從受拉桿變形淺析彈性力學(xué)中的最小勢(shì)能原理

吳枝根 李孝寶 孟 增 詹春曉

(合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009)

最小勢(shì)能原理是彈性力學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。很多教材中，公式推導(dǎo)過(guò)程都相當(dāng)嚴(yán)密，例如：文獻(xiàn)[1]在給出總勢(shì)能的一階變分等于0 的情況下，進(jìn)而提出二階變分大于0，可證明總勢(shì)能在實(shí)際存在的一組位移中取得極小值；文獻(xiàn)[2]推導(dǎo)了幾何可能位移場(chǎng)的總勢(shì)能總是大于真實(shí)位移場(chǎng)的總勢(shì)能，用到了應(yīng)變能密度為正定函數(shù)的性質(zhì)；文獻(xiàn)[3]認(rèn)為只要應(yīng)變能函數(shù)是凸函數(shù)，則由凸函數(shù)的性質(zhì)得出一切可能的變形中，真實(shí)變形的總勢(shì)能最小。客觀地說(shuō)，由于問(wèn)題的復(fù)雜性，要想清晰地理解這一原理對(duì)于初學(xué)者還是有一定的難度。本文從軸向受拉桿的變形出發(fā)，簡(jiǎn)單而直觀地揭示最小勢(shì)能原理所蘊(yùn)含的機(jī)理。

1 線彈性桿的變形分析

如圖1(a)所示，彈性桿上端固定，下端自由，桿的長(zhǎng)度為l，橫截面面積為A，彈性模量為E。當(dāng)桿的下端懸掛重量為F的重物時(shí)，下端向下產(chǎn)生位移u(圖1(b))，故彈性桿的彈性勢(shì)能為

圖1 彈性桿及其受重物作用后的變形和虛位移

系統(tǒng)的總勢(shì)能為Ve+Vp。

現(xiàn)假定彈性桿的下端沿x方向有一個(gè)增量，即一個(gè)虛位移或位移變分δu(圖1(c)和圖1(d))，則彈性勢(shì)能也隨之有一個(gè)變分δVe，且

由此可見(jiàn)，總勢(shì)能的變分δ(Ve+Vp) 是位移變分δu的二階無(wú)窮小量，當(dāng)δu →0 時(shí)，δ(Ve+Vp) 的極限等于0，當(dāng)且僅當(dāng)δu=0 時(shí)總勢(shì)能變分取得極小值，并等于0。因?yàn)棣膗= 0 對(duì)應(yīng)于實(shí)際存在的位移，所以在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移使總勢(shì)能取得極小值，即最小勢(shì)能原理。

2 非線彈性桿的變形分析

設(shè)加載過(guò)程中，非線彈性桿下端受到的拉力f與下端的位移uf的關(guān)系為

考慮到彈性范圍內(nèi)外力是關(guān)于位移的增函數(shù)，當(dāng)δu ＞0 時(shí)，有ξ ＞u和f(ξ)-f(u)＞0；當(dāng)δu ＜0時(shí)，有ξ ＜u和f(ξ)-f(u)＜0。因此，式(11) 等號(hào)右邊f(xié)(ξ)-f(u)與δu兩項(xiàng)總保持相同的正負(fù)號(hào)，其乘積必大于0，當(dāng)且僅當(dāng)δu=0 時(shí)其乘積等于零。總勢(shì)能變分δ(Ve+Vp)是位移變分δu的二階無(wú)窮小量，且在位移變分為零時(shí)取得極小值，因此對(duì)非線彈性桿的變形分析同樣有最小勢(shì)能原理。

3 基于線彈性應(yīng)變能的分析

如果考慮彈性受拉桿自身重力，即沿x方向的體力ρg，這時(shí)沿x方向的線應(yīng)變?chǔ)舩是關(guān)于x的函數(shù)。對(duì)于線彈性情況，彈性桿的應(yīng)變能

應(yīng)變能的變分

式中δux表示與桿下端位移變分δu對(duì)應(yīng)的x截面的位移變分。

根據(jù)虛位移原理，即：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體是處于平衡狀態(tài)，那么在虛位移過(guò)程中，外力在虛位移上所做的虛功就等于應(yīng)力在與該虛位移相應(yīng)的虛應(yīng)變上所做的虛功[1]，有

因此，在考慮體力和面力的情況下，彈性桿總勢(shì)能變分是應(yīng)變變分的二階無(wú)窮小量，在應(yīng)變變分為零時(shí)總勢(shì)能取得極小值，即為最小勢(shì)能原理。

4 結(jié)束語(yǔ)

(1)通過(guò)給出彈性桿在軸向受拉情況下的彈性勢(shì)能和外力勢(shì)能以及它們的變分和總勢(shì)能變分的準(zhǔn)確形式，得出：無(wú)論是線性還是非線性，其總勢(shì)能變分都是位移變分或應(yīng)變變分的二階無(wú)窮小量，只有在位移變分或應(yīng)變變分等于零時(shí)總勢(shì)能變分才取得極小值，均應(yīng)驗(yàn)了最小勢(shì)能原理。

(2)計(jì)算外力勢(shì)能時(shí)外力是一個(gè)恒定的量，文中采用物體的重力作為外力，將重力勢(shì)能作為外力勢(shì)能，便于形成外力勢(shì)能的概念，避免產(chǎn)生外力隨物體變形而改變的思維習(xí)慣。

(3)雖然從彈性桿的軸向受力變形解釋了最小勢(shì)能原理，對(duì)于一般情況下的最小勢(shì)能原理具有相同實(shí)質(zhì)，有助于理解最小勢(shì)能原理的真實(shí)含義。