從解題到研究
——“計算物理”案例式在線教學舉例

陸愛江

(東華大學理學院 應用物理系，上海 201620)

“計算物理”課程長期以來缺乏統一的授課標準，而且針對不同學校的生源和學校的特色、學科發展規劃，需要講授的內容也不盡相同，這一點從查閱到的教材情況可見一斑[1-7]. 但是筆者認為，這門課程開設的主要目的之一，也是普遍達成共識的教學目標之一，就是把學生從之前理論課程的學習過程中較為單一的解題、計算訓練逐漸引導到對物理問題的研究討論中來，通過系統的訓練初步掌握計算物理的一些典型方法. 而這門課的成功開設，對學生的邏輯思維能力、數值分析能力都頗有裨益，在大學生學術競賽(CUPT)等賽事中也非常實用.

隨著在線教育的不斷推廣，“計算物理”課程因其特殊性，完全適應在線教育，老師只要在線提出問題，讓同學們針對問題展開討論和調研研究，就可以很好地開展教學活動. 同時，經過三輪的授課摸索，筆者發現該課程非常適合進行案例式授課. 在數值計算方法和算法的內容講授完成之后，需要鍛煉同學們思考、解決一些較為實際的問題. 這些問題不要過于高深、抽象，而是要貼近生活，讓大家覺得有趣，同時又值得挖掘. 所以本學期筆者就嘗試了案例式在線教學，在這里舉一個運動學的例子加以說明.

首先通過在線展示一些圖片或者播放視頻片段介紹公路自行車運動，然后提出開放性問題：研究自行車運動員的速度和時間的關系，接下來的工作分為四個階段進行.

1 學習調研查證，找到動力學條件

同學們可能會覺得不可思議，這里沒有任何數據或其他量化條件，好像無從下手. 那么可以給出一些條件，比如出發時運動員速率為4 m/s，運動員體重70 kg[7]. 那么是不是有了這些條件就可以了呢？常識告訴我們，運動員會在一定時間段內加速，達到一個較高的速度來完成比賽，那么加速度是多大呢？

讓學生在線做出討論——是什么決定自行車運動員的速度變化呢？以下是課堂的部分記錄：學生A說是運動員蹬踏，驅動自行車前進，所以這里應該考慮運動員作用在自行車上的力，而這個力就是產生加速度的原因；學生B說自行車前進是因為地面的摩擦力，這和我們走路是一個原理；學生C說是因為運動員蹬踏，讓輪軸轉動，輪胎有向后運動的趨勢，摩擦力向前提供動力……大家運用了學習“力學”時的知識，最終達成了一致：是運動員的行為導致了地面的摩擦力，而對于運動員和自行車這個整體而言，摩擦力就是合外力，是產生加速度的原因. 這一過程讓同學們回顧了之前學習的力學知識，并積極做出思辨和表達.

接下來，發動學生在線調研. 在運動過程中應該如何對運動員運動素質/能力進行評價？通過網絡搜索或查閱體育類文獻學生們發現，運動員的輸出功率是運動員運動能力的重要指標，好的運動員能夠具有穩定、高效的輸出功率. 從資料中找到，一個國際比賽運動員的輸出功率可以達到400 W[7]. 而這一條件將成為量化分析的一個依據.

2 運用基礎知識列方程，數值計算得結果

(1)

(2)

時間步長取為1 s，即可得到數值解v(t).

請同學們把數值解和解析解作圖比較. 學生在線分享的結果如圖1所示，圓點為解析解，三角點為數值解，二者吻合很好. 此時老師指出：這一結果說明差分-歐拉方法數值求解完全適用于此類問題.

圖1 根據式(1)解析求解(圓點標記)和根據式(2)數值求解(三角點標記)的速率-時間曲線

3 啟發思考，在線討論模型的合理性

此時老師提問：這個結果合理么？給出在線討論時間. 很多學生發現，隨著時間的推移，這里的速率單調增，到50 s時速率接近25 m/s. 而大家調研到環法公路賽運動員的最快時速為40～50 km/h，即11～14 m/s. 圖1中的速率顯然大大超過了實際的數據，而且還在隨時間遞增，顯然是不合理的.

老師接著提問：那么造成這個不合理的原因何在呢？一定是建立的模型考慮不夠全面，比如在受力分析中是否存在遺漏？同學們的回答多種多樣. 同學A說：應該有一個阻力，只有起到阻礙的作用才會抑制圖1中速率曲線的持續上揚. 同學B說：沒有考慮摩擦力吧！同學C說：在空氣中運動的物體必然受到空氣阻力的影響，所以會不會是因為沒有考慮空氣阻力的原因呢？

老師第三次提出問題：應該考慮摩擦力還是空氣阻力呢？同學們紛紛上網搜索，發現車輪滾動摩擦力很小，而空氣阻力是公認的重要因素，甚至在阻力影響中占到85%(網絡數據).

因為在線授課大都依托平臺，在線討論方便及時，這樣既增加了網課的互動性，又有效利用了網絡搜索的優勢，學生參與度很高.

4 修正模型進行計算

(3)

數值求解留給學生完成，并在線分享. 之后教師給出解題參考：求解方程(3). 借助數值計算的方法. 用差分方法得到遞推關系

(4)

計算中有效橫截面積取為0.33 m2，空氣密度取為1，P由之前條件已知為400 W，系數C暫時取為1. 時間步長仍取為1 s，數值求解得到圖2中實線. 作為比較，把未考慮空氣阻力的結果也呈現在圖2中(虛線). 可以很清晰地看到，考慮了空氣阻力后，運動員的速率不再快速上升了，而是收斂于13.4 m/s的速率并保持穩定. 對這一結果大部分同學們都表示認可，因為這和實際比賽的情況接近，最終的速率和報道中的選手車速吻合度非常好.

圖2 未考慮空氣阻力(虛線)和考慮空氣阻力(實線)時速率-時間曲線

5 基于實驗數據，調整計算參數

謹慎起見，目前這個結果比較適用于短程賽，也就是運動員體力沒有明顯下降的情況. 此時老師給出文獻調研的結果——我國男子1 km自行車賽的數據[8]，所列數據都是運動員完成比賽所花的時間.

同學們計算出結果約為80 s，稍大于文獻中的運動員成績[8]. 于是有同學提出可能需要調整參數來改進計算結果，比如中國運動員體重普遍較輕，橫截面積略小，等等因素.

老師提出：分組進行研究，通過控制因素法對各參數影響進行研究. 第一組，計算運動員體重變化的影響；第二組，計算運動員橫截面積的影響；第三組，計算阻力系數的影響；第四組，計算輸出功率的影響.

同學們的研究結果匯總展示如圖3. 圖3(a)是比較運動員體重為65 kg、70 kg、75 kg時(A=0.33 m2,C=1.0,P=400 W)的速率曲線. 可以看出，運動員的體重越大，穩定速率越小，而體重介于65 kg～70 kg速率的變化趨勢幾乎沒有差別.

圖3(b)比較了橫截面積為0.30 m2、0.33 m2、0.36 m2的結果(m=70 kg,C=1.0,P=400 W). 可以看出，橫截面積越小，穩定速率越大，所以在自行車設計、騎行姿勢等方面都可以對運動員成績加以提高.

圖3(c)比較了阻力系數為0.8、1.0、和1.2的結果(m=70 kg,A=0.33 m2,P=400 W). 可以看出，C值越大穩定速率越小，而且這一系數比較敏感，會顯著影響成績. 而C過小，速率上升很快，偏離實際情況.

圖3(d)比較了運動員輸出功率為350 W、400 W和450 W的結果(m=70 kg,A=0.33 m2,C=1). 可以看出，運動員的體能(輸出功率)對其成績起決定性的作用. 輸出功率大，其加速快，速率大.

圖3 比較觀察不同參數對模型的影響

通過對上述結果進行系統研究，最終調整運動員體重為65 kg,橫截面積0.30 m2，輸出功率500 W，阻力系數1.0，1 km騎行時間72 s，與文獻吻合.

采用上述模型，又計算了男子4 km追逐賽成績. 同學們通過計算預測的騎行時間為273 s，文獻給出的國際最好水平是267±4 s[9]，所以該模型基本滿足計算精度要求.

6 適當提高，讓學生體會鉆研的樂趣

至此題目似乎已經完成，但老師可以再給出一篇文獻，針對環青海湖國際公路賽的結果[10]提出新的問題：研究人員發現，在不同階段速率有規則起伏，也就是說，在道路狀況不同的情況下運動員的騎行速度會受到明顯影響. 而且因為此類賽事騎行距離長，平均速率一般只能在11～12 m/s. 所以這個模型還需要修改才能用于研究該類型比賽，或者說還有一些因素可以加進去以適應問題的多樣性.

同學們再次進行了熱烈的討論，結論有幾個比較有代表性：

1) 有明顯的上下坡時還應考慮重力加速度的分量，所以力學方程應改寫為

(5)

2) 輸出功率應該不是一個常量，要根據自行車的損耗、運動員體能的下降寫成一個時間的函數，即

(6)

3) 場地條件的不同帶來輪胎與地面的摩擦不同.

(7)

4) 空氣密度隨海拔、氣候情況發生變化[11].

(8)

隨著方程的復雜度逐漸提高，解析求解顯然無法完成，所以數值求解的重要性不言而喻.

經過這樣一個案例的分析解決，同學們通過查閱文獻、編程計算、作圖、分析歸納等，初步體驗了如何將物理問題深入化，對于“計算物理”內容的掌握具有積極的作用. 而在線教育方便同學們做出討論和查找資料. 趁此機會，老師可以教會學生對電子資源，如知網等平臺的搜索使用. 而為了方便討論，同學們也體會到用圖表而不是羅列數據來說明問題，無形中也強化了大家作圖的技巧. 如果在課程中反復地訓練和強化這些技能，無疑對學生們分析問題、解決問題的能力會有所提高. 所以筆者推薦在“計算物理”類專業課程的在線授課中，開展案例式教學的探索.