量級估計在材料力學簡化分析中的作用

李 敏 張雪松 李依倫 陳偉民

*(北京航空航天大學航空科學與工程學院， 北京 100191)

?(成都東軟學院， 成都 611844)

**(巴黎- 薩克雷大學，土壤，結構與材料力學實驗室，法國巴黎 91190)

??(中國科學院力學研究所，北京 100190)

本文中的量級估計泛指具有相同物理意義的物理量或無量綱量之間的比較，并不限定于數學上有嚴格約定的數量級定義與相關問題。

無論在科學研究還是工程設計領域，基于一定的假設進行問題簡化是一種常見手段。作為機械大類的專業基礎課，材料力學的分析方法充分體現了這一特征，其中學生最為熟悉的包括材料連續、均勻、各向同性假設，以及三種基本變形模式中的平面假設。

事實上，絕大多數假設條件只是最終給出的結果，其依據往往是各相關物理量包括無量綱量的比較：如果某些量相比其他量非常小，這些量或者其造成的影響將被忽略，這是假設簡化的立足點。當然也有一些假設本身就是事實，只不過不是根據理論分析而是由實驗現象得出的猜測，例如上面提及的平面假設更大程度上是為了避免引入復雜的數學推導，即便如此，在基本解適用范圍討論中往往也是基于物理量的量級估計。

在材料力學的問題分析中存在大量的量級估計，但是教材中通常只是給出了結論，沒有細節論述，作為教師需要了解相關細節以便輔導學生，或者將其作為研討課的素材。

本文內容來源于教學實踐中對理論公式適用范圍描述的細節，其中大部分歸結于材料力學研究對象三維尺寸的差異或基于小變形條件，注意到這一點對于材料力學教師把握引導方向有一定的參考價值。

1 基本變形模式之間變形的量級估計

拉壓、扭轉與彎曲是絕大部分材料力學教材提及的三種基本變形模式[1-4]，其變形分別為

式(1)～式(3) 分別為一端固定一端自由均勻截面(常見為矩形與圓形，扭轉為圓與圓環截面) 直桿承受軸向載荷F、軸向力矩T與橫向載荷F的自由端軸向位移Δl(拉壓變形)、扭轉角φ(扭轉變形)與撓度w(彎曲變形)，其中桿件長、寬、高分別為l，b，h(圓形半徑為r)，E與G分別為材料彈性模量與剪切模量，A，IP與I分別為桿件截面面積、極慣性矩與(軸) 慣性矩。

式(1)～式(3)中拉壓與彎曲變形的量綱同為長度，而扭轉變形為無量綱的角度，所以首先基于物理意義比較拉壓與彎曲變形的量級。在結構與載荷大小相同的情況下

式中kS與kB分別為桿件拉伸與彎曲剛度。很明顯，對于常見的工程長梁，拉壓變形比彎曲變形至少低2～3 個量級，或者換言之，拉壓剛度比彎曲剛度至少大2～3 個量級。

認識到這個量級差異不僅對于后續能量原理中各部分取舍的講解有益，更重要的是對于學生理解結構設計中梁桿尺寸匹配，特別是傳感器細節設計有幫助。圖1 是目前處于研究熱點的柔性電子器件典型結構細節：為了獲得拉伸方向(x方向) 較大的柔度，彎曲微梁是主承力結構的周期單胞。圖2 是加速度傳感器的微機械梳狀結構：利用垂直于測量方向(x方向) 的微梁(AA與BB) 較大的變形，明顯改變器件的電容用于表征x方向的加速度。

圖1 柔性器件微梁結構示意圖

圖2 加速度傳感器梳狀結構微梁示意圖

除此之外還有大量力傳感器、壓力傳感器、溫度傳感器都是利用微梁結構放大測量靈敏度，這種利用梁長度的方次效應提高靈敏度的模式與利用鏡面偏轉光路放大位移的模式類似，甚至可以聯合使用–– 在微納米材料性能測試領域，納米壓痕儀(包括原子力顯微鏡)利用了微梁變形+激光光路偏轉，極大提高了位移(變形) 測量的靈敏度，目前醫學界的大量檢測設備也都使用了該方式。該領域類似的結構形式非常多，教師可以查找相關圖片作為教學講解實例。

其次，圓軸扭轉導致的最大線位移與橫截面半徑r相關，與撓度w相比較不失一般性，考慮一對作用在端面上的F形成扭力矩，即T=2Fr的情況下

由此可見，一般情況下，扭轉造成的最大線位移相比彎曲撓度也有2 個量級的差異，與拉壓變形量基本相當。

這里考慮一種特殊情況–– 開口薄壁桿件的扭轉：材料力學教材中對開口薄壁桿件扭轉強調開口薄壁結構相比閉口薄壁結構，前者應力大，變形更大。切應力大的原因往往使用圖3 加以說明[1]：在相同扭矩條件下，開口薄壁形成微扭矩的臂長δi相比閉口的臂長hi小很多，所以開口薄壁扭轉切應力遠大于閉口薄壁扭轉切應力。事實上也可以觀察圖3看出開口薄壁變形大的原因：在開口薄壁扭轉桿件的橫截面上，完全類比于彎曲變形，包括應力分布模式，差異在于邊界約束條件。開口薄壁變形的扭轉角公式

圖3 開口薄壁扭轉變形橫截面切應力分布示意圖

其中?h，?δ分別表示與hi，δi同量級量。式(7) 表明兩種位移基本相當，具體取決于桿件長度、橫截面尺寸與壁厚之間的相互關系，由此可見薄壁結構開口將造成較大變形，極大降低扭轉剛度。

2 基本變形模式中變形量的量級估計

除了不同變形模式之間的比較，同一種變形模式中也存在不同方向或者類型的位移(變形) 量，例如在彎曲變形模式中使用撓曲軸為唯一參量表征彎曲變形，其簡化基礎中包含忽略原始軸線方向的位移Δ，對于懸臂梁自由端承受集中力的情況，由撓曲軸總長與其水平軸投影之差[5]

由此可見，在小變形條件下，自由端截面形心的水平位移相比軸線撓度屬于高階小量。

事實上，在彎曲應力章節中最為關鍵的公式適用范圍推廣是：彎曲正應力公式由純彎曲擴展到橫力彎曲，其基礎是忽略了剪切效應對軸向應變的影響。關于該部分分為兩種情況。

(1) 如果分布載荷q= 0 (如圖4(a))，則不同截面翹曲程度一致(aa′=bb′)，截面翹曲并不顯著影響軸向正應變及其相互關系，所以由純彎條件導出的正應力公式可以推廣到橫力彎曲；

(2) 如果分布載荷q/= 0 (如圖4(b))，則不同截面翹曲程度不同(aa′/=bb′)，剪切效應影響軸向應變，所以由純彎條件導出的正應力公式推廣到橫力彎曲不正確，但對于長度大于高度5 倍以上的工程長梁，該公式仍然滿足工程計算精度。

圖4 橫力彎曲截面翹曲影響示意圖

對于第二種情況，教材中均未給出證明或原理性說明，利用三維彈性理論[6-7]或者有限元數值分析進行解釋一定可行，但是從材料力學教學的角度，使用量級估計對于學生理解與掌握更加合適。為了不引入過于復雜的表達式，并考慮到講解彎曲應力部分還未涉及廣義胡克定律，所以此處不涉及由于橫向擠壓應力造成的軸向應變(事實上，擠壓應力最大值為分布載荷q，其與軸向正應力有較大差異，由此引入的偏差也是小量)，僅僅考慮剪切效應的影響。

以中性軸處的切應變估計剪切效應的影響(圖4(b) 中SS線)

其中εqx與εMx分別表示剪切與彎曲引入的軸向正應變，式(10) 中彎矩M采用ql2進行量級估計，其比值展示了二者有兩個量級的差異，同時也為講解長高比為5 的判據提供依據。

剪切效應不僅影響正應力分布，也影響彎曲變形(撓度)，關于該部分的描述在經典教材中都有體現[1]，其量級比同樣等于高長比的平方，這里不再贅述。

3 變形協調分析中的量級估計

在平面應變狀態應變分析部分[1]，圖5(a) 表征僅存在切應變γ(εx=εy= 0) 時，α方位應變與γ的變形協調關系。與另外僅存在εx/= 0 或εy/= 0的狀態不同，此變形協調圖為了便于在原始幾何構型上表征變形量，對變形狀態進行了簡化：僅γ/=0狀態下，原始矩形OABC應該變形為OAB′′C′′(如圖5(b))，而不是OAB′C′。筆者所教班級每年都有不少學生對此提出疑義，為了解決學生疑惑，除展示采用OAB′′C′′產生的不方便外，對由此帶來的偏差進行量級估計是有益的。

觀察圖5(a)中與應變分析相關各量，主要是γdy以及與之同量級值，而采用OAB′′C′′模式造成偏差的量級為Δdy=(1-cosγ)dy(見圖5(b))

圖5 平面應變狀態純剪變形協調示意圖

在小變形條件下γ ＜＜1，由此可知，這種簡化對變形協調中各量造成的偏差屬于高階小量，不影響后續結論的正確性。

類似的情況在變形協調分析中還有不少，包括學生們最熟悉的切線代圓弧，盡管材料力學中切線代圓弧方法被廣泛使用，但并無推導式證明，只有部分章節中例題或習題的數值結果可以驗證結論。事實上，使用量級估計的方式更為簡潔，也便于學生理解，以該方法最早出現的桁架節點位移分析為例(見圖6)

采用切線代圓弧方法，圖6 中A點水平位移為AA2(AC桿的變形量)，如果按照圓弧相交的方法A點水平位移為AA3，二者差異為A2A3，使用量級估計的模式

圖6 桁架節點位移分析變形協調示意圖

在小變形條件下β ＜＜1，由此可見切線代圓弧方法對節點位移求解造成的影響可忽略，垂直方向影響類似，此處不再贅述。

4 小結

基于一定的假設進行問題簡化是一種常見分析方法，提出假設并簡化問題分析難度的基礎在很大程度上是量級估計，即評估不同因素對問題影響的程度。

本文挑選了部分在材料力學教學過程中可以使用量級估計說明簡化假設的實例，多與變形量相對大小有關，最終的結論往往歸結于桿件不同方向尺寸的差異和小變形條件下變形量的大小，從而以另一個角度審視材料力學以桿件作為研究對象的目的：正是基于不同方向幾何尺寸的差異，應力與變形的分析過程得到了極大簡化，使材料力學分析方法有別于彈性力學，成為相對獨立的模式。

量級估計不僅僅用于理論分析，該方式在解決實際工程問題中更為重要：事實上，工程實踐中最能體現科技人員素質之處在于出現了非常規的狀況，例如現有的分析軟件或實驗設備不具備完全對應的功能，此時需要科技人員基于量級估計的方法衡量影響因素的大小進行問題轉化，充分利用現有手段解決非常規問題，這也是培養學生解決復雜系統工程問題能力的重要方面。