指向學科核心素養的小學數學命題探索
——基于PISA2021 數學素養測評框架

林鶯

（福州教育學院附屬第四小學，福建 福州 350008）

核心素養視角下的教育，其關鍵點指向學科核心素養的評價。隨著教育理論研究的不斷發展，當前的教育在如何更加科學規范地進行小學數學教學的評價上，已經越來越體現出科學性與規范性，開發出了更加規范的評價框架。試題能否發揮它應有的作用，很大程度上取決于科學設計。一種可行的思路是從內容要素和水平層次兩個維度出發，考查學生的相應水平。借鑒PISA2021 數學素養測評框架，確定小學生的數學素養評價要素和水平層次，科學地設計試題，有助于學生把握學習趨勢，免于陷入題海戰術，也能幫助教師改進教學，引領學生提升數學素養。本文以小學數學六年級試題為例，分析其在培養學生數學素養水平方面所起的作用。

一、數學素養新內涵

（一）PISA2021 對數學素養的定義

自2000 年世界經濟合作與發展組織（OECD）發起的PISA 素養測試，由于命題靈活開放，評價科學客觀，深受業內人士的推崇，已日漸成為一項具有國際權威性的學生學習能力測試。2018 年，OECD 組織對PISA2012 數學素養測試框架進行修訂和調整，2019 年5 月發布PISA2021 數學素養測評框架，并在數學素養定義、內涵以及測評內容方面做出重大調整。

PISA2021 測評框架對數學素養的定義是：一個人在不同真實世界情境下能夠進行數學推理，并能夠表示、使用和解釋數學來解決問題的能力。包含使用數學概念、數學過程、數學事實以及數學工具進行描述、解釋、預測未來趨勢的能力。數學素養有助于個體作為一個21 世紀的建設性公民，在關心社會、善于思考的同時，了解數學在世界中所起的作用，并能夠有根據地做出數學判斷和決定。［1］

與PISA2012 相比，第一，PISA2021 數學素養定義增加了“數學推理”一詞，并且將“數學推理”放在核心位置；第二，將“不同情境”調整為“不同真實世界情境”，并添加“解決問題”這一目的指向，明確了數學素養旨在反映一個人在真實世界情境中解決問題時所運用的能力；［1］第三，出現“21 世紀”一詞，折射出PISA2021 數學素養將反映21 世紀對公民的能力要求。

（二）PISA2021 數學素養測評框架

較之2012 版舊模型可以發現，第一，新框架模型（圖1）［1］呈圓形；第二，呈現“建模過程”，以“數學推理”為核心；第三，“領域內容”與“建模過程”合為一體，環環相扣。第四，增加了21 世紀8 大技能。

圖1 PISA2021 數學素養測評框架

“在教育教學實踐中落實學科核心素養的難點和焦點在于發展核心素養評價。”［2］分析PISA2021 數學素養測評框架，為思考教育評價過程如何實踐從“知識”向“素養”的考查轉變，提供了不少啟示。

二、數學素養測評新啟發

基于國內數學素養研究成果，借鑒PISA2021 數學素養，在迎接21 世紀的挑戰中，嘗試界定本土化的指向小學數學核心素養的測評內涵。

（一）明確小學數學素養測評內容要素

PISA2021 數學素養測評框架面向真實世界情境中的挑戰，從內容維度、過程維度和情境維度編制試題，其中的內容維度包括空間和圖形、變化和關系、不確定性和數據、數量四個部分；過程維度包括表述、應用和詮釋三個環節，核心為推理；情境維度包括個人的、職業的、社會的和科學的四個方面；而需要測量的數學素養表現為21 世紀8 大技能（圖1）。［1］

對照PISA2021 素養測試框架要求，借鑒我國高中新課標學生數學核心素養，制定出適合學生實際的本土化的“小學數學學科核心素養評價框架”。在測評內容維度上，以四大領域內容為主。在命題指向上，主要考查學生“能否從各種具體的現實世界中抽象出數學概念、數學思想、數學方法以及數學結果；能否給出相應的具體實例，包括生活中的例子或數學中的知識”［3］；能否根據知識內在的邏輯關系進行梳理、推理，形成整體理解，讓知識結構化。強調數學建模（問題解決）和批判性思維、系統性思維，自我探索與評價、實踐創新等高階思維能力的評價，以及對情感態度價值觀、自我引導與管理、驅動力以及毅力等非認知因素的評價，并期望以評價來促進小學生在解決問題時，能主動運用數學的不同表征，用不同的推理方法，針對不同的問題靈活選擇合適的數學語言來描述問題，最終獲得解決問題的方法。

（二）界定試題水平等級劃分

在需要測量的數學素養水平劃分上，南京師范大學喻平教授認為，既然數學核心素養產生于知識，那么評價的水平劃分就可以從知識的角度切入，將知識學習分為知識理解、知識遷移和知識創新三種形態。他認為，由知識學習所產生的3 種能力水平即為核心素養的3 種水平——知識理解（水平1）、知識遷移（水平2）和知識創新（水平3）。［4］筆者借鑒喻平教授的知識水平理論，制定出本土化的小學數學命題框架。（表1）

表1 小學數學學科核心素養評價框架

試題能否發揮其應有的作用，發揮多大的作用，離不開科學有效的設計。以下從內容要素和水平層次兩個維度出發，進行試題設計，以考查學生在相應知識水平中所能達到的數學素養水平。

三、命題策略與試題設計

（一）突出建模過程，提升遷移能力

PISA2021 數學素養定義中，把“解決實際問題”作為數學學習的目的，強調學生在使用數學知識與掌握相關數學能力后，能夠回到現實情境，理解現實情境。

【試題1】無障礙設施的建設，體現城市“以人為本”的建設理念。無障礙出入口應設計輪椅坡道，坡道的坡度要符合無障礙設施的設計與要求。坡度指每段坡道的垂直高度與水平長度的比。（圖2）

圖2

（1）一條輪椅坡道的坡度是1:16，水平長度是12.8m，這條輪椅坡道的垂直高度是（ ）m。

（2）建設輪椅坡道有最大垂直高度的規定，坡度、最大垂直高度及水平長度的要求見表2。

表2

例如當坡度是1:20 時，垂直高度不能超過1.2m。

下面是一條坡道的示意圖（圖3），這條坡道是否符合輪椅坡道的建設要求呢？列式計算并說明理由。

圖3

【分析】水平1：知識理解。利用比的知識，建立坡度模型。理解坡道、垂直高度、水平長度的含義。水平2：知識遷移。問題（1）利用模型解決問題。已知水平長度和坡度，求出垂直高度。把現實問題轉化為數學問題，知道數學問題的作用以及價值所在。即能夠選擇恰當的數學模型表達所要解決的數學問題，培養數學抽象能力。水平3：知識創新。問題（2）學生在現實真實情境中，運用數學思維思考分析，發現情境中的數學關系，從而做出準確判斷。考查能否利用數學模型解決實際問題的能力，能否能夠運用數學語言，準確地表達和交流，通過數學模型的結論和思想闡釋科學規律和社會現象。

（二）強化邏輯推理，厘清知識脈絡

推理是數學的根本思維方式，推理能力是學生未來生活和工作必須具備的一種重要的數學素養。PISA2021 數學將“數學推理”放在核心位置。我國數學課程標準也把推理能力的培養作為數學思考中的一項重要內容。

【試題2】光明小學去年參加數學興趣小組的學生有315 人，其中女生人數是男生人數的80%，今年需要再招募一些女生，使得男女生人數比是7：6，那么今年需要招募女生多少人？

【分析】本題是一道稍復雜的有關比和比例的試題，注重考查學生的知識理解水平。根據題目信息，確定出相關聯的知識點有：百分數和分數的互化、比的意義和性質、數值運算。解題思路：由數的互化得到原來男、女生人數比，進而得出去年男女生的人數。根據今年男生人數不變這個關鍵點，推出男生人數和男、女生人數比，求出今年女生人數。最后通過對比，得出前后女生人數的差值，即為今年新招募的女生人數。或者通過總人數的變化得出結論：同樣根據男生人數不變這個關鍵點，推出男生人數占總人數的比率，得出今年總人數。再根據對比前后總人數得出差值，得到變化人數，即為新招募女生人數。分析思維導圖（圖4）。發現解決本題需要利用數值計算，歷經7 步推理，3 個知識點。從已知到未知的邏輯順序去思考，推理方向屬于正向推理。在素養培養上，通過畫線段圖，明確條件和所求問題，并根據得到的相關數據進行分析，培養學生的推理能力、計算能力、幾何直觀等數學素養。

圖4 試題2 的思維導圖

（三）重視“解決問題”，展示思維全過程

PISA2021 框架指出，數學學習的目標是提升解決問題能力。《義務教育數學課程標準（2011 年版）》也明確指出，問題解決的學習目標，既要培養人的敢于探索的創新精神，又要發展人的解決問題的實踐能力。所以，問題解決的試題設計，應為了實現問題解決的目標。在試題設計上，要強調讓學生經歷問題解決的思維全過程。

【試題3】如圖5，一個內直徑是8 厘米的瓶子里，水的高度是7 厘米，把瓶蓋擰緊倒置放平，無水部分是圓柱形，高度18 厘米。這個瓶子的容積是多少？

圖5

【分析】知識理解上，從3 個已知數可知瓶中水的體積以及瓶子倒置后瓶中無水部分的容積。要求瓶子的容積，需知瓶子倒置前無水部分（不規則立體圖形）的容積。如何把需知變可知呢？這就需要知識的遷移，進行推理：為什么要把瓶子倒置呢？瓶子倒置前后什么變了，什么不變？瓶子倒置前后，瓶子容積不變，瓶中水的體積也不變。由此可知，瓶子倒置前無水部分的容積與瓶子倒置后無水部分的體積是相等的。于是，需知就轉化為可知了。

接著回顧分析和解答的過程，厘清解題的關鍵所在，解釋結果的合理性。無論是分析還是解答過程，推理和運算都是數學活動最重要的基本形式。通過反思，尋找合理簡潔的解題方法，積累思維的經驗，明確解決此類問題的關鍵是利用體積不變的特性，把不規則圖形轉化為規則圖形，化歸為模型解決。面對一個變化的過程，主動尋找變化中的不變量，也是解決問題的一條重要經驗，培養學生從頭到尾想問題的習慣。在解決問題過程中，發展學生的推理能力、運算能力、模型思想等數學素養。

（四）注重實踐能力導向，培養綜合素養

【試題4】如圖6，左圖顯示了一輛賽車沿著3 千米的平坦的跑道跑第二圈時的速度變化情況。

圖6

問題：沿著右圖的哪個軌道駕駛，會呈現左圖的車速變化圖？

【分析】本題要根據學生已有的認知經驗，解決現實生活中的問題。但是，對中低程度學生理解能力的引領以及對優生知識創新水平的考查不足。以下對此題進行補充，從知識學習的三種形態入手，形成問題串，并分析所考查的數學核心素養水平。

問題1：從軌道起始點到中間最長的平直部分開始點，距離大約多少？

問題2：跑軌道第二圈時，在哪個位置速度最慢？問題3：請描述2.2km 到2.4km 之間車速的含義。

首先，該題的知識理解部分，學生要看得懂統計圖，速度隨著時間的推移而不斷變化。要明白生活中的常識：跑第二圈時，一開始速度很快，而不是從靜止狀態慢慢提速。彎道上行駛速度會減慢，直道上行駛速度會加快等。根據圖像橫軸表示行駛的距離，縱軸表示行駛的速度的變化，從起始線到軌道里最長且平直部分的開始處，根據圖像可以得出是1.5km 處，汽車速度明顯開始增加，并且行駛路程較長，其大約距離為1.5km。結合圖像得出，約在1.3km 處，汽車速度最低。

其次，知識遷移。會運用速度時間的關系解決問題。分析車速統計圖中路程與時間的數量關系進行推理，根據車速的快慢想象實際賽道是彎道還是直道，從而做出判斷。此時有了問題4，即原題。

第三，知識創新。在解決基本問題之后，能否把得到的結論推廣引申，再提出一些新的問題，并加以解決。所以增加一些考查學生的知識創新能力的問題。

問題5：想象并在統計圖中繪制賽車第一圈的速度變化情況。

問題6：你認為右圖中，哪一個跑道最適合選手比賽？請說明理由。

經過改造，由于所需要的知識呈階梯式推進，因此可以考查知識學習的三種水平層次，并全面測查出學生的數學核心素養：從現實中抽象出數學問題并推廣引申——數學抽象。將速度時間模型用于解決現實問題并能靈活運用模型——數學運算、模型思想滲透。通過觀察圖形，結合生活經驗抽象出數量關系，并能夠應對圖形變化——直觀想象。根據統計圖中的信息，經過對比、篩選，繪制速度變化情況——數據分析。根據圖式作出分析、推理，交流及闡述理由——推理能力。