利用雙光柵衍射測量微諧振動的研究

肖國宏，鐘錫華 ,劉 萍

(1. 西安交通大學 理學院，陜西 西安 710049；2. 北京大學 物理學院，北京 100871)

光柵是一種廣泛應用的光學器件。由兩個相距一定距離的光柵所構成的雙光柵器件則拓展了光柵的應用領域[1]. 2108年諾貝爾物理學獎授予的激光脈沖放大技術，先后在實驗中使用了兩對雙光柵，先后起到壓縮譜寬和擴展譜寬的作用，從而為超快超強激光提供了技術支持[2].

本文以基元光柵即余弦光柵為研究對象，運用波前相因子分析方法，給出了具有一定距離的雙余弦光柵衍射光斑的強度公式，從中可以看出衍射場之間的干涉效應，乃是兩列或三列衍射平面波之間的相干疊加結果. 進而，當兩個光柵之一作縱向或橫向微振動時，由于衍射場內在的干涉效應，導致0級、±1級衍射斑的強度信號呈現出復合余弦型函數變化規律.通過數學分析得出光柵在微諧振動的一個周期時段內，信號強度極值點出現的時間與微諧振動振幅的函數關系. 這種關系奠定了利用雙光柵測量和研究微振動理論基礎. 也為研究其他雙光柵異化結構及其運動的衍射場，提供了一種可以借鑒的理論工具.

1 理論推演

設有兩個相同的一維余弦光柵G1、G2平行放置，如圖1所示.

圖1 雙光柵衍射示意圖(每一個箭矢代表一列衍射平面波)

兩個光柵的空間周期均為d1,其縱向間隔為z0，設其屏函數分別為：

(1)

(2)

其中f1=1/d1，為光柵的空間頻率.現用一束單色平面波正入射到第一個光柵G1，該平面波的振幅為A，波長為λ，其波數k=2π/λ. 這束平面波通過光柵G1后，其波函數變為

(3)

運用波前相因子分析法[3-5],便可判定上述波前包含3列平面波成分，即

(4)

(5)

代表一列正出射平面波：

(6)

代表一列沿θ1方向斜出射平面波：

(7)

代表一列沿-θ1方向斜出射平面波.這里

(8)

這3列平面波向前傳播z0距離到達第二個光柵G2，此時3列平面波的波前分別為：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

2.1 各方向平面波的相干疊加強度

在上述式(14)—式(22)中所展示的9列衍射平面波如圖1所示，沿θ=0方向有3列平面波，它們合成的復振幅為

(24)

沿θ=θ1方向有2列平面波，其合成的復振幅為

(25)

同理，沿θ=-θ1方向也有2列平面波，其合成復振幅為

(26)

沿θ=θ2和θ=-θ2方向各有一列平面波

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

δ(z0)≡kz0(1-cosθ1)

(32)

當利用凸透鏡匯聚這5個方向的衍射平面波，在透鏡的焦平面上會得到5個衍射斑，稱為夫瑯禾費衍射斑.但是只有I0和I±1是平面波相干疊加的結果.換言之，雙光柵縱向間隔的變化只會反映在式(29)和(30)所表示的0級和±1級衍射斑中，這是實驗上可以觀測到的有變化的相對光強.

2.2 光柵G2作縱向微諧振動時衍射斑的強度

(33)

衍射光強式(29)和(30)中余弦項的相位可表示為

(34)

其中

β≡(1-cosθ1)

(35)

由式(29)、(30)可得0級和±1級衍射斑的光強為

(36)

(37)

式(36)和(37)中的相對光強變化均為一個復合余弦函數，記為

(38)

由式(8)可知，當光柵常數遠大于光波波長時

(39)

(40)

(41)

2.3 光柵G2作橫向微諧振動時衍射斑的強度

當光柵G2相對于G1沿x軸的橫向位移量為x0，于是，G2的屏函數被改寫為

t0+t1cos(2πf1x-δx)=

(42)

這里，相移量：

δx≡2πf1x0

(43)

這表明G2的橫向位移，導致其屏函數的相移，從而會導致通過它后面的衍射斑會有等量的相移δx.

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

其模的平方給出0級衍射光斑強度：

γ2cos(2πf1x0)cos(kz0-kz0cosθ1)]

(54)

在θ=θ1和θ=-θ1方向各有兩列平面波，其合成復振幅分別為

(55)

(56)

其模平方分別給出±1級衍射光斑的強度

(57)

(58)

當光柵G2作橫向簡諧微振動時

x0(t)=acosω0t

(59)

將式(59)代入式(54)、(57)、(58)，即可得到0級和±1級衍射斑的強度信號：

γ2cos(2πf1acosω0t)cosα]

(60)

(61)

(62)

這里

α≡kz0(1-cosθ1)

(63)

當光柵常數遠大于光波波長時，由式(39)可得

(64)

對于式(60)所表示的0級衍射斑光強已有很明確的分析了[6].而±1級衍射斑相對光強的變化仍然是一個復合余弦函數，只是多了一個初相位.這里選擇+1級中的復合余弦函數作為分析對象，可表示為一般的函數形式：

(65)

這個函數與表示縱向微諧振動相對光強變化的式(41)具有相同形式.

顯然這是一個周期函數，當x在[0,2π]范圍內變化時，復合余弦函數值y關于x=π點是對稱的.因此將此函數定義域設定在[0，π].在這個區域中，函數y的極值點可由下式

(66)

得到 sinx=0

(67)

(68)

求解這兩個方程可以得到y取極值的坐標點為

x=k′π,k′=0,1

(69)

(70)

由式(70)確定k的取值范圍為

(71)

(72)

其中N、M為正整數，n、m為正純小數. 式(71)就可寫為

-N+(m-n)≤-k-M≤N+(m+n)

(73)

k值的個數可以分為以下4種情況:

當m-n>0,m+n<1,k可取2N個極值點；

當m-n>0,m+n≥1,k可取2N+1個極值點；

當m-n≤0,m+n<1,k可取2N+1個極值點；

當m-n≤0,m+n≥1,k可取2N+2個極值點.

考慮到內余弦函數cosx在[0，π]區間內是單調減函數，由式(70)確定的第一個極值點發生在

k=-M+N，當m-n>0；

k=-M+N+1，當m-n≤0.

設第1個極值點的坐標為x1，第r個極值點的坐標為xr，由式(70)可得

(74)

由此式就可以計算出光柵G2的振幅了.考慮到在實驗中觀測到的極值點的坐標是時間量，所以設

(75)

T0為光柵G2諧振動的周期，它和T1、Tr都是可觀測量.由這些量可以計算得到光柵振幅的表達式：

(76)

以上所提到的極值點不包含式(69)所定義的兩個端點極值.對于-1級衍射斑極值點的個數和光柵振幅的計算公式是相同的. 式(76)就是利用雙光柵測量微諧振動振幅的基本公式.

由式(72)可以看到

(77)

(78)

式(78)給出了利用雙余弦光柵測量微諧橫向振動的最小振幅，即測量的精度.

同理可由式(41)分析出光柵G2做縱向微諧振動時，振幅的計算公式為

(79)

與式(72)、(77)同理可得

(80)

此式說明了利用雙余弦光柵測量縱向微諧振動的振幅應不小于亞毫米.很明顯對于一對相同的雙余弦光柵，測量縱向振動的精度要遠小于測量橫向振動的精度，而且振幅的測量與所使用光的波長有關.

3 數值計算

設光柵G2固定在一個驅動頻率約為500 Hz的音叉上，數值計算參數如下：兩個余弦光柵常數:d1=0.01 mm；所使用的半導體激光器波長:λ=635×10-6mm；雙光柵的間距z0=5.00mm.

由以上參數可計算出

當x=2π·500t的變化范圍為0到2π時，由式(65)得到+1級衍射光斑強度相對變化如圖2實線所示.圖中虛線為音叉在一個周期的歸一化簡諧振動曲線，即內余弦函數. 基于我們對N，n,m的分析，顯然光柵在一個周期的振動過程中，+1級衍射相對光強在(0,π)區間內有6個極值點.

圖2 雙光柵相對橫向振動時+1級衍射斑光強變化曲線y=cos(3.2πcos x-31.75π),虛線表示內余弦函數cos x

在實驗中探測到的+1級衍射光強的變化在示波器上如圖3所示。只要測量第1個極值點的坐標為x1和第r個極值點的坐標為xr所對應的時間量T1和Tr，以及光柵振動的一個周期T0，就可以利用(76)式計算出光柵的振幅.

圖3 雙光柵相對橫向諧振動時+1級衍射斑光強變化實測曲線

如果設雙光柵的襯度比γ=t1/t0=1，可由式(60)得到0級衍射光斑強度變化，如圖4所示.

圖4 雙光柵相對橫向振動時0級衍射斑光強變化曲線y=0.25cos2(3.2πcos x)+cos(3.2πcos x)cos31.74π,點劃線表示復合余弦函數cos(3.2πcos x)，虛線表示內余弦函數cos x

在圖4中可以看出，復合余弦函數平方項又四分之一的存在改變了復合余弦函數(點劃線所示)的起伏，但沒有改變極值點的位置和圖形分布的對稱性.所以仍然可以用來測量光柵的橫向振幅，但由于cosα項和復合余弦函數相乘的關系，可能降低0級光斑強度變化的幅度，所以不建議使用0級衍射光斑探測雙光柵的相對橫向振動.

對于光柵G2做縱向微諧振動的數值模擬和橫向微諧振動的情況有相同的結論.所不同的是式(80)對縱向振動振幅的要求較式(78)要大的多.如果縱向微振動的振幅不能滿足式(80)，由式(41)得到的縱向微振動0級和±1衍射斑相對光強變化則如圖5所示.

圖5 雙光柵相對縱向諧振時衍射斑光強變化曲線虛線表示內余弦函數cos x

此時從觀測到計算已不再適合利用雙余弦光柵研究縱向微諧振動了.這也就是利用雙余弦光柵衍射測量微諧振動精度限制的原因了.

當雙光柵既有橫向振動又有縱向振動時，可將式(33)代入到式(65)，得到

(81)

當光柵在縱、橫方向同時做簡諧振動時，+1級衍射光斑強度變化如圖6所示. 實線為同頻率且初相差θ=0時的曲線；虛線表示同頻率但初相差θ=0.1π的曲線.顯然波形對初相是很敏感的.

圖6 光柵同時做縱、橫向同頻諧振動時+1級的相對光強變化,實線為初相差θ=0時的曲線,虛線為初相差θ=0.1π的曲線

當兩種振動的頻率不同而初相差為0時，+1級的相對光強變化曲線如圖7所示.

圖7 光柵同時做縱、橫向不同頻諧振時+1級的相對光強變化,此時x=0.5x′,θ=0

在以上兩種情況中，縱、橫方向的振動是沒有辦法分開討論的.

4 結論

運用波前相因子法，分析雙余弦光柵衍射場的干涉是方便而有效的.尤其在分析中考慮到了雙光柵之間的間距，避免了雙光柵密接情況下橫向振動分析結論的局限性[6].利用雙余弦光柵衍射光斑強度所展現的復合余弦函數的特點，可以用來研究微諧振動的振幅和頻率，如式(76).并明確給出了縱、橫向諧振振幅測量精度的限度，如式(78)，(80).對于非余弦型光柵，可以利用傅里葉級數展開為多個余弦函數之和，本文中的結論仍然是可以利用的.

對于雙光柵之間的非諧振情況的分析將是我們進一步研究的內容.