小兔，還畫了什么？”聚焦“圖上的橫線有什么用”，學(xué)生在闡述“為什么小灰兔最高？”時(shí)，可以依據(jù)橫線圖這個(gè)參照物，用“小灰兔和粉兔子的耳朵對(duì)齊了，可是往下面看，小灰兔比粉兔子多了2格”“小灰兔有8 格，粉兔子有6 格”等有數(shù)學(xué)味的方式來比較、說理。

（二）畫圖表征信息

思維活動(dòng)屬于內(nèi)部數(shù)學(xué)語言加工，大多是內(nèi)隱、無聲的，具有自悟性、跳躍性、模糊性等特點(diǎn)。將思考過程通過畫一畫、寫一寫的方式記錄下來，有助于化隱性為顯性，化抽象為直觀。畫圖說理，即先畫圖，再借助圖來講道理，圖的畫法也要有道理，讓人一目了然。

例如，學(xué)生畫圖說明如何計(jì)算8+5，在計(jì)數(shù)器上畫一個(gè)向下的箭號(hào)（↓）表示加上，把10 顆珠子圈在一起，再畫個(gè)有弧度的箭號(hào)指向十位，表示“滿十進(jìn)一”。靜態(tài)的信息有了動(dòng)態(tài)的表征，8+5 的算理算法展示無遺漏（見圖10）。再如，根據(jù)“有12 只山羊”“7 只綿羊”兩條數(shù)學(xué)信息提問題，所提出的三個(gè)問題分別有三種畫法。其中求和的問題，大括號(hào)畫在左邊，表示把兩個(gè)數(shù)量合起來。求相差數(shù)的問題，共同之處是將比較多的數(shù)量分為兩部分，區(qū)別在于“山羊比綿羊多幾只？”問題標(biāo)在山羊多出來的部分的下面，而“綿羊比山羊少幾只”少的部分的數(shù)量是未知的，畫一個(gè)圈把少的部分囊括其中，再加個(gè)問號(hào)，指向性生動(dòng)明確（見圖11）。

圖10

圖11

關(guān)于解決問題，引導(dǎo)學(xué)生要將已知的信息和問題都表示清楚。如解決乘除法問題，學(xué)生有以下畫圖方式（見圖12、圖13）。“20 里面有幾個(gè)4”和“20 是4 的幾倍”，雖然計(jì)算的道理是一樣的，但由于一個(gè)問的是總量和部分的關(guān)系，一個(gè)是兩個(gè)量在比較，學(xué)生畫的圖巧妙地區(qū)分了兩者。

圖12

圖13

到了三年級(jí)，有些學(xué)生繼續(xù)將畫圈圈加數(shù)量表征題意的方法運(yùn)用得“爐火純青”，雖然不夠嚴(yán)密，但是數(shù)量關(guān)系、計(jì)算道理一目了然（見圖14）。

圖14

（三）畫圖闡明算理

對(duì)低年級(jí)學(xué)生來說，單純的文字語言理解起來比較困難，特別是與隊(duì)列、數(shù)陣有關(guān)的問題；已知兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系（包括相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系）和其中一個(gè)數(shù)量，求另一個(gè)數(shù)量的問題。這兩類數(shù)學(xué)問題，雖然數(shù)量關(guān)系不復(fù)雜，但因?yàn)槲淖直硎鼋咏圆蛔⒁猓悴钪晾澹囈郧Ю铩Ｈ珀P(guān)于隊(duì)列問題，北師大版的第一次呈現(xiàn)在一年級(jí)上冊(cè)第一單元第13 頁（見圖15）。其中，“我”排第幾個(gè)有兩種答案，從丁丁這頭數(shù)起和當(dāng)當(dāng)那頭數(shù)起。這里是對(duì)數(shù)的基數(shù)和序數(shù)意義的強(qiáng)化，要鼓勵(lì)學(xué)生說明為什么“我”一會(huì)兒是第7個(gè)，一會(huì)兒是第4 個(gè)。當(dāng)?shù)谖鍐卧J(rèn)識(shí)“左右”以后，這幅圖還可以二次利用，此時(shí)語言應(yīng)該轉(zhuǎn)化為“從左邊數(shù)，我是第幾個(gè)；從右邊數(shù)，我是第幾個(gè)”，并且追問“‘我’的左邊有幾個(gè)，右邊有幾個(gè)”。教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生給這個(gè)關(guān)鍵的“我”做標(biāo)記，如在人物底下畫個(gè)△，一個(gè)一個(gè)數(shù)的過程也做上記號(hào)，避免混亂。

圖15

以后遇到排隊(duì)問題，都可以先把關(guān)鍵人物畫出來，再根據(jù)題意，畫出或?qū)懗鲫?duì)伍的信息，進(jìn)而數(shù)一數(shù)或算一算，不容易遺漏或重復(fù)（見圖16、圖17）。

圖16

圖17

同樣的，對(duì)于相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系的問題，畫圖后，題中的數(shù)量關(guān)系便一清二楚。畫圖是促進(jìn)深度思考、說明道理時(shí)的支撐，學(xué)生經(jīng)歷畫圖表征信息的過程，審題將更加謹(jǐn)慎，思考將更為深入。交流分享時(shí)，圖形協(xié)助頭腦中回憶起相關(guān)思考點(diǎn)，闡述觀點(diǎn)有理有據(jù)。所以，教師要從低年級(jí)開始培養(yǎng)學(xué)生畫圖說理的意識(shí)和能力，為高年級(jí)表征復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系打基礎(chǔ)，同時(shí)養(yǎng)成學(xué)生畫圖析理的好習(xí)慣。

三、習(xí)題強(qiáng)化，能力成素養(yǎng)

“我們應(yīng)從單純強(qiáng)調(diào)‘幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維’走向‘通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維’，我們也應(yīng)從更廣泛的角度理解，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)‘畫圖’的重要性：這不僅與他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)密切相關(guān)，也對(duì)提升學(xué)生的‘核心素養(yǎng)’，特別是思維與表達(dá)能力具有十分重要的作用。”［3］任何一種能力的形成都需要不斷強(qiáng)化，畫圖說理能力也不例外。當(dāng)學(xué)生有了畫圖說理的意識(shí)和初步能力后，要多創(chuàng)造機(jī)會(huì)，設(shè)計(jì)畫圖說理練習(xí)題，積累經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展能力，讓喜歡并習(xí)慣這樣的表達(dá)方式，進(jìn)而上升為素養(yǎng)。

例如，三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)《面積》《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》單元后，分別設(shè)計(jì)以下說理題。在畫圖說理中，發(fā)展學(xué)生的批判性思維，培養(yǎng)審慎、求真的學(xué)習(xí)態(tài)度。

總之，從低年級(jí)開始培養(yǎng)學(xué)生畫圖說理能力，養(yǎng)成樂分享、善表達(dá)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有助于實(shí)現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》第一學(xué)段所述“會(huì)獨(dú)立思考，表達(dá)自己的想法”“體驗(yàn)與他人合作交流解決問題的過程”的培養(yǎng)目標(biāo)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。