C60點陣結構排列的三維點電荷系中心軸線上電場強度

金麗珍，吳顯麗，王行樂，陳 昊，謝建平

(湖州師范學院 理學院 物理系，浙江 湖州 313000)

電場是電荷及變化磁場周圍空間里存在的一種特殊形態的物質.電場強度是靜電場中重要的概念之一，它從力的角度反映電場性質的物理量,且電場強度的大小只由電場本身的特性決定.一定電荷分布所產生的空間電勢和空間電場的計算一直是電磁學中的一個重要問題.在各種不同的電荷分布結構中，具有高對稱性的點電荷系或電荷均勻分布的連續帶電體情況的研究比較多，例如均勻帶電的任意三角形線框[1]、圓環形線框[2-8]、導體薄圓盤[9-12]、正多邊形線框和正多邊形盤[13-15]的電場荷分布等等，而對于三維點電荷系的靜電場研究鮮見報道.

隨著科學研究和工程技術的發展，靜電場在越來越多的領域得到了應用，對不同電荷體系的靜電場的電場強度計算及空間分布研究顯得越加重要.一般來說，空間可能存在由許多點電荷組成的三維點電荷系.富勒烯分子C60發現以來[16]，它的奇特結構和性質實驗和理論研究引起人們的廣泛關注，研究表明C60分子可以獲得或者失去電子，成為帶電分子籠，使其在具有光誘導電荷轉移特性的新型光電材料開發方面被廣泛應用.

本文通過構造富勒烯C60點陣結構排列的三維空間的點電荷系，從電場強度疊加性原理出發[17]，計算了在兩種情況下中心軸線上電場強度,進而討論了中心軸線上位于球體內外和遠區的電場強度分布情況.C60點陣結構排列三維點電荷系及某條中心軸線構造示意圖如圖1所示.

圖1 C60結構型三維點電荷系及其中心軸線構造示意圖(每個格點均代表一個帶單位正電的點電荷，O點陣中心，O′為側面多邊形中心，P為中心軸線x軸上任意一點)

1 模型與原理

本文研究的60個點電荷嚴格以C60空間點陣結構排布.60個點電荷位于C60的60個格點上，以12個五邊形和20個六邊形連接而成空心籠狀結構[16].假設結構中60個點電荷均帶電q=+1.6×10-19C.

計算選取C60點陣結構中心為原點，中心軸線x軸選取分為兩種情況：1)x軸從中心指向頂部的五邊形中心，即取旋轉對稱軸為x軸；2)x軸從中心指向頂部的六邊形中心，即取旋轉對稱軸為x軸(六邊形的邊長由單雙鍵間隔排列，單雙鍵長短不等，此六邊形不是正六邊形，沒有6重旋轉對稱軸；但此六邊形可以看做是兩個正三角形的組成，有正三角形的旋轉軸對稱)[18].

基于上述中心軸的選取的方法，正對坐標軸的方向看，60個點電荷(格點)分布在不同的層面上，每層格點構成正三角形、正五邊形及其它們的組合(見結果與分析部分).因此若要得到上述兩種情況下中心軸線上任一點的電場強度，只要計算出每層正多邊形頂點處點電荷在中心軸線上的場強，再利用疊加性原理即可得出軸線上任意一處的總場強.

2 結果與分析

2.1 選取x軸從中心指向五邊形中心(軸)

從幾何結構看，C60結構是一個截角的正二十面體[18]，以C60結構中心為坐標原點，選取x軸從中心指向頂部五邊形中心時，根據C60的空間結構及各格點位置坐標[18,19]，60個格點上的點電荷分為8個層面，如圖2所示，從右至左分別標記為1-4層、4′-1′層.而且每個方向上的8層均為正五邊形或者是2個正五邊形的組合.第1、2、2′、1′四層中5個格點均構成正五邊形.第3、4、4′、3′四層中的10個格點為十邊形，此十邊形可以分解為2個更基本單元正五邊形的疊加組合，組合方式如圖3所示. 2個五邊形中心重合，其中一個相對另一個旋轉一定角度.此外，由于C60點陣結構中12個五邊形兩兩相對，有6個等價的軸向方向(5°軸).

圖2 x軸從中心指向五邊形中心，60個格點被分割成8層示意圖(x軸方向不成比例)

圖3 第3、4、4′、3′層中10個格點構成的多邊形由2個正五邊形組合

根據正多形的對稱性，正多邊形頂點上的點電荷在中心軸線上的場強只有x方向的分量Ecosθ[17].通過各格點(點電荷)位置坐標[19]，建立幾何關系，應用點電荷場強公式，每層中五邊形格點處的電荷在x處軸向的電場強度可以表示為

(1)

其中，r為每層面內多邊形所在圓的半徑(每層多邊形中心O′到多邊形頂點的距離)，X為中心軸線上任意一點(P點)到每層多邊形中心(O′)的距離，d是每層多邊形中心(O′)距離原點(球心O)的距離，x為中心軸線上任意一點(P點)距離原點(球心O)的距離.圖2所示的每層格點上的點電荷在中心軸線上產生電場強度計算公式由式(1)給出，參數之間的幾何關系如圖4所示.

第1-4層，x=X+d

第4′-1′層，x=X-d 圖4 多邊形頂點處(格點位置)點電荷在中心軸線上P點產生的場強幾何關系圖

第1～4層

第4′-1′層圖5 各層多邊形格點上的電荷在x軸上產生的電場強度函數曲線圖

再次利用場強的疊加性原理，將各層面上電荷在軸向上產生的場強Ei相加得到總場強E1總=ΣEi.過五邊形中心x軸向總電場強度函數變化關系如圖6所示.由圖可知，電場只有x軸方向分量，球心處場強為零，從球心處開始，沿著x軸正向(見圖6，x>0區域)，電場強度從零開始先逐漸減小，達到一個最小值(負值)后又逐漸開始增大.最小值Emin=-1.04×10-7V/nm，距原點0.24 nm，位于球內.此后，場強又開始逐漸增大，當x=0.32 nm時，電場強度又一次等于零. 此后電場強度為正，繼續隨著x增大而增大，當距原點為0.44 nm時，電場強度值達到最大值，Emax=2.89×10-7V/nm.達到最大值后電場強度又開始逐漸衰減，至無窮遠時電場強度趨向于零.遠場區電場強度與帶60個單位正電荷的點電荷在該區產生的電場強度計算結構結果一致. 根據點電荷空間分布的對稱性，x<0區域電場強度與x>0區域關于原點對稱，如圖6所示. 5°軸上有3處場強為零，均位于球內.

圖6 選取x軸從中心指向五邊形中心時軸線上總場強與距離變化函數曲線圖

2.2 選取x軸從中心指向六邊形中心(3°軸)

當選取x軸從中心指向頂部六邊形中心時，根據在C60的空間結構及各格點位置坐標[18-19]，可將60個格點(點電荷)分為12個層面，12個層面位置關于中心(球心)左右對稱(類似圖2，從右至左分別標記為第1—6，6′—1′層).12個層面上的格點共構成3種多邊形結構，如圖7所示.每1個層面上的格點構成1個正三角形或者2個正三角形的組合,如圖8所示.例如左右兩側(最外側)，即第1層和第1′層均為六邊形，考慮單雙鍵長短差別，此六邊形并非為正六邊形，但是可以看成是2個全等正三角形組合而成，如圖8所示.此外，由于C60點陣結構中20個六邊形兩兩相對，有10個等價的軸向方向(3°軸).

圖7 選取x軸從中心指向六邊形中心，C60型點陣中的60個格點被分割成12層(1-6層，6′-1′層)，共有3種多邊形結構

圖8 由2個正三角形組合成六邊形的2種結構

第1—6層

(b) 第6′—1′層圖9 選取x軸從球心指向六邊形中心，各層多邊形格點上的點電荷在x軸上產生的電場強度函數曲線圖

中心軸線上總電場強度E2總與距離x的函數圖形如圖10所示.由圖可知，電場也只有x軸方向分量，球心處場強為零.從球心開始沿著x軸正向(見圖10，x>0區域)，軸線上任一點的電場強度從0開始增加，在距離原點0.44 nm處到一個最大值，Emax=3.38×10-7V/nm，此后電場強度又開始逐漸減小，到無窮遠時，電場強度趨向零.3°軸時，沿著軸向方向，電場強度始終為正.遠場區電場強度與帶60個單位正電荷的點電荷在該區產生的電場強度計算結果一致. 根據電荷空間分布的對稱性，x<0區域電場強度與x>0區域關于原點對稱，如圖10所示.

圖10 選取x軸從中心指向六邊形中心時軸線上總場強與距離變化函數曲線圖

3 總結

本文根據C60的空間結構及格點位置坐標，構建了以C60點陣排布的空間三維點電荷系.通過建立各點電荷之間的幾何關系，應用點電荷場強公式和場的疊加性原理給出兩種情況下中心軸線上總電場強度，最后利用Origin軟件作圖得到中心軸線上電場強度隨距離變化的函數關系.

研究結果表明，點電荷系采用C60富勒烯空間格點三維結構排布時，過球心中心軸線上一點的電場強度隨中心軸線的選取方向而各異.本文計算了兩種情況下中心軸線上的電場強度，即3°軸和5°軸情況，結果表明：

1) 由于格點位置的對稱性，兩種情況下，中心原點處場強均為0，中心軸線上的電場強度只有軸向分量，并關于中心原點對稱.

2) 當選取5°軸為中心軸線時，軸線上的電場強度從中心原點的零值開始，先降低達到一個最小值(負值)后慢慢增加，最終到一個最大值(正值)后，又隨著距離增加場強又開始逐漸減少，無窮遠處趨向于零.當選取3°軸為中心軸線時，軸線上的電場強度始終大于零，從中心原點的零值開始慢慢增加，在達到一個最大值后逐漸減小，無窮遠處趨向于零.

3) 兩種情況下，中心軸線場強分布不同一定程度上反應了在這兩個方向上點電荷空間分布的不同.但在這兩個方向上電場強度最大值所處的位置距中心的長度相等.遠場區的電場強度與帶60個單位正電荷的點電荷計算結果一致.

最后根據估算：電子直徑d～10-15m，而C60格點間距即平均鍵長[18],D=0.142 nm,D∶d≈105.電荷尺寸遠小于電荷之間的間距，本文采用了“點電荷”模型，未考慮量子力學效應.本文的研究結果有助于大學物理教學中學生更好理解計算電場疊加性原理和提高學生解決實際問題的能力.同時也希望本文的計算模型和計算結果對建立采用C60點陣結構排布的三維點電荷系的空間全電場，或者研究外電場與帶電C60分子相互作用有一定的參考意義.