實施微探究教學 把問題教學落實于課堂*
——一道課本習題的微探究教學與推廣應用

孫西洋

(江蘇省南京市第二十中學 210036)

1 問題的提出

在蘇教版高中數學必修2第二章“平面解析幾何初步”P117有習題11：

已知圓C:x2+y2=r2,求證：經過圓C上一點M(x0,y0)的切線l方程是x0x+y0y=r2.

習題12：已知圓O:x2+y2=r2,直線l:x0x+y0y=r2，分別根據下列條件，判斷直線l與圓O的位置關系：(1)點M(x0,y0)在圓O上；(2)點M(x0,y0)在圓O外;(3)點M(x0,y0)在O內.

2 習題的微探究教學

“微探究”是根據教學內容，圍繞某個小知識點或某一問題，在教師的組織、引導下，讓學生運用自我探究與合作交流的方式進行學習.在十年的課改過程中，探究教學的理念雖然已經深得人心，探究式教學的方式已經在數學教育界形成了廣泛的共識．但真正做到在課堂教學中的常態化卻舉步為艱，教學的現狀令人擔憂.而微探究教學作為探究教學的一種，為數學課堂探究教學找到了一種有效的實施途徑．下面筆者結合自己的教學實踐，談談經過圓x2+y2=r2上一點M(x0,y0)作圓的切線等相關問題的微探究教學及其應用過程.

師：如何求經過圓C:x2+y2=r2上一點M(x0,y0)所作的圓的切線l的方程？

師：生1對圓的切線的概念掌握得比較好.請同學們交流一下，看看生1的解題過程中是否有需要完善的地方？

生2：如果x0=0，此時直線OM的斜率k′不存在，切線的斜率為0，切線的方程是l:y=y0.如果y0=0，直線OM的斜率為0，切線的斜率不存在，這時切線方程為x=x0；在以上兩種情況下，直線l的方程都滿足x0x+y0y=r2，所以切線的方程是x0x+y0y=r2.

師：生2思維縝密,考慮周到,非常好.這里根據直線的位置情況對直線的斜率情況進行了分類討論，分類討論是同學們高中階段需要面對的重要策略與方法，需要認真領會，靈活運用. 同學們是否有不需要分類討論就能得到切線方程的方法？

師：生3利用向量的垂直關系求出切線的方程，避開了分類談論，很好. 是否還有其他方法？

生4：我想利用勾股定理來證明，不知道是否可行？

師：我們請生4談談他的想法.

生4：設P(x,y)是切線上任意一點，則OP2=OM2+MP2,代入坐標得

化簡得切線的方程是l:x0x+y0y=r2.

師：生4的想法很好，與生3的解法類似，避開了分類討論.那如果圓C的方程為C:(x-m)2+(y-n)2=r2，點M(x0,y0)在圓C上，那么切線l的方程如何求解？切線方程應該是什么？

生5：我想切線的方程應該是(x0-m)(x-m)+(y0-n)(y-n)=r2.

師：請生5與大家分享一下自己的思考過程.

師：生5的想法與做法都很好.請同學們再思考一下，如果點M(x0,y0)在圓C:x2+y2=r2外部，那么直線x0x+y0y=r2與圓C的位置關系如何？如何判定？

師：如果點M(x0,y0)在圓C的內部(x0,y0不同時為零)，直線x0x+y0y=r2與圓C:x2+y2=r2的位置關系怎樣？

師：生7回答得很精當.同學們知道，在考查直線與圓的位置關系時，首選的做法就是利用圓心到直線的距離d與半徑的大小關系來衡量它們的位置關系.當d>r時直線與圓相離；當d=r時直線與圓相切；當d

生8：根據上述分析，我們有如下結論：

當點M在圓C上時，直線l與圓相切，x0x+y0y=r2是經過點M的圓的切線的方程；

當點M在圓C外部時，直線l與圓相交；

當點M在圓C內部時，直線l與圓C相離.

師：如果點M(x0,y0)在C:x2+y2=r2外，直線x0x+y0y=r2除了與圓C相交，還具有什么樣的性質？

生9：既然這條直線與圓相交，而且直線又與點M相關聯，所以直線應該是經過點M作圓的兩條切線，兩切點所在的直線方程.

師：很好！我們把這條直線叫做切點弦所在的直線，那我們應該如何求出切點弦所在的直線的方程呢？

生10：用前面求切線方程相對應的方法求解，運用“設而不求”思想.

師：你愿意將你的思考與同學們分享一下嗎？

生10：經過點M作圓的切線有兩條，設切點分別是A(x1,y1),B(x2,y2)，則經過點A的切線為x1x+y1y=r2，因為切線經過點M,所以x0x1+y0y1=r2；經過點B的切線為x2x+y2y=r2，因為切線經過點M,所以x2x0+y2y0=r2，于是直線x0x+y0y=r2經過點A,B兩點，由于兩點確定一條直線，所以直線AB的方程為x0x+y0y=r2.

師：生10真聰敏，利用“設而不求”思想求出了切點弦所在的直線方程.同學們還有其它思考嗎？

生11:我的想法與生10的解法不同，請老師與同學們看看我的解法是否可行？

師：那我們就一起來欣賞一下學生11的想法，等一會請同學們給出評價.

生11：以OM為直徑的圓的方程是x(x-x0)+y(y-y0)=0,即x2+y2-x0x-y0y=0,

所以圓x2+y2-r2=0與圓x2+y2-x0x-y0y=0相交的交線AB的方程是x0x+y0y=r2，所以x0x+y0y=r2就是切點弦所在的直線AB的方程.

師：生11利用兩個圓C1:x2+y2+d1x+e1y+f1=0,C:x2+y2+d2x+e2y+f2=0相交，得它們的交線所在直線的方程是(d1-d2)x+(e1-e2)y+f1-f2=0正確嗎？哪位同學給予評價？

師：同學們交流一下，看看生11的做法是否正確？ 同學們思考一下，是否還有其它解法？

師：同學12的解法也是利用兩個相交圓的方程相減得到切點弦所在的直線方程，雖然他們尋找的兩個圓不同，但是卻殊途同歸，非常好！同學們還能將這個結論進行推廣嗎？

生13:如果點M(x0,y0)在圓C:(x-m)2+(y-n)2=r2③外，那么方程(x0-m)(x-m)+(y0-n)(y-n)=r2就是經過點M作圓的切線的切點弦所在的直線方程.

師：這個推廣的結論對嗎？誰會證明這個結論？誰能給予解釋？

生14:結論推廣正確，我是這樣來證明的：

以線段MC為直徑的圓的方程是：(x-m)(x-x0)+(y-n)(y-y0)=0，

即(x-m)[(x-m)+(m-x0)]+(y-n)[(y-n)+(n-y0)]=0，

即(x-m)2+(x-m)(m-x0)+(y-n)2+(y-n)(n-y0)=0④，

④-③得兩個圓的公共弦所在的直線的方程是(x0-m)(x-m)+(y0-n)(y-n)=r2.

師：生14很善于思考，回答得非常好.前面生10提出了“設而不求”思想.“設而不求”是我們研究解析幾何問題時經常用的一種重要策略，哪位同學能談一談什么叫“設而不求”思想？

生10：“設而不求”就是在解決數學問題時,先設定一些未知數(未知的點的坐標)，然后把它們當成已知數(已知點),然后根據題設本身各個量之間的制約關系,建立相應的數學模型，但是不需要求出未知數(點的坐標),而根據題目本身的特點,將未知數消去或代換掉,從而使問題的解決變得簡捷、明快.由于在數學尤其是解析幾何的學習中，經常使用，為了便于使用，我把它叫做“設而不求”法.

師：很好，生10是一位有心人，在平時的學習中，不僅注重解決數學問題，同時也關注學習方法，難能可貴！還有其它解法嗎？

生15：可以利用前面求經過圓O:x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓O切線的切點弦類似的各種方法求出切點弦所在的直線方程.

師：生15說得對，前面相應的方法都可以求出直線的方程.請同學思考一下：“經過圓C：x2+y2+dx+ey+f=0外一點M(x0,y0)作圓C的兩條切線，切點弦所在的直線方程是什么？”

如經過點(-1，-3)作圓：x2+y2-4x-6y+12=0的兩條切線的切點弦所在的直線的方程是-x-3y-2(x-1)-3(y-3)+12=0，即3x+6y-23=0.

師：剛才我們知道如果點M(x0,y0)在圓x2+y2=r2內，那么直線x0x+y0y=r2是與圓O相離的直線.其幾何意義是什么？

生17：我們的結論是：經過點M任作圓O的弦,弦的端點處的切線交點的軌跡.

證明如下：設AB是經過點M的任意一條弦，設A(x1,y1),B(x2,y2)，對應交點P(m,n),

則經過A的切線的方程是：x1x+y1y=r2，因為該直線經過點P,所以mx1+ny1=r2.

同理可得mx2+ny2=r2，所以直線mx+ny=r2是經過點A,B的直線的方程，而直線AB經過點M,所以x0m+y0n=r2，所以點P的軌跡方程是x0x+y0y=r2.

師：生17用設而不求思想分析了直線x0x+y0y=r2的幾何意義.

3 教學反思

問題教學指的是以問題貫穿課堂教學全過程，讓學生在設問、釋問的過程中激發學習的欲望和動機，逐漸養成良好的學習習慣，在教學實踐中不斷優化教學方法，提高學生的學習能力.問題教學改變了傳統教學模式和教學方法，充分尊重學生的主體地位，能夠有效激發學生的學習積極性和主動性，提高課堂教學的效果.

問題是思維的源泉，數學作為一門基礎性學科，數學教學最終的目標是通過發現問題、解決問題，完成數學教學的目標和任務，促進學生的全面發展.在新課程理念下，對在數學教學中或者學生數學學習中面臨的一些難點、重點問題，教師帶領學生進行微探究教學，能有效改進高中數學課堂教學模式，優化課堂教學結構，構建高效課堂，促使學生學習能力的提升與學習方法的變革，促進學生自主學習、合作學習.

在數學教學過程中，教師以問題組織課堂，教師的課堂教學，不僅是傳授知識的過程，更重要的是以一種獨特的思維藝術將教學內容與學生的興趣結合起來，為學生創造一個獨立思考的空間.問題教學為高中數學教學創造了一個具體的背景，營造了良好的問題情境，激發學生的問題意識，以增強學生的求知欲望.

數學教學最重要的是數學思維的培養.從本質上說，數學思維是一種趨于理性、抽象性的思維方式，是在長期的數學學習中逐漸形成的.問題是思維發展的強大的動力，教師為學生提供了合適的思考方向，增強了學生的解決問題、思考問題的欲望，在這種循環解決問題的過程中，能夠加深學生對數學知識的理解.

在問題教學過程中，教師還應重視問題設置的方式，努力構建高效課堂.在問題設置時，需注意以下三個方面：

新奇性 教師在問題設置時，應注意問題的獨特性與新穎性，以好奇心來調動學生的學習興趣，讓學生融入到課堂教學中.

層次性 在問題設置時，教師應根據學生的學習情況，由易到難，由簡單到復雜，層層推進，在基礎知識積累到一定程度后，再解決更復雜的問題.

情境性 在課堂教學中，教師應創設與問題相應的情境，通過變式訓練逐步引申以達成最終目標，讓學生在身臨其境中學習，在自主探究與合作交流中實現自主發展，豐富學生想象力，以吸引學生的注意力.

在教學過程中，教師應該認識到，培養學生的問題意識非常重要.學生在學習過程中，隨著知識的積累，求知欲和好奇心會逐漸降低，學習的興趣也不斷減弱.因此，教師應適時采取措施，以支持和引導學生的積極思考，為學生創設必要的問題情境.同時，教師應發揚教學民主，鼓勵學生提出問題，不管問題的難易與否，教師都應該進行耐心解答，以增強學生的自信心.在問題深入方面，教師應多進行引導，讓學生能夠深入思考，使學生從問題表面深入到問題的本質上來.在問題教學過程中，教師應容忍錯誤，多加鼓勵.數學學科自身的抽象性，對于學生來說也有一定的難度，教師如果不適當引導，會導致學生的膽怯心理，不利于數學教學活動的順利開展.因此，教師應不斷鼓勵學生，讓學生把問題提出來，在解決問題過程中提高數學學習的效果.