白噪聲激勵下非線性聲學超材料的隨機響應1)

王曉敏 馮進鈐 陳越超

(西安工程大學理學院，西安 710048)

噪聲充斥在各個領(lǐng)域中，帶來了很多負面的影響[1-2]。針對噪聲的控制，傳統(tǒng)的隔聲材料，如鋼板、磚墻、多孔和纖維等材料只具備在中高頻范圍吸附噪聲的能力，加之材料的面密度較大，重量過重，仍有很多不足之處。近年來，人們根據(jù)實際需要設計出的聲學超材料(acoustic metamaterial， AMMs)[3-4]作為一種復合型新型材料，由于制作成本較低，結(jié)構(gòu)簡單，具有良好的低頻噪聲阻隔能力，引起了學者的廣泛關(guān)注。目前對于線性聲學超材料的研究已經(jīng)比較成熟，對于非線性聲學超材料還處于初級階段[5-6]。Zhao 等[4]提出的單穩(wěn)態(tài)聲學超材料通過引入磁場來消除噪聲，實現(xiàn)了深亞波范圍內(nèi)寬帶低頻噪聲的吸收，為噪聲的控制提供了新的方向。

隨機因素和非光滑因素[7]通常會伴隨發(fā)生，噪聲是一種很常見的隨機激勵，會引起系統(tǒng)產(chǎn)生很多復雜的非線性動力學行為[8]。因此，對于隨機振動的響應研究顯得尤為重要[9-10]。近年來，解決概率響應的方法有很多種，隨機平均法[11-13]由于簡單可行，已被廣泛使用。針對非光滑碰撞振動系統(tǒng)[14]的研究，學者們通常使用Zhuravlev–Ivanov 非光滑變換[15]。本文的創(chuàng)新點在于單穩(wěn)態(tài)吸收器系統(tǒng)引入了一種對稱的非光滑變換，即Galerkin–Ivanov 變換[16]分析系統(tǒng)的響應。并且，將力學和聲學領(lǐng)域結(jié)合起來進行研究，完善了聲學超材料理論。單穩(wěn)態(tài)模型從頻域到時域的轉(zhuǎn)化，以及非光滑非線性因素的作用均是富有挑戰(zhàn)性的工作。本課題針對噪聲作用下的非線性單穩(wěn)態(tài)聲學超材料，分析其存在的動力學行為具有重要意義。

首先，通過對單穩(wěn)態(tài)吸收器模型動力學方程的參數(shù)做無量綱化處理后和約束條件構(gòu)成本文的動力學系統(tǒng)。然后，利用非光滑變換得到原系統(tǒng)的近似等效系統(tǒng)。再次，對等效系統(tǒng)做能量包線隨機平均得到平均福克普朗克柯爾莫哥洛夫(Fokker Planck Kolmogorov，F(xiàn)PK)方程，再利用非光滑逆變換得到響應的概率密度函數(shù)(probability density function，PDF)。最后，通過數(shù)值仿真分析系統(tǒng)的隨機響應，驗證解析結(jié)果的正確性。

1 單穩(wěn)態(tài)吸收器的碰撞振動模型

考慮單穩(wěn)態(tài)吸收器的振動模型，如圖1 所示。

圖1 單穩(wěn)態(tài)吸收器

其中參數(shù)r表示吸收器的半徑。該模型是底部封閉的空腔，它主要由腔體中間薄膜上的質(zhì)量塊和同軸兩側(cè)極板上對稱放置的一對外部磁鐵組成，磁鐵會對質(zhì)量塊產(chǎn)生吸引力。該模型在時間域上滿足的動力學方程為

考慮單邊剛性約束的無量綱化方程為

式中，a，b分別表示剛度和阻尼系數(shù)，屬于線性項系數(shù)；c表示非線性系數(shù)。g是與時間相關(guān)的變量，它們分別表示為

f是噪聲幅值，ξ(t) 是標準高斯白噪聲，其均值和方差分別滿足

τ是表示時間的平移，δ(t) 表示狄拉克函數(shù)。

考慮帶有單邊約束非線性單穩(wěn)態(tài)吸收器的動力學系統(tǒng)，其原始方程可表示為

式中，R是碰撞恢復系數(shù)，R的取值大小和碰撞面的材料相關(guān)且R ∈(0，1]。可以發(fā)現(xiàn)，當R ∈(0，1) 時，碰撞后系統(tǒng)會有能量的損失，R越小能量的損失越大；當取臨界值R=1 時，能量不變，系統(tǒng)運動的狀態(tài)會變得不連續(xù)，此時稱作未擾系統(tǒng)。˙x-和˙x+分別表示碰撞前后的速度，當x ＞0，系統(tǒng)處于連續(xù)運動的狀態(tài)，可以視作“無約束的”；當x=0，系統(tǒng)處于碰撞約束的位置，所以式(4) 可以看做連續(xù)微分方程和碰撞項構(gòu)成的混合系統(tǒng)。直接求解這個混合系統(tǒng)的解很難，所以需要構(gòu)造它的近似等效系統(tǒng)。

2 伊萬諾夫非光滑變換

為了應用Galerkin–Ivanov 非光滑變換，以狀態(tài)空間的形式重新構(gòu)造了方程(4)，引入新的變量m和n。令m=x和n= ˙x，得到

3 概率響應

式(9)給出的是Stratonovich 方程，根據(jù)隨機微分方程(stochastic differential equation， SDE) 的知識，可以得到其等價的It?o型SDE 為

W(t) 是維納過程。引入小參數(shù)ε，εf2/2 表示兩種積分變換的Wong–Zakai 修正項。g相對參數(shù)a，b，c的取值量級很小，可看做是系統(tǒng)的微小擾動。當ε= 0 時，未擾系統(tǒng)的總能量函數(shù)(能量包線) 和勢函數(shù)分別為

為使能量函數(shù)可以取正值，所以G(α)＞0。由Khassminskii 定理可知，H是慢變量，位移變量α和速度變量β是快變量。得到總能量H關(guān)于時間導數(shù)的微分方程為

利用式(11)和式(13)結(jié)合It?o公式，當ε →0 時，H可以用Markov 過程來近似

利用式(11)和式(12)的變換，得到位移變量α和速度變量β的聯(lián)合PDF

借助非光滑變換式(6) 和式(7)，經(jīng)過坐標變換可以得到原位移變量m和速度變量n的系統(tǒng)響應的PDF 為

那么，變量m和n的邊緣概率密度p(m) 和p(n)分別為

最后，給出能量函數(shù)H的解析解p(H) 和相應的數(shù)值解?p(H)，可以計算出系統(tǒng)能量曲線擬合的誤差δ(H)，即

4 數(shù)值仿真

將解析解和數(shù)值解繪制在同一圖中，以驗證解析結(jié)果的有效性。另外，進一步對數(shù)據(jù)擬合的誤差δ(H) 做相應的分析。

4.1 響應分析

本節(jié)分成兩個部分，主要討論通過調(diào)節(jié)不同的阻尼系數(shù)b和幅值參數(shù)f，探究對響應PDF 的影響。

4.1.1 系統(tǒng)阻尼變化的響應分析

給出參數(shù)c=0.01，f=0.3，g=0.001，固定幅值f，觀察取b= 0.03，0.05，0.07 時，系統(tǒng)能量H的函數(shù)p(H)、位移m的概率密度p(m)、速度n的概率密度p(n) 以及它們的聯(lián)合函數(shù)p(m，n) 的解析解和數(shù)值解擬合的效果，如圖2 和圖3 所示。其中AS 表示解析結(jié)果，NS 表示數(shù)值結(jié)果。

圖2 不同阻尼系數(shù)下的PDFs

圖3 位移和速度的聯(lián)合PDFs

圖2(a) 給出了H的PDF 曲線。當f固定時，阻尼系數(shù)b是引起系統(tǒng)能量損失的重要因素。b取值越大，H的峰值也越高，能量函數(shù)p(H)接近于0 的速度越快。這符合熟知的物理背景，阻尼越大，能量損耗會更多，衰減的速率也就越快，結(jié)論是一致的。

圖2(b) 表示變量m的PDF 曲線。位移曲線是一條截斷曲線，它的穩(wěn)態(tài)概率密度變化的峰值是在m= 0 處，即碰撞約束的位置。固定f，增大阻尼系數(shù)b，峰值越高，系統(tǒng)的狀態(tài)處于平衡位置的概率越大。而且，通過將解析結(jié)果和Monte Carlo 擬合效果進行比較，發(fā)現(xiàn)靠近峰值附近，數(shù)值解略高于解析解，這是因為碰撞時刻t0是通過二分法來取值的，通過減小步長使得結(jié)果更加精確。

圖2(c) 是速度n的PDF 曲線。從圖中可以看出，它是一條類似于標準高斯分布的光滑曲線，并且關(guān)于中點左右對稱。曲線的峰值出現(xiàn)在n= 0 位置，f不變，增大參數(shù)b，概率密度曲線的拖尾減小，峰值增高，變得更加陡峭。這表明，阻尼越大，系統(tǒng)更趨向于穩(wěn)定在平衡位置。減小參數(shù)b，峰值降低，曲線變得更加平滑。

4.1.2 噪聲幅值變化響應分析

類似地，取系統(tǒng)參數(shù)分別為b= 0.05，c=0.1，g= 0.001，固定參數(shù)b取值，當f= 0.2，0.3， 0.4 時， 獲取不同噪聲幅值下系統(tǒng)對應的p(H)，p(m)，p(n)，p(m，n) 的擬合曲線，如圖4 和圖5 所示。

類似于圖2，圖4(a)～圖4(c) 分別給出總能量H，位移m和速度n的解析和數(shù)值結(jié)果曲線。當阻尼b一定時，隨著幅值f增大，峰值變得越來越低，曲線更加光滑平緩，這表明噪聲的擾動使系統(tǒng)容易偏離平衡狀態(tài)，而且發(fā)現(xiàn)p(n) 峰值接近于p(m)峰值的一半，說明噪聲會使系統(tǒng)向著遠離平衡位置的方向去振動。反之，噪聲幅值越小，峰值會逐漸增高，系統(tǒng)接近0 的概率也就越大。可以看到，噪聲幅值和阻尼變化對系統(tǒng)的影響是恰好相反的。

圖4 不同幅值參數(shù)下的PDFs

圖4 不同幅值參數(shù)下的PDFs (續(xù))

參照圖3，圖5(a)～圖5(c) 給出的三組圖分別表示當f=0.2，0.3，0.4 時，固定b，改變幅值f大小，對比解析解和數(shù)值解，可以看到數(shù)據(jù)擬合的效果很好。

圖5 位移和速度的聯(lián)合概率密度曲線PDFs (續(xù))

4.2 誤差分析

給出能量函數(shù)的誤差曲線來說明使用能量包線隨機平均法分析系統(tǒng)響應的有效性。

圖6(a)和圖6(b)分別給出了不同阻尼系數(shù)和幅值參數(shù)下，能量H的誤差變化示意圖。可以看到，通過均方誤差的數(shù)值模擬，最終誤差的閾值小于0.1。隨著H增加，誤差逐漸減小并逐漸趨于0。伴隨阻尼的增大，誤差趨于0 的速度加快。結(jié)合圖2(a) 以及圖4(a) 曲線擬合的情況，完全驗證了這一點。

圖6 能量的誤差示意圖

5 結(jié)論

本文主要研究在剛性約束條件下的非線性單穩(wěn)態(tài)聲學超材料吸聲器模型的平穩(wěn)響應。通過引入一種對稱的非光滑變換來處理碰撞引起的非光滑位置，給出近似等效系統(tǒng)。然后利用隨機平均法獲得穩(wěn)態(tài)的PDF，通過解析解與數(shù)值解的比較，驗證了隨機平均法的適用性。結(jié)果表明：隨機平均法可以有效地分析系統(tǒng)的隨機響應。隨著噪聲幅值的增大，響應的平穩(wěn)PDF 會變得更加光滑，系統(tǒng)更趨向于穩(wěn)定在平衡位置。正是由于單穩(wěn)態(tài)聲學超材料寬帶低頻吸聲、減振、降噪的優(yōu)點，結(jié)合對其動力學行為的分析，可以給生活、工業(yè)、軍事等各個領(lǐng)域噪聲防控帶來極大的便利。基于單穩(wěn)態(tài)聲學超材料，本文重點給出了隨機響應的研究結(jié)果，后續(xù)將進一步考慮材料的非線性和噪聲特性，探討強非線性和不同噪聲對系統(tǒng)的頻幅、模態(tài)等方面的影響，提高超聲材料的吸音效果。