思直觀之源 展想象之翼

祝敏芝

(浙江省臺州市三門縣教師發展中心 317100)

《辭海》中“直觀是不經過理智推理過程，而由感覺或精神直接體驗的一種認識作用”，“想象是人在頭腦里對已儲存的表象進行加工改造形成新形象的心理過程.”康德認為：一切人類認知都是從直觀開始，從那里進到概念，而以理念結束.直觀想象是一種重要的思維方式，也是數學認知的重要環節，在教學中如何引導學生建構直觀展開想象是值得研究和關注的問題.

1 直觀想象的含義

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出，“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.”[1]徐利治先生認為，“學習一條數學定理及其證明，只有當我能把定理的直觀含義和直觀思路弄明白了，我才認為真正懂了.……在數學中，我寧愿把直觀一詞解釋為借助于經驗、觀察、測試或類比聯想所產生的對事物關系直接的感知與認識.”[2]F.克萊因在《高觀點下的初等數學》中指出：“空間觀念的起源有兩個，一個是對空間觀念的直覺，可以通過量度而直接意識到.另一個是主觀的理想化的直覺，它超越感官觀察的不精確性.”[3]首都師范大學朱一心教授在《數學的可視化直觀》的演講中提出，“數學直觀主要體現為數感、空間觀念與幾何直觀，還有公眾不太知道的一種可操作或可實現的‘關系’與‘程序’，能引起對數學某種知識和理論的聯想、感悟，從而把知識理解成一種我們可以了解的直觀.” 張廣祥、張奠宙指出代數教學中的模式直觀，并將模式直觀分為常識性、遷移性、和諧性、符號性四種[5].馮靜、許亞桃、吳立寶提出“學生幾何思維的直觀、描述、理論三個水平對應著直觀想象素養的三個層次：原型直觀、表象直觀和想象直觀.”[6]

數學直觀表現方式主要有關于事物空間形式的感知、關于事物背景意義的認識以及關于事物邏輯關系或形成發展秩序的感悟.數學想象是借助經驗、觀察、實驗、直覺歸納與類比聯想等思維方式，尋找直觀的空間形式、直觀模型或直觀形態，把握和理解比較抽象、深刻的思維對象.

2 直觀想象的途徑與方式

2.1 基于量度的圖形直觀

如，a-b表示兩個數的差，也可以理解為兩條線段的長度之差，其絕對值也是數軸上兩點之間的距離，這樣兩數差就有了直觀的意義.基于度量的數形轉換與基于坐標的數形結合是量度的兩種最主要的途徑與方式.

圖1

圖2

圖3

圖4

2.2 基于具象的模型直觀

表象是保持在記憶中某一事物的形象，是感知、記憶的結果；具象是根據個體的需要、態度、體驗和思想觀念來綜合取舍表象進而形成的表象結果.

圖5

二是符號化模型.符號化是人類對信息最強有力的壓縮加工方式，通常有數學語言、符號或圖表等等.如，任何6個人中必有3人相互認識或者3人相互不認識.6個人用6個點表示，認識用實線連結，不認識用虛線連結，則從某個人A出發與另外五個人連結的線中至少有三條AB、AC、AD同為虛線或同為實線(不妨設為實線)，如圖5，這四個人的連線中必存在同為實線或同為虛線的三角形.又如歐拉將七橋問題提煉為一筆畫問題，創立了圖論.美國數學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題被轉化為一個圖式，那么思想就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法.”[7]

2.3 基于經驗的關系直觀

還有一種直觀超越圖形、具象等知覺的局限，是一種基于經驗的精神體驗與認識的直觀.F.克萊因認為運算法則是知覺的直接而必然的結果，并舉例說明“交換律的成立就是因為觀察到圖形：：：得到2·3=3·2，當點數適當多，這種直接知覺就不行了，但求助于數學歸納法這一抽象的直觀，能使我們超越感官知覺所達不到的界限.”[2]一般地，相對于陌生熟悉是直觀的，相對于復雜簡潔是直觀的，相對于特殊普遍是直觀的，相對于衍生本原是直觀的.關系直觀是指以相對具體的、熟悉的、普遍的、本原的模式作為背景，引起對數學某種知識和理論的聯想、感悟，從而形成對事物之間邏輯關系的一種比較直接的、形象的推斷與理解.事物之間的邏輯關系可分為某個數學知識內在結構關系的分析還原與幾個數學知識之間相互關系的同構映射.

二是相互關系直觀.相互關系直觀是指把問題的本質結構抽象出來，映射到一個同構或同態的結構上去，形成問題的直觀理解或求解方法.項武義教授說：“我當時提出三個幾何基本定理：一個是平行四邊形定理,一個是勾股定理, 另外一個是相似三角形的定理, 討論這三個定理的證明后, 就用它們來引進向量運算.基于上述三個幾何定理, 強調向量的運算律, 特別是分配律就是上述幾何的基本定理的代數形式.”[8]向量的運算及運算律是空間本質的一種至精至簡的表達.

關系直觀通常是采用形式化的數學語言概括地或近似地表達出來的一種數學結構.

3 直觀想象的教學思考

F.克萊因的《高觀點下的初等數學》在第二卷的序言中寫道，“我想到的是更深入、更廣泛的融合……我始終努力想使算術、代數及分析的抽象討論生動活潑起來，利用圖示和作圖使內容更容易為個人所接受.”[4]在教學上要充分體現代數與幾何的融合，直觀與抽象的融合，感性與理性的融合，讓學生真正弄懂數學知識的直觀含義和直觀思路.

3.1 圖形直觀——直觀與抽象的融合

圖形直觀可以是數與形的轉化，形與形的轉換，也可以是數與形之間多層面的交叉表達.

圖6

例2設函數f(x)=x2+ax+b在[-1,1]上存在零點，且存在t∈[2,3]，使得0≤ta+b≤2，求b的取值范圍.如果用代數方法求解或利用f(x)=x2+ax+b的圖象討論a,b應滿足的關系，問題解決都會很繁難.注意到式子f(x)=x2+ax+b與 0≤ta+b≤2之間的聯系紐帶是直線y=ax+b，如圖7，函數f(x)=x2+ax+b在[-1,1]上存在零點可以看成是直線與曲線有交點；存在t∈[2,3]，使得0≤ta+b≤2即表示直線與矩形區域有交點，這樣借助圖形直觀可以“看”出問題的結果.

圖7

例3(清華大學自主招生試題)已知x,y,z都是正數，且滿足(x+y+z)xyz=4，求(x+y)2+2(y+z)2+3(z+x)2的最小值.

圖8

如圖8，在AB上取點D，使得AD∶DB=1∶2，

則a2=BC2=CD2+DB2-2CD·BD·cos∠CDB，

2b2=2CA2=2CD2+2AD2-4CD·AD·cos∠CDA，

圖形直觀可以啟迪思路，但構圖有難易，分析有繁簡，需要合理的選擇與變通.直觀是抽象的基礎，抽象是直觀的延伸，兩者不可分割，在感知事物的形態與變化過程中相互伴隨，不斷循環推進.

3.2 模型直觀——感性與理性的融合

模型直觀以具體的現實情境、生活經驗或符號圖表等容易理解的具象作為背景，在直觀感知的基礎上形成對事物關系的理性認識.

從三角運算看，

從物理意義看，如圖9，7個力均勻地分布在單位圓上，那么合力必為零，所以在水平方向上分量之和為0.

圖9

從向量運算看，因為正多邊形的外角和等于360°，所以這7個向量正好可以首尾連接(如圖10)，那么向量和為0，所以在水平方向上分量之和為0.不同的學科、數學中的不同分支之間的完美統一，讓數學知識有了可視化的直觀.

圖10

3.3 關系直觀——經驗與理念的融合

關系直觀在于事物間相似的迅速聯想，洞察某種可操作或可實現的關系與程序，讓思維對象呈現出一種能反映事物間的相互關系、運算性質的整體結構，或者在某種限定條件下的一個局部結構.借助這些邏輯關聯的直觀化與系統化，得以將局部的直觀經驗上升到系統的抽象理念，從而豐富認知深度及廣度.

例6(清華大學THUSSAT中學生標準學術能力測試題)已知實數a,b,c滿足a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a3+b3+c3的最小值.

分析1：a+b=1-c，a2+b2=1-c2,

圖11

菲爾茲獎獲得者康奈爾大學教授威廉瑟斯頓說過，“一旦我看到一些我無法理解的東西，我會去反省和思考，用心靈的眼睛去探求，直到某個時候，視角奇跡般的發生了改變，從迷霧和困惑中出現了形狀、秩序與聯系.”[9]

4 結束語

圖12