非線性約束下機械振動系統的低頻動力學特性

朱喜鋒，文智華，王劍鋒，馬 碩

(1. 蘭州交通大學機電工程學院，蘭州 730070；2. 甘肅省軌道交通裝備系統動力學與可靠性重點實驗室，蘭州 730070；3. 包頭鐵道職業技術學院鐵道機車車輛系，內蒙古 包頭 014060)

在實際生產中,由于加工水平的限制,機械裝置間會存在間隙和約束,從而使設備發生碰撞振動,機械振動對于許多工業機械設備、建筑結構及精密儀器是有害的,它會造成設備的結構損傷和失效，進而會影響機械設備的正常使用.張惠等[1]運用胞映射法研究了一類含間隙預緊彈簧系統的動力學特性,并揭示了系統在不同Poincaré截面上吸引子和吸引域的共存性.侍玉青等[2]通過建立具有間隙和剛性約束碰撞系統來研究此類系統在較小激振頻率區間的動力學特性,指出了系統存在的周期碰撞運動的類型.楊一帆等[3]建立了一種具有兩自由度的非線性能量阱的機械振動系統,將泰勒級數的推廣用于逼近二階振子處的非線性力,用數值方法確定了非線性能量阱的阻尼性能.劉曉玲[4]研究了摩擦正交齒輪系統的動力學特性,分析了摩擦正交牽引系統在不同參數和激勵頻率下的分岔特性.朱喜鋒[5]研究了二自由度彈性和剛性碰撞系統的1/p周期運動的轉遷規律,吸引子共存現象以及參數匹配規律.呂小紅[6-7]以小型振動打樁機建立了動力學模型,通過多參數協同仿真的方式研究了系統的周期運動和顫碰運動.李得洋等[8]通過研究單自由度含干摩擦系統,發現了在鞍結分岔和擦邊分岔前后伴隨著系統相軌跡的sliding分岔.丁杰等[9]通過胞映射的方法研究了雙側不同約束時,機械振動系統的周期轉遷規律.李國芳等[10]通過雙參數域的方式研究了一類驅動系統的平均速度分布圖,并得到了系統參數的最佳范圍.李海濤[11]建立考慮重力因素影響的能量采集系統非線性動力學模型,針對動力學方程的非對稱勢能阱開展分析,得到同宿軌道的解析表達形式.通過Melnikov方法獲得發生同宿分岔的閾值,并使用數值方法驗證.

目前,大多數國內外學者對于該類系統都基于線性約束下研究其動力學特性,對于含非線性約束機械振動系統的顫碰運動與轉遷規律的研究比較少.本文首先選擇一個線性彈簧嵌入連桿機構的模型作為碰撞約束，進而建立二自由度含非線性約束的動力學模型,通過建立Poincarè映射并結合胞映射的方法,分析了該系統(p+1)/1和p/1周期運動的轉遷規律以及吸引子共存現象.

1 力學模型

建立一類兩自由度含非線性約束振動系統的動力學模型,如圖1所示,其中M1和M2分別表示兩物塊質量,X1和X2表示兩物塊的位移,兩物塊由剛度為K1、K2的線性彈簧和阻尼系數為C1、C2的線性阻尼連接,作用在兩物塊上的簡諧激振力分別為Pisin(ΩT+τ)(i=1,2),當激振力振幅較大時,會使X1等于B,即物塊M1與外界的非線性約束發生碰撞.如圖2所示,該約束為一個剛度系數為K0的彈簧嵌入一個菱形的連桿機構,對于菱形的四連桿機構,由四根相同的剛性桿ab、bc、cd、da組成,假設本文中連桿機構的質量忽略不計.當質塊M1與約束未發生碰撞時,約束如圖2(a)所示.當質塊M1與約束發生碰撞時,約束產生形變見圖2(b),此時,彈簧K0所受力為：

圖1 二自由度非線性約束動力學模型

圖2 非線性約束圖

Lsinθ0)K0.

(1)

其中:L表示桿長,θ0表示連桿機構的未發生碰撞時的角度,z0表示未碰撞時連桿機構的水平寬度,Ls表示剛度為K0的彈簧的初始長度,根據從連桿機構的幾何和力平衡條件,可得到物塊在接觸時受到的恢復力fa為：

(2)

由于間隙和約束的存在使得原本光滑的系統變為了一個復雜的動力學系統,為了分析的普遍性,引入以下無量綱量.

可得的系統無量綱運動微分方程為：

(3)

其中:

(4)

X(i+1)=f[v,X(i)].

(5)

2 顫碰規律分析

圖3 分岔圖

圖4 擦邊運動圖

圖5 20/4周期運動相圖

圖6 顫碰運動圖

3 遲滯域及吸引子共存研究

在上述參數基準值不變的情況下,分別通過增大和減小激振頻率的方式得到分岔圖,如圖7所示,其中紅色部分表示激振頻率增大時得到的分岔圖,藍色部分表示激振頻率減小時得到的分岔圖.其中SNp/n表示隨著激振頻率增加,p/n周期運動碰撞次數較少一次,產生(p-1)/n周期運動的saddle-node分岔.通過分岔圖可以觀察到,激振頻率減小和激振頻率增大時,發生Grazing分岔和saddle-node分岔的激振頻率不同且saddle-node分岔的頻率比Grazing分岔大,在p/1運動和(p-1)/1運動之間會產生遲滯域,如圖7(b)(c)(d)所示,其中FHp/1表示產生相應周期運動的遲滯域.

圖7 頻率遲滯圖

可知,頻率遲滯域內有多個吸引子共存現象,圖8為不同遲滯域內吸引子共存的相圖,在遲滯域FH1/1內當激振頻率為ω=0.711且對應不同的初始值時,會存在1/1和2/1周期運動見圖8(a).在遲滯域FH2/1內當激振頻率ω=0.492 1,同時對應不同的初始值時,會存在2/1和3/1周期運動見圖8(b).為了進一步研究共存吸引子和吸引域的分布情況及轉遷規律,選取相應的初值初態域,將初態域劃分為400×400個狀態胞,得到吸引域分布圖(見圖9),其中藍色表示2/1周期運動吸引域,黃色表示1/1周期運動吸引域，ω=0.70時初態域內為2/1周期運動,隨著激振頻率的增加,即當ω=0.708、ω=0.711 8、ω=0.720、ω=0.722時,1/1周期運動所占初態域比例逐漸增多,直至ω=0.725完全都為1/1周期運動.

圖8 共存吸引子相圖

圖9 吸引域分布圖

4 結論

本文建立了一類兩自由度含非線性約束的沖擊振動系統動力學模型,研究了其運動狀態和不同周期運動之間的轉遷規律,得到了如下結論：

1) 當系統激振頻率減小時,系統會發生Grazing分岔,導致系統p碰撞次數增加,當碰撞次數足夠大時會產生顫碰運動,而隨著激振頻率的增大,系統會發生saddle-node分岔,使碰撞次數p減少.

2) 激振頻率減小時,部分p/1運動進入擦邊進入(p+1)/1運動會被擦邊、混沌、倍化分岔、逆倍化分岔打斷,出現其他運動.

3) Grazing分岔和saddle-node分岔之間會存在一個頻率遲滯域,由于相互轉遷的不可逆，相鄰周期運動之間會產生周期運動共存區,在1/1和2/1周期運動共存區內,隨著激振頻率增加1/1周期運動吸引域面積逐漸增加，2/1周期運動吸引域面積逐漸減少.