基于“問題提出”的數學新定義型綜合題教學*

頓繼安 蔡明艷

(1.北京教育學院 100044；2.中國農業大學附中 100191)

1 問題的提出

培養學生“發現與提出問題的能力”是我國當前基礎教育階段的數學課程的重要目標之一，這一目標的實現，需要教師有意識地設計以學生為主體的問題提出活動，并通過有效的指導逐步提高學生提出問題的質量.

“問題提出”活動有兩種主要設計方法(陳婷等，2021)[1]：一是學生基于給定的情境提出數學問題，這些情境可能包括文字、數學表達式或圖表；另一種是學生通過改變(或改編)已有的數學問題提出新的問題.兩種方法使得問題先“從無到有”再“從有到優”，洞悉方法必將有助于學生發現與提出問題能力的提高.

新定義型綜合題的設計體現了“從無到有”和“從有到優”的具體方法.作為“能力立意”的數學命題范式下出現的一種代表性的題目，新定義型綜合題近年來廣泛出現于各地的重要考試中.以北京為例，高考自2004年、中考自2012年起一直以這類題目作為“壓軸題”，其特點是：先定義一個新概念作為情境，然后以新概念的定義為基本結構、逐漸與學段其他主干知識結合設計系列問題，題目的解答需要學生能夠理解新概念，并具有一定的數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學學科能力，以及分析與綜合、自主學習、探究等更為普適性的能力.

新定義型綜合題常借助一個應用新概念定義的直接性問題實現“從無到有”，如辨析某對象是否符合新概念定義的問題，或直接應用新概念定義中的規則計算、推理的問題，從學習的視角看，初次面對一個抽象的新概念的人總會試圖通過具體例子對新概念進行初步理解，這樣的問題是實例問題化的產物，其提出容易而自然.其他的問題都可以看作是對直接性問題變式而得，根據是僅改變問題的表面形式還是改變了問題的數學結構，問題變式的類型可分為水平變式和垂直變式[2]-[3].水平變式通常會使用特殊化、反例等策略[4]，得到的新問題的解答思路和方法與原問題相同，題目的難度不變但有助于學生認識新概念的本質.垂直變式的常用策略有“由定到動”和“由正到反”等[5].“由定到動”屬于美國學者西爾維(Silver,1996)[6]等給出的條件式策略，即將原問題條件中的定值或定圖形改為變量或動圖形，但西爾維所說的條件式有些僅改變原問題條件的表面形式，得到的問題屬于水平變式，而 “由定到動”得到的新問題必定會改變原問題的數學結構、增加題目的難度，該詞更加準確而直接地表達了問題間關系的特點；“由正到反”與西爾維等提出的對稱式策略相同，即將原問題的已知條件與目標互換而得到新問題，本研究采用“由正到反”這一含義更為自明的詞匯.

新定義型綜合題提供了從一個新概念出發、由淺入深地提出問題的方法示范，如果學生能夠認識到這一點，不但有助于其解決這類題目的能力的提升，也有助于其問題提出能力的發展.那么，如何發揮這類問題對于學生的問題提出能力培養的作用？本文以一道中考新定義型綜合題的教學為例進行探討.

2 選題說明

本研究的選題為2018年北京市中考數學試卷中的新定義型綜合題(下稱“閉距離試題”),試題如下：

對于平面直角坐標系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的“閉距離”，記作d(M,N).

已知點A(-2，6)，B(-2，-2)，C(6，-2).

(1)求d(點O，△ABC);

(2)記函數y=kx(-1≤x≤1，k≠0)的圖象為圖形G.若d(G，△ABC)=1，直接寫出k的取值范圍;

(3)⊙T的圓心為T(t，0)，半徑為1.若d(⊙T，△ABC)=1，直接寫出t的取值范圍.

本題滿分8分，當年北京全市81725名有效考生的得分率為0.24，三問的得分率分別為0.46，0.29和0.15[7]，為最近五年以來的最低.根據已有研究，問題提出亦可以作為提高學生問題解決能力的教學策略[8]，也有研究發現通過增強學差生的提問意識可以顯著提高其數學成績[9].新定義型綜合題的解決關鍵在于對新概念的理解，當學生基于新概念提出問題時，需要其分析新概念的構成要素及其關系、建立新概念與已有經驗、知識的聯系，這必將有助于深入理解概念、獲得這樣一道高難度問題的解決思路和方法.

“閉距離試題”中的問題設計方法的代表性，以及“閉距離”這一概念自身的特點為其帶來的問題提出的發展空間，則是本研究選擇此題作為教學研究題材的原因.

2.1 問題的設計特點

問題(1)要求兩個給定圖形的“閉距離”，屬于指向概念理解的直接性問題，問題(2)和(3)都可以看作是由問題(1)綜合利用“由正到反”和“由定到動”法得到的垂直變式問題，是問題(1)通過兩個方面的變化而得到的：定點O變為了動圖形G；問題的條件與目標的關系是相反的，概括地說，問題(1)是“已知兩個圖形求閉距離”，問題(2)和(3)則是“已知兩個圖形的閉距離和一個圖形，求另一個圖形”，由于問題(2)、(3)中的圖形G分別是由變量k決定的動線段和t決定的動圓，相應求圖形G的問題就具體化為求k或t的取值范圍.

2.2 問題的設計的發展空間

“閉距離試題”中沒有問題(1)的水平變式問題，該問題的求解在將點O與△ABC的“閉距離”轉化為求點O到三條線段的“閉距離”的最小值后，由于點O與三條線段關系的屬于比較普遍的情況，因此，可進一步轉化為求點O到三條線段的距離，這未能顯示出“閉距離”與距離的不同.對學習者來說，當初次接觸一個與已知概念有緊密關系的新概念時，辨析“這個概念與我熟悉的概念有何聯系與區別”是重要的，日常教學中往往通過設計水平變式問題實現，如將問題(1)中的點O變為點P(-3，-3)，求d(P，△ABC)，這個問題與問題(1)的解決思路與方法完全相同，但P點到△ABC的三條邊各自的“閉距離”并不都等于點P到三條線段的距離從而有助于學生形成更豐富的概念表象、促進更深刻的理解.

“閉距離”概念自身的特點賦予了其生長出現實問題的空間.與許多考試中新定義的概念幾乎沒有現實意義和發展性、純粹是一個為考試而專門創造的不同的是，“閉距離”的定義基本上與高等數學中兩個圖形間的距離定義相同(出于嚴謹性的需要，中學數學無法定義任意兩個圖形間的距離，如對于一個開線段與圓間的距離需要用到的極限知識而中學數學未學)，也具有現實意義，生活中物體的距離實質上就是兩個物體所抽象出的圖形間的“閉距離”，因此，盡管從考試的角度看，中考新定義型綜合題從未出現過有現實情境的問題，但從教學的角度看，“閉距離”概念為學生提出有現實背景的問題提供了空間，有助于培養學生將抽象的數學概念現實化的意識.

3 基于問題提出能力培養的“閉距離試題”教學實踐

基于問題提出的新定義型綜合題的教學需要整體設計，一些題目直接給出問題后引導學生關注問題的特點，還需要選擇一些題材為學生提供基于新概念提出問題的機會.“閉距離試題”的教學實踐采用了后一種思路.

為了更充分地了解學生以便更好地組織交流，教師課前通過學案布置了問題提出活動：

根據下面給出的“閉距離”的定義，設計1-2個問題，并作出解答.

(定義如上，這里略)

全班共28位同學，設計的56個題目中，有5個屬于“求兩個定圖形的閉距離”的源問題，4個單純使用由正到反策略的垂直變式問題，單純使用由定到動策略設計的垂直變式問題30個，綜合使用由兩種策略設計的垂直變式問題17個，下表列出了各類題目的數量及代表性案例：

問題類型問題數量示例直接性問題5已知M為x軸上一點,坐標為(3,0),N為圓心在原點、半徑為1的圓,求d(M,N).由正到反式4已知一次函數y=x+b與半徑為1的圓O的“閉距離“為1,求b值.由定到動式30一次函數y=kx+2與y軸交于點D,△ABC中,A(0,1),B(-1,0),C(1,0),求d(D,△ABC)的最小值.綜合式17已知點E(a,4)、F(a+2,3),作以O為圓心,半徑為2的圓.當d(EF,圓O)≤3時,求a的取值范圍.

調研表明，學生能夠利用新的概念自主設計問題，將新概念與圓、一次函數等建立聯系.課堂中主要通過三個活動推進：問題提出的展示交流，問題的結構化整理，中考原題的特點分析.下面報告課堂的主要過程.

3.1 問題提出的展示交流

這一活動的主要任務是請一些學生介紹自己設計的問題，引導學生對題目的結構和設計思路進行深入交流.

首先展示的兩個直接性問題，即直接求兩個圖形的“閉距離”的問題：

問題1(生1)：以O為圓心，半徑為2做一個圓.再做一條直線.已知這條直線過(4，0)、(0，4)兩個點.求這條直線與⊙O的閉距離.

圖1

生2還介紹了自己的想法：“為了計算方便而選了一個比較特殊的直線，能保證Rt△OAB中，∠OAB是30°”，并強調“這個題目和生1題目的本質是一樣的，都是已知特殊直線和圓，求它們的閉距離”.

在簡要探討了解題思路后，引導學生關注兩個題目的共性：這兩個求具體圖形的“閉距離”，解法都是直接應用定義進行求解，根據學過的知識，求直線與圓之間的“閉距離”問題可以轉化為點到直線的距離問題.

生3說自己的問題“也是一個與圓和直線有關的問題，不過好像跟剛才兩個題目有點不一樣”：

問題3：(如圖2)已知點E(a，4)、F(a+2，3)，作以O為圓心，半徑為2的圓.當d(EF，圓O)≤3時，求a的取值范圍.

圖2

教師引導學生觀察這個問題與剛才題目的不同之處，并發起了一段關于題目的設計思路的對話.

學生(七嘴八舌):這個是線段，而且讓線段動起來了.

師：生3說一下自己是怎么想到這樣設計題目的呢？

生3：我剛開始編了一個直接用定義的題目，也是求直線到圓的閉距離.然后覺得太簡單了，就想到能不能讓圖形動起來呢？然后就編了2個動態的問題，一個是直線動，一個是圓動.這個題目是直線動的題目.

師：怎么個動法？

生3：大家結合圖形看(圖2)：E、F都在與x軸平行的直線上運動，而且線段EF做平移運動.

師：這個題目編得很漂亮！非常巧妙地通過讓E和F動起來而讓線段EF動起來，而且還不是隨意動，而是讓E和F都有條件地動：線段EF做平移運動.

之后，教師引導學生關注這個明顯變得復雜了的題目的解答思路，大家認識到：這個問題的結構跟前兩個問題是相反的，前兩個是已知圖形求閉距離，這個相當于是已知線段EF和⊙O的閉距離值為3，求線段EF，也就是求a的值.也認識到解決這一反過來的問題需要“化反為正”,關鍵還是要知道怎么求圓到線段的閉距離，然后確定a的值.

問題3除了問題結構變得復雜外，與前兩個問題中要求的直線到圓的“閉距離”就是圓心到直線的距離不同的是，這里要求的線段到圓的“閉距離”的求法并非都是圓心到線段的距離，而是取決于圓心與線段的關系，也就是說求“閉距離”的細節也復雜了，教學中教師有意識地放慢了節奏，讓學生既關注基于新概念的問題的整體的解決思路，又認識到新概念中的細節的重要性.

3.2 問題的結構化整理

三個問題展示后，教師引導學生關注它們的關系.

師：我們再看一下生3的這個題目，它兼具“由定到動”和“由正到反”兩個特點，通過與前面兩位同學的問題比較可以看到：可以從“閉距離”的概念出發提出非常直接的“求兩個圖形的閉距離”問題，還可以利用“由正到反”和“由定到動”兩種基本方法提出問題，也可以將兩種方法結合起來，設計更為綜合、復雜的問題.

圖3

之后，請學生用這一結構對自己課前設計的問題進行分析，學生們發現自己所設計的題目都可以歸到直接問題、由正到反、由定到動、綜合法等類別中.

3.3 以結構的觀點觀察和分析中考原題

中考題目屬于專家精心設計的作品，既有考查學生學習的作用，也體現了對學生的學和教師的教的引導.中考原題也是學生最為關心和感興趣，所以，在教學的最后階段，教師出示2018年的中考原題中的三個問題，請學生對其中問題的特點進行分析并與自己設計的問題比較.

學生很快就看出了其中的奧秘，指出了其中的問題(1)是直接問題、問題(2)和問題(3)都是綜合利用“由正到反”和“由定到動”兩種方法“變”出來的.教師在點評學生“看穿了中考題的設計思路”后，請學生思考“這里的問題(1)設計得怎樣?”課堂安靜了一會兒之后，漸漸學生開始表達自己的發現：

生6：這道題是讓求點到三角形的距離，實際上就是求點到線段的閉距離.剛才我們討論生3的題目時知道點到線段的閉距離的求法特殊，所以我覺得這道題出得好.

生7：我覺得這道題把“閉距離”與平時的距離概念的不同之處考出來了，這一點我沒體現，我出的題是求直線與圓的“閉距離”，就是平時的距離，所以很好求，點到直線的距離也是這樣，也好求，但點到線段的距離就不同了，需要分類討論.

師：非常好！這道題讓大家關注到了“閉距離”這一新概念與自己熟悉的距離概念之間的聯系與區別，對于理解新概念有好處，可以看作是命題者對考生的一個善意提醒，還可以把它看作是對我們學習一個新概念的方法的提示.相信對“閉距離”概念的理解對于解決問題(2)和(3)這樣“由正到反”和“由定到動”的結合起來的問題也是有好處的，實際上，解決這樣問題，需要“化動為定”,其中的關鍵是抓邊界，“化反為正”仍然利用兩個圖形的閉距離的求法建立等量關系或者方程，歸根結底就是要理解“閉距離”概念，知道如何求兩個圖形的閉距離.今天作業大家通過解答這道題體會一下.

單純從解答的角度看，問題(1)要求的點到線段的“閉距離”與點到線段的距離是一樣的.然而，從概念理解的角度，結合具體例子認識新概念與原有類似概念的不同之處是重要的，從問題提出的角度看，從“兩個圖形的‘閉距離’就是平常說的距離嗎？”這樣的疑問出發選擇圖形，使它們的“閉距離”與平常說的距離不同會使得問題變得豐富和有特色.

4 研究反思與啟示

4.1 教學效果

問題提出活動能夠提高不同學生的學習參與度[10]，本研究也證實了這一點.學生的參與度的提高表現在課前自主設計問題、課上的問題特征與解決方法的討論以及問題結構化的全過程中，教學明顯促進了學生對提出問題的方法的認識，也促進了學生整體理解新定義型綜合題的結構和提高解決這類問題的能力.

課后通過開放性問卷調研揭示了學生的具體收獲.80.8%的學生表示自己“了解了新定義型綜合問題的命題思路”，一些學生表示自己認識到了更為豐富的提出問題的方法：“可以將一道新定義綜合題大致分為3個部分：概念引入；概念正用；概念逆用，通常需要動態角度分析，多角度分析等等”、“我自己設計的問題都是求靜態圖象的閉距離問題，通過這節課，我以后可以像課堂上提出問題的同學一樣，化靜為動，那樣就可以使題目更加靈活”.全體學生都表示增強了解決新定義型綜合問題的信心，代表性的體會有：“我學會了站在出題者的角度看問題，不僅視野全面，而且對定義的理解也更加深刻”、“拿到一個完全陌生的定義，不那么害怕了，可以通過問題認真理解這個定義本身”、“我充分認識到理解定義的重要性，同時也要擁有不放棄的精神，抓住題目的共同點，從不變量入手，將復雜問題轉化為簡單題”.

教學效果在延遲性評價中有著更為突出的表現.往屆許多學生往往對作為壓軸題的新定義型綜合題畏難，而參與本研究的學生在隨后的學習中則表現出極高的熱情、信心和能力，更多的學生敢于嘗試解決、經常主動尋求教師對其中的一些難題的指導，一些學生還與教師探討題目的設計特點.

4.2 進一步的研究

目前考試中的數學新定義型綜合題中的新概念，都未交待其現實或數學背景，試題也未見與現實建立聯系的情形，這與學校數學中基礎知識的產生與應用過程不同.基礎知識的學習要考慮學生應用數學知識解決實際問題能力的培養，在問題提出活動中亦要引導學生提出有現實背景的問題，豐富學生“用數學的眼光觀察世界”的培養途徑.

本研究作了初步探索.在后續教學中教師引導學生思考“閉距離”的現實意義并提出有現實背景問題，一組學生提出了一個居民區附近的高鐵修建問題：

如圖4所示，一個居民小區成矩形，四周圍墻分別是東西和南北走向，在小區西側100米有一條南北走向的東府大道，小區南側有一條東西走向的小路，東府大道與小路的交匯處記為O，O點到小區的“閉距離”為200米.根據規劃，有一條高鐵線路經過小區的西南側，高鐵線路為北偏西60°的直線.若高鐵噪音影響的范圍為500米，請問高鐵應修在何處才能保證小區居民不受噪音的困擾?

圖4

兩個劃線處是學生在教師的指導下修改而成的：前者原表述為“小區拐角P到點O的距離為200米”，后者原表述為“高鐵線路與東府大道的交匯處A與O之間的距離至少是多少”，兩處修改都未改變情境和問題的本質，但是“閉距離”一詞的使用使得敘述更為自然流暢、問題更顯真實和有意義，也更清晰地揭示了“閉距離”概念的現實意義.這一問題的提出和完善推動了學生看到一個抽象的數學概念的實際意義并用簡潔準確的數學語言來表達，有益于發展其數學化能力即“在數學世界和現實世界之間轉化的能力”[11].

日常教學中教師都會設計變式題組以促進學生理解和應用新知，這樣的活動也可探索通過組織學生以新知為情境提出問題、解決問題的方式進行，通過持續的實踐和指導學生提出的問題的質量會提高，問題解決的能力也會同步發展.