在比較中實(shí)現(xiàn)概念的深度學(xué)習(xí)
——以“周長”和“面積”的概念學(xué)習(xí)為例

宋曉春

（同安區(qū)第三實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建 廈門 361100）

馬云鵬教授認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)是一種基于理解的學(xué)習(xí)，是學(xué)生以高階思維的發(fā)展和實(shí)際問題的解決為目標(biāo)，以整合的知識(shí)為內(nèi)容，積極主動(dòng)地、批判性地學(xué)習(xí)新知識(shí)和思想，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，且能將已有知識(shí)遷移到新的情境中的一種學(xué)習(xí)。［1］小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)概念的深度學(xué)習(xí)，應(yīng)著力引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)理解，實(shí)現(xiàn)概念的靈活應(yīng)用，并能將新概念納入原有的概念結(jié)構(gòu)。比較可以幫助人們把握事物的異同點(diǎn)，區(qū)別事物，達(dá)到對(duì)各個(gè)事物的深入了解認(rèn)識(shí)，從而把握各個(gè)事物。

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，“周長”和“面積”是跟平面圖形有關(guān)的兩個(gè)概念，分別安排在人教版三年級(jí)上下冊(cè)中。學(xué)生在三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)面積相關(guān)知識(shí)后，對(duì)于周長和面積這兩個(gè)概念總是很容易混淆。為了幫助學(xué)生更加準(zhǔn)確、深刻地理解這兩個(gè)概念，在學(xué)完“面積”這一單元后，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“周長”和“面積”的含義及其計(jì)算方法進(jìn)行比較分析。在不同概念異同點(diǎn)的對(duì)比中，開展深層次對(duì)話，實(shí)現(xiàn)概念的深度學(xué)習(xí)。

一、比較“線”與“面”，經(jīng)歷概念形成

數(shù)學(xué)概念具有抽象性，而小學(xué)生的思維特點(diǎn)是以具體形象思維為主，具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡。純粹的機(jī)械記憶并不能讓學(xué)生真正理解概念，只有經(jīng)歷概念的形成過程，積累認(rèn)知體驗(yàn)，學(xué)生對(duì)概念才能獲得真正意義上的生動(dòng)的理解。教材中對(duì)周長的定義是“封閉圖形一周的長度”，對(duì)面積的定義是“封閉圖形或物體表面的大小是面積”。比較“周長”和“面積”這兩個(gè)概念的形成過程，可以發(fā)現(xiàn)“周長”計(jì)量的對(duì)象是“線”，而“面積”計(jì)量的對(duì)象是“面”。所以在概念教學(xué)中，首先要讓學(xué)生感悟到“線”與“面”的不同，從而意識(shí)到“周長”與“面積”的不同。

1.動(dòng)態(tài)感知，展示特征

小學(xué)生的思維以直觀思維為主，動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)概念，有利于學(xué)生獲得直觀體驗(yàn)，印象更深刻。如用課件展示一個(gè)長方形，請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)比一比，說說長方形周長指的是什么？面積指的是什么？課件先呈現(xiàn)紅色線繞長方形一圈，并且將這一圈展開，里面包含兩條長和兩條寬的過程，由此直觀呈現(xiàn)“長方形的周長就是長方形一周的長度，也就是2 條長和2 條寬的長度總和”這一概念。接著，呈現(xiàn)“藍(lán)色涂滿整個(gè)長方形”的過程，引領(lǐng)學(xué)生直觀感受，藍(lán)色部分就是這個(gè)長方形的面積。動(dòng)態(tài)展示，讓學(xué)生對(duì)“線”與“面”的特征感受更加強(qiáng)烈。

2.操作體驗(yàn)，親歷實(shí)踐

設(shè)計(jì)操作性的實(shí)踐練習(xí)，讓學(xué)生在動(dòng)手中直觀體驗(yàn)“線”與“面”和不同。如設(shè)計(jì)“摸一摸、說一說、找一找”的操作活動(dòng)，讓學(xué)生在多種操作中，直觀感知周長和面積的不同，形成表象。或請(qǐng)學(xué)生先用紅筆描出以下每個(gè)圖形的一周，再涂藍(lán)色，表示出它們的面積（見圖1）。在“涂一涂”的活動(dòng)中，在“紅線”與“藍(lán)塊”的視覺對(duì)比沖擊中，強(qiáng)化“線”與“面”的不同。

圖1

3.觀察對(duì)比，深化認(rèn)知

設(shè)計(jì)兩個(gè)圖形的比較“周長”與比較“面積”的練習(xí)，讓學(xué)生在觀察對(duì)比中，不斷深化“周長計(jì)量線、面積計(jì)量面”的認(rèn)知。如請(qǐng)學(xué)生比較甲、乙兩個(gè)圖形，誰的周長更長？誰的面積更大？學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，圖2 中，甲乙兩個(gè)圖形其實(shí)都包含兩條長和兩條寬，周長一樣長；但甲面積小，因?yàn)樗绷艘恍K。圖3 中，兩個(gè)圖形都是由兩條直角邊和一條曲線圍成，直角邊和曲線的長度相等，所以周長相等。但是曲線圍繞直角邊的方式不同，可以直觀看出乙的面積更大。

圖2

圖3

二、比較“計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)”，把握概念本質(zhì)

概念的學(xué)習(xí)，不能僅僅停留“表面理解”“淺層理解”，而要實(shí)現(xiàn)“深度認(rèn)知”“深層理解”。這就需要教師把握概念的本質(zhì)。張奠宙教授說：“許多數(shù)學(xué)本質(zhì)，只有從歷史的發(fā)展（中）才能深刻體會(huì)。”教師要溯本求源，追問概念的前世今生，重視知識(shí)的來龍去脈，在歷史的脈絡(luò)中尋求概念的本質(zhì)。測量圖形的周長，測量的是“線”的長短；而“線”的長短，就是二年級(jí)時(shí)學(xué)過的線段的度量，就是一條線段里包含幾個(gè)“單位長度”。測量圖形的面積，測量的是“面”的大小，也就是一個(gè)“面”里包含幾個(gè)“單位面積”。周長和面積本質(zhì)是相同的，都是“度量”，也就是要先確定度量的標(biāo)準(zhǔn)單位，再算算圖形中包含幾個(gè)這樣的標(biāo)準(zhǔn)單位。［2］測量周長使用的標(biāo)準(zhǔn)單位是“單位長度的線段”，測量面積使用的標(biāo)準(zhǔn)單位是“單位面積的小正方形”。

1.數(shù)一數(shù)，化形為數(shù)

教師引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)“數(shù)一數(shù)”的練習(xí)，巧妙地化“形”為“數(shù)”，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟“周長”和“面積”的本質(zhì)——“數(shù)一數(shù)有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位”。同時(shí)，通過數(shù)“線段”還是數(shù)“小方格”，感悟“計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)”的不同，進(jìn)一步明晰“周長”和“面積”的不同。

如圖4，比較面積，應(yīng)該數(shù)“小方格”。甲有10 個(gè)小方格，乙也有10 個(gè)小方格。學(xué)生在數(shù)格子中發(fā)現(xiàn)，甲乙形狀不同，但是面積一樣。比較周長，應(yīng)該數(shù)“線段”（小方格的邊）。甲一周有14 段，乙一周有16 段，所以乙周長比較長。

圖4

2.畫一畫，逆向思考

教師引導(dǎo)學(xué)生在方格紙上“畫一畫”，在“畫”的過程中，對(duì)比周長與面積在計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)上的不同。設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)如下：

（1）在方格紙上畫幾個(gè)長方形或正方形，使它們的周長都是12 厘米。（每個(gè)方格的邊長表示1 厘米）

（2）在方格紙上畫幾個(gè)長方形或正方形，使它們的面積都是12 平方厘米。（每個(gè)方格的邊長表示1厘米）

“畫一畫”比“數(shù)一數(shù)”難度有提升，蘊(yùn)含著逆向思考的過程。面積是12 平方厘米，意味著畫的圖形里要包含12 個(gè)小方格，所以每排的個(gè)數(shù)（長）乘幾排（寬）要等于12；周長12 厘米，意味著圖形一圈的長度是12厘米，即“長+長+寬+寬＝12 厘米”，也就是“（長+寬）×2＝12”，所以長+寬＝6。學(xué)生在“畫一畫”的過程中，對(duì)周長和面積的本質(zhì)進(jìn)一步辨析理解，對(duì)長方形、正方形的面積公式進(jìn)行逆運(yùn)用，思維含量較高。會(huì)“畫”，說明學(xué)生對(duì)周長和面積的計(jì)量單位已經(jīng)具有清晰的認(rèn)識(shí)。

三、比較“問題情境”，落實(shí)概念應(yīng)用

概念的深度學(xué)習(xí)，一個(gè)重要表現(xiàn)在于能夠正確、靈活地運(yùn)用概念。因此，在概念教學(xué)后，教師應(yīng)該把概念融合到數(shù)學(xué)問題中，引導(dǎo)學(xué)生積極地在比較分析中解決問題，進(jìn)一步明晰概念、理解概念，實(shí)現(xiàn)概念應(yīng)用。教師可以設(shè)計(jì)多種關(guān)于“周長”與“面積”的實(shí)際問題情境，引導(dǎo)學(xué)生比較分析，明晰概念，提升應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決數(shù)學(xué)問題的能力。

1.設(shè)計(jì)具體情境

教師提供一些現(xiàn)實(shí)生活中的情境，讓學(xué)生根據(jù)對(duì)概念的理解，直接判斷是周長問題還是面積問題。如請(qǐng)學(xué)生想一想，以下情境，是跟周長有關(guān)，還是跟面積有關(guān)？①體育課上，同學(xué)們沿著操場的周邊跑了2 圈。②工人叔叔粉刷房間的墻壁；③放學(xué)后，值日生把教室全部打掃一遍；④給草地圍上圍欄。學(xué)生在比較生活中應(yīng)用周長和面積的情境中，生動(dòng)理解周長和面積。

2.設(shè)計(jì)對(duì)比情境

教師直接呈現(xiàn)包含“周長”問題和“面積”問題的題組，讓學(xué)生在同一題組中進(jìn)行對(duì)比辨析。如三年級(jí)下冊(cè)練習(xí)十三的第6 題：“墻報(bào)的面積是多少平方分米？花邊的總長是多少分米？”同一題里有“周長問題”，也有“面積問題”，學(xué)生必須先對(duì)比做出判斷后，才能選擇對(duì)應(yīng)的公式進(jìn)行計(jì)算。

3.設(shè)計(jì)隱含情境

有些題目沒有出現(xiàn)“周長”或“面積”的字眼，學(xué)生需要結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)判斷，進(jìn)一步促進(jìn)概念的理解。如三年級(jí)下冊(cè)練習(xí)十三的第8 題：“灑水車每分鐘行駛200 米，灑水的寬度是8 米。灑水車行駛6 分鐘，能給多大的地面灑上水？”學(xué)生聯(lián)系灑水車灑水的場景，明白求多大的地面，相當(dāng)于求灑水地面的面積，灑水車行駛的路程相當(dāng)于灑水地面的長，灑水寬度相當(dāng)于灑水地面的寬，所以運(yùn)用長方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算。

四、比較“變與不變”，溝通概念關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)中每個(gè)概念的學(xué)習(xí)，呈點(diǎn)狀結(jié)構(gòu)，相對(duì)是零散的。但教師不能孤立地看待每個(gè)概念，而應(yīng)站在整體的高度，尋找并溝通各個(gè)概念之間的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生在系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)中認(rèn)識(shí)概念，促使學(xué)生形成概念網(wǎng)絡(luò)，完善概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1.聯(lián)系的視角

比如，正方形的邊長、周長、面積三者之間，知道其中一個(gè)量，就可以推算出其他兩個(gè)。教師設(shè)計(jì)練習(xí)：“一根16 分米的鐵絲圍成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的面積是多少平方分米？”學(xué)生需要分析，16 分米是鐵絲的長度，也是這個(gè)正方形的周長，知道正方形的周長，就可以推出正方形的邊長，進(jìn)而算出正方形的面積。通過溝通邊長、周長、面積三者之間的關(guān)聯(lián)，使學(xué)生對(duì)邊長、周長、面積等概念的認(rèn)識(shí)更加清晰。

2.變化的視角

“周長”和“面積”兩個(gè)單元，教材特別重視從“變化”的視角引領(lǐng)學(xué)生探究周長與面積的關(guān)聯(lián)。如三年級(jí)下冊(cè)練習(xí)十四第65 頁第七小題“在方格紙上畫幾個(gè)長方形或正方形，使它們的周長都相等，然后比較一下它們的面積。你能發(fā)現(xiàn)什么？”練習(xí)十六第75 頁的第11 題“在方格紙上畫出面積是16 平方厘米的長方形，你能畫幾個(gè)？算出它們的周長，填入表中。”兩道題目實(shí)質(zhì)上是聚焦“變”與“不變”的兩個(gè)問題探究：一是周長相等的圖形，面積一定相等嗎？二是面積相等的圖形，周長一定相等嗎？［3］

兩道題目編排分散，不利于學(xué)生整體上比較把握“周長”與“面積”的變化特點(diǎn)。因此，有必要安排專門的一課時(shí)，組織學(xué)生針對(duì)這兩個(gè)問題，同時(shí)開展對(duì)比性探究，并及時(shí)歸納、小結(jié)其中的規(guī)律。針對(duì)前述第一個(gè)問題，教師可提供學(xué)習(xí)單（見圖5），引導(dǎo)學(xué)生探究。學(xué)生自主思考，畫一畫、算一算、填一填，完成學(xué)習(xí)單，在觀察、思考中發(fā)現(xiàn)：“周長相等的長方形，它們面積不一定相等；周長相等時(shí)，長和寬越接近，面積就越大。”針對(duì)前述第二個(gè)問題，教師也提供給學(xué)生類似的學(xué)習(xí)單并組織學(xué)生開展類似的研究。兩個(gè)研究完成后，再組織學(xué)生對(duì)比感悟“變與不變”的辯證關(guān)系。

圖5

這樣專門設(shè)計(jì)的聚焦“變”與“不變”的課，進(jìn)一步關(guān)聯(lián)了“周長”和“面積”的變化關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生深層次理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)積累更多有價(jià)值的經(jīng)驗(yàn)。