再談“流浪地球”
——讓地球脫離太陽系最少需要做多大的功?

于鳳軍,田俊龍,湯振杰,鞠 林

(安陽師范學院 物理與電氣工程學院，河南 安陽 455000)

2019年春節期間, 國產科幻大片《流浪地球》在全國上映, 它設想在2075年, 太陽即將毀滅, 人類為謀求生存, 帶著地球奔向距太陽系最近的一顆恒星附近“安家”. 央視《焦點訪談》評論:“《流浪地球》的科幻熱，還帶動了科學熱”. 借助該影片在國內外青少年中的巨大影響,文獻[1]進行了教學討論：從其中的設想出發, 針對設想的第一步——讓地球停止轉動, 計算為實現它最少需要做多大的功, 并從能源角度討論讓地球停轉的可行性問題. 這引起了學生濃厚的探討興趣. 該影片設想的第二步是, 建設10000個地球行星發動機, 這些發動機朝恒星目標方向的反方向噴射物質, 利用火箭反沖原理[2]讓地球朝目標運動(見圖1). 要實現朝目標方向的運動, 地球必須先擺脫太陽引力束縛. 本文假定第一步可以實現, 計算在地球質量能夠滿足生命存在需要的條件下, 讓地球剛好能擺脫太陽束縛, 最少需要做多大的功, 并從能源角度討論其可能性.

圖1

1 限定條件、近似說明和概念準備

1.1 維持生命存在所需要的地球最小質量

先說明為什么本文討論的前提條件是地球質量能夠滿足生命存在的需要. 第一，人們經過長期觀察發現，太陽系中，質量較大的行星上有大氣，質量較小的行星或衛星上無大氣，如月球，在無大氣的天體上不能存在生命. 那么，在質量多大的行星上才有可能存在大氣呢？對于這個問題，文獻[3]、[4]用定性和半定量的方法進行過研究, 給出一個結論：地球維持生命存在所需要的質量必須滿足：m>3.05×1023kg. 第二，帶著地球去“流浪”的目的，是為了生命生存. 然而，為了逃離太陽系，必須拋射物質，這將導致地球質量必然減少.根據上述結論，地球質量不能太小, 太小不能滿足生命存在的需要. 基于以上兩點考慮，有了上述前提條件. 根據上述不等式可知，維持生命生存所需要的地球最小質量值為m1=3.05×1023kg. 它與目前地球質量m0=5.98×1024kg之比為

(1)

1.2 近似說明

“地球流浪”伴隨著復雜的物理過程，有多種因素影響計算的結果. 從本文后邊的推導結果將會看到，行星發動機做的功與地球的末質量與初質量之比有關，做的最小功與式(1)有關. 而式(1)中m1是由文獻[3]、[4]用定性和半定量的物理方法估算得到的，一般只能在數量級上與實際一致，故本文的計算結果也屬于估算結果. 因此，沒有必要考慮每一種因素，當某種因素對結果的影響較小時，就把它忽略掉. 下面作具體說明.

如圖2，太陽和地球都看作質點，分別由S和E表示，rse表示地球軌道半徑. 我們設想的地球逃離方案是，讓行星發動機使地球在目前的軌道位置，沿運動方向、即軌道的切線方向進行加速，經過不長的時間Δt，使其從目前的軌道速度v0達到脫離太陽系的最低速度——逃逸速度v2(圖中Δv=v2-v0)，之后關閉發動機，憑借慣性運動到達距離太陽無限遠的地方. 當然這不是唯一的方案. 本方案的出發點：一是沿軌道切向加速可以節約發動機能量，原因是這可以最大限度地利用地球原有的速度或動能(這與沿赤道向東發射衛星可節省能量的理由一樣)；二是能用低年級大學生知道的普通物理力學[2]知識、和較簡單的方法處理問題. 這種方案伴隨著兩個因素需要權衡和作近似處理. 一是慣性力，二是太陽引力.

圖2

當地球加速時，在地球參考系中，地球表面上的各種物質如人、物品、空氣、海洋等都會受到慣性力的作用，在前方表面上的物體會超重，后方表面上的物體會失重.如果地球在太陽參考系中的切向加速度aτ超過重力加速度g，則慣性力大于地球引力，后方表面上的上述物質會離開地球飛向太空，前方表面上的人類會感到非常不適. 因此我們假定發動機總功率可控，可以使aτ足夠小，小到它對包括空氣在內的生活環境的影響可以被人們接受. 但aτ也不能太小，太小則需要加速的時間太長，太長會導致地球脫離原來的軌道太遠，以致由原來軌道確定的逃逸速度不能適用，這是因為逃逸速度與rse有關(詳見1.3節的有關公式). 作者認為，如果超重或失重部分為原重的3%，對人、空氣等都不會有太大的影響，故取aτ≈3%·g=0.294 m/s2，它約為民航客機起飛加速度的1/3. 經計算知，地球從這個aτ開始運動，達到逃逸速度時，產生的切向位移相對于太陽的張角Δφ<0.6° (見圖2)，rse的變化遠小于軌道半徑，故原來確定的逃逸速度變化不大.

當地球加速時，地球不僅受反沖推力，還受太陽引力. 反沖推力正比于切向加速度aτ，太陽引力正比于軌道法向加速度an. 經計算知，an=0.0059 m/s2，an/aτ=2%，故太陽引力遠小于反沖推力，可忽略太陽引力的作用.

地球在加速時需要拋射物質, 其運動與火箭一樣，屬變質量物體的運動, 以下簡稱“地球火箭”. 火箭運動的處理方法[2]是，取物體和噴射的物質dm為研究系統，如果不受外力，則系統動量守恒, 文獻[2]由此可以導出“火箭運動的微分方程” (見1.4小節式(5)). 在工程問題中，絕對不受外力的系統是沒有的，比如重力不可回避. 通常，在工程問題中，當內力遠大于外力時，就認為系統的動量守恒. 對于本文研究的“地球火箭”，反沖推力是地球與拋射物質dm間的相互作用力，屬于內力，太陽引力是外力，根據上段的討論，反沖推力遠大于太陽引力，故可以忽略太陽引力、近似認為動量守恒，從而可以使用火箭運動的微分方程.

在使用動量守恒定律時還有一個規則：當外力在某方向的投影為0時，則在該方向的動量守恒，如光滑水平面上的兩個小車碰撞問題，在水平方向動量守恒. 在圖2中，“地球火箭”在加速階段、即拋射物質階段對應的Δφ<0.6°，這意味著太陽引力方向與“地球火箭”的運動方向幾乎垂直，即在運動方向的投影幾乎為0 . 因此，即使太陽引力不能忽略，在軌道的切線方向，由地球與拋射物質dm組成的系統的動量也幾乎守恒. 再加上太陽引力相對于內力很小，應用動量守恒和火箭運動的微分方程引起的誤差幾乎可以不計.

順便說明，基于上邊二段給出的同樣理由，可以得出：“地球火箭”在加速階段，太陽引力對由地球與拋射物質dm組成的系統做的功也可忽略不計.

行星發動機拋射的物質要經過大氣層，將受到空氣阻力，如同文獻[1]一樣，忽略它的作用. 此外，地球逃離太陽系是以質量減少為代價的，這對山水、土壤、海洋等必然造成影響. 本文主要考慮力學范圍內的問題，不考慮除保留大氣以外的其它環境科學問題，也不考慮發射物質的開采、運輸等所有工程技術方面的難度問題和能耗問題。

1.3 逃逸速度

由于存在引力,某物體欲脫離某星球, 物體相對于星球的速度有一最小值, 這個最小速度叫逃逸速度. 本文涉及的逃逸速度有二種, 第一種與地球脫離太陽對應, 第二種與物體脫離地球對應.

(2)

Δv≥Δvm=v2-v0=12337 m/s

(3)

需要強調當地球速度達到v2時, 它剛能脫離太陽引力束縛, 還不能向目標恒星運動.

(4)

總而言之, 欲使地球擺脫太陽引力, 須先使被拋物質擺脫地球引力, 可見逃逸速度在本問題中的重要性.

1.4 有效反沖噴射速度

火箭的運動原理是利用其尾部噴射物質的反沖作用推動火箭向前運動, 被噴射物質相對于火箭的速度vr叫做噴射速度. 這是變質量物體的運動, 根據動量守恒可以推出火箭的運動微分方程為[2]

dv=-vrdm/m

(5)

其中m是t時刻火箭的質量, dv、dm分別是dt時間內火箭的速度增量和質量增量,v是火箭在某慣性系中的速度.

行星發動機使地球運動的原理與火箭相同, 都是變質量物體的運動, 我們把“流浪”的地球看作一個巨大的火箭. 然而, 地球火箭與現有火箭有一點很大的不同: 在無阻尼情況下, 由式(5)可知, 現有火箭只要vr≠0,它就可持續加速運動. 而地球火箭卻不一定. 關于這一點, 上邊介紹地球的逃逸速度時曾指出,vr

選擇太陽參考系. 鑒于上述分析, 對于地球火箭, 應該把方程 (5)中的噴射速度vr換成有效反沖噴射速度vr∞，得其運動微分方程：

(6)

對上式兩邊積分, 可得地球火箭的速度增量：

(7)

其中m2是地球運動速度為v2時的質量. 根據式(3)可知, Δv=Δvm=12337 m/s時地球火箭剛好能擺脫太陽引力, 故由式(7)得

(8)

由上式看出, Δvm一定時，地球末質量與初質量之比m2/m0越小, 有效反沖噴射速度vr∞越小, 但該比值的最小值由式(1)決定:m2/m0=m1/m0=1/19.6, 由此計算出vr∞的最小值為4146 m/s, 這是對有效反沖噴射速度的限定條件.

1.5 目前人類可預期的地球上最大的可利用能量

目前人類可預期的地球上最大的可利用能量是海水中氘核的聚變能, 該能量數值由文獻[1]給出

ED=1.68×1031J

(9)

2 地球剛好能擺脫太陽引力需要做的功

先考慮t時刻附近、dt時間內地球火箭噴射質量為|dm|的質元所需要的行星發動機做的功. 取此時質量為m的地球和質元|dm|為研究系統. 在下面的討論中，如1.2節指出的那樣，太陽引力對系統做的功忽略不計，并忽略其它天體的作用. 行星發動機包含在地球m之內, 故它做的功是內力做功. 內力總是成對出現的, 做功與參考系無關. 為方便起見, 取系統質心參考系. 在質心系中, |dm|被拋出發動機之前, |dm|和m合為一體, 速度、動量和動能都是0, 設|dm|拋出后在發動機出口處的速度為V2, 而此時m的速度為V1(見圖3) ,由動量守恒得

mV1+|dm|V2=0

(10)

圖3

|dm|被拋出前后系統的動能增量

(11)

|dm|相對于地球的速度為vr=V2-V1, 將此式與式(10)聯立求解，得到V1、V2后，代入式(11)化簡, 同時考慮|dm|→0, 得

(12)

由于太陽和其他天體的引力做功可以忽略, 故由質點系的動能定理[2]可知, 系統動能的增量等于內力所做的功. 本問題中的內力包括行星發動機提供的推力、以及|dm|與m之間的引力.從|dm|在發動機內開始加速處到拋出在發動機出口處的這段位移中, 推力遠大于內部引力, 內部引力做功可以忽略不計, 故系統動能的增量dEk等于行星發動機所做的元功dA. 考慮到上式中的vr由式(4)決定, 可得

(13)

對上式積分, 同時考慮到R=R0(m/m0)1/3和式(8), 可得行星發動機所做的總功

(14)

將m0=5.986×1024Kg,R0=6371000 m,G=6.672×10-11Jm/(kg)2, Δvm=12337 m/s代入上式, 再以m2/m0為橫軸,A為縱軸畫出A隨m2/m0變化的曲線, 見圖4. 可以看m2/m0越小,A越小.但m2/m0最小值由式(1)決定：m2/m0=m1/m0=1/19.6,由此計算A的最小值

Am=0.49×1032+2.23×1032=

2.72×1032(J)

(15)

圖4

這就是在地球質量能夠滿足生命存在需要的條件下, 讓地球剛好能擺脫太陽束縛, 行星發動機最少需要做的功.

3 討論

1) 由式(9)和式(15)可知, 目前人類可預期的地球上最大的可利用能量僅為1.68×1031J, 即使它100%可以轉化為機械功仍比Am小1個數量級, 何況能量轉換效率小于100%. 所以, 就目前已探明的能源狀況, 人類讓地球脫離太陽系是不可能的——如同悟空逃不出如來手掌, 更談不上帶著地球“流浪”到其它恒星附近“安家”.

2) 從式(14)、式(15)可以看出, 第一項含有地球的速度增量Δvm，表明此項對應讓地球加速需要做的功；第二項含有引力常數和地球質量，表明它是因地球引力存在而需要做的功，其大小為2.23×1032J, 占總功的82%.因此對于本文研究的問題，“地球火箭”所耗費能量的絕大部分用于被拋物質擺脫地球的引力，這是地球火箭的特別之處.

4 結語

本文是文獻[1]的姊妹篇, 從科普作品《流浪地球》中讓地球“流浪”的話題出發, 結合其中涉及到的力學概念、定律、定理進行教學討論. 在太陽參考系中研究“地球火箭”這樣一個特殊的變質量物體的運動, 特別是引入有效反沖噴射速度的概念，這是本文的主要創新點;在質心系應用動量守恒定律和動能定理, 導出行星發動機噴射質元|dm|時所做的元功, 積分計算總功,并指出“地球火箭”在能耗方面的特殊性.最后從能源角度分析得出結論: 就目前已探明的能源狀況, 人類讓地球脫離太陽系是不可能的. 本文和文獻[1]在處理問題時, 抓住學生感興趣的話題，應用了多個力學定律、定理、概念以及其它物理學知識, 不僅能拓展學生的想象空間，也是培養學生運用多種物理知識綜合分析、解決問題能力的教學案例.