經過Rayleigh-Benard流的角動量分篩

張春旭，朱笑生，曹惠寧，任天榮，辛 煜

（1.南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇南京 210094；2.上海機電工程研究所，上海 201109）

0 引 言

利用軌道角動量在空間中進行編碼通信，不僅具有抗電磁干擾、高安全性的特點［1］，還可以大幅提高系統的傳輸速度，已廣泛應用于樓宇間通信網絡、衛星地面通信網絡、軍事安全和臨時通信網絡等［2］。光束角動量的清晰表達是由Poynting 提出的，他使用了一個機械形式的類比來解釋圓偏振光束帶有角動量，當光的角頻率為ω時，角動量和能量的比為l/ω（l為拓撲荷）。1930年，Beth 在實驗中發現，光的角動量可以使個別物理對象產生旋轉，此后人們意識到光角動量分為自旋角動量和軌道角動量。1992年，Allen 提出，使用相位截面exp(ilθ)（其中：i 為虛數單位；θ為周向角度）來描述的螺旋相位波前光束可攜帶特定的軌道角動量［3］。

單一模式的軌道角動量光束經過散射光場后，對其他模式產生串擾，變為多個軌道角動量模式的疊加態。對疊加態中的各個模式成分進行定量分析檢測，對研究散射光場的特性具有重大意義。之前多位學者提出了多種軌道角動量的檢測方法，其中最常用的方法是利用馬赫-曾德干涉儀使渦旋光束與平面波、球面波或其他光束進行干涉［4-6］，雖然馬赫-曾德干涉儀可以有效地對多個軌道角動量同時進行檢測，但隨著被檢測模式數的增加，干涉系統會變得十分復雜。除此之外，光學坐標變換法［6］，光柵法［7］、光闌衍射法［8］也被多位學者研究。考慮到實驗的可行性，系統的復雜性、魯棒性，選擇光學坐標變換法對多模式疊加態軌道角動量進行分篩。

由于復用系統具有高效的傳輸效率，其在通信系統中得到廣泛應用。軌道角動量通信系統的核心設備為軌道角動量解復用器，通常由復合型分叉光柵構成。這里，需要區分通信系統非相干合成的“解復用”與我們所面臨的分篩問題的不同。以達曼光柵為例，其功能是在空間上有效地分離同軸傳輸的多個軌道角動量模式，使得不同模式攜帶的信息可以不受干擾地被處理和檢測。所以，在相干合成系統（疊加態）中，“解復用”方法是不適用的。

本文中，我們闡述角動量的光學坐標變換法分篩原理，并討論經過Rayleigh-Benard 流散射光場的角動量分篩。

1 基于空間光調制器的疊加態軌道角動量產生方法

利用計算全息可生成渦旋光束，計算機控制的純相位空間光調制器（spatial light modulator，SLM）的出現，使得衍射光學元件的實時更新變得容易實現。拉蓋爾-高斯（Laguerre-Gaussian，LG）光束被證實其攜帶軌道角動量，表達為

式中：k是波矢；R是波前的曲率半徑；w是光束高斯項的放大因子；n和m是Hermite-Gauss 模式的指標，其中n和m的最小值min（n，m）＝p，拓撲荷l的大小為（n-m），通常和p一起作為LG 模式的指標；Gouy相位ψ＝arctan（z/zr），通過瑞利半徑給出，其中z為傳播距離，zr為Rayleigh 長度；Ll P（r） 代表廣義拉蓋爾多項式；r和?為極坐標系下的極徑和極角。不同LG 模式光束之間呈正交關系，可以進行線性疊加，從而使整個光束攜帶多個軌道角動量模式。

空間光調制器除了可以產生拉蓋爾-高斯光束以外，還可以產生任何其他的復雜光束，例如拉蓋爾-高斯光束和貝塞爾光束的疊加態。相比較于螺旋相位片，計算全息法雖然效率不高，但產生的光束質量較高，利用空間光調制器可以靈活地產生拓撲荷不同的疊加態的光束。通過計算平面波與目標干涉，得到相干圖像的干涉灰度圖，用平面波照射到空間光調制器液晶體表面時，可生成拉蓋爾-高斯光束。

我們希望使輸入光場Ein(x，y)＝Ain(x，y)exp(i?in(x，y))經過純相位的全息圖H＝H（x，y）后，生成目標光場（螺旋相位光束）Edes(x，y)＝Ades(x，y)exp(i?des(x，y))，考慮到經過SLM后，輸出光場應與零階反射在空間上分離，使場純度最大化［9］，即

考慮空間光調制器和入射光場的夾角θ＝0，同時忽略光束在SLM表面反射造成的均勻衰減，則全息圖的效果可表達為

式中：r?＝(x?，y?，z?)；k′in為輸入光場波矢；kdes為目標光場波矢。

對應的振幅關系為（u，v），在區間［0，1］內取值；總的相位關系為?relg(x，y)＝?des(x，y)-?in(x，y)＋（kdes-k′in）·⌒r。假設kdes和k′in之間存在一個小角度空間偏移，可通過一個相位光柵?g(x，y)來實現，即

通過取余函數Mod，可以生成以Λ＝2π/(kdesk′in)為光柵周期的閃耀光柵。通過比較Clark［9］所給出的6 種疊加態軌道角動量的產生方法，選擇了其中效果最好且較為簡單的方法A。方法A是通過全息復現最簡單的方法，產生一個矯正的輸入全息圖，將相對相位作為調制信號加載到空間光調制器上，即

雖然這種方法產生了具有所需相位和空間偏移量的波束，但強度剖面仍然與輸入波束相同，只是在相位不連續的位置附近傳播后才出現暗區。同時，式（3）振幅調制是必要的，這可以通過調制總相位剖面的深度來引入，即通過函數f（A（x，y））調制?relg(x，y)在空間上降低光柵高度會降低衍射效率，因此通過函數f（A（x，y）），對一階衍射強度進行控制，實現全光束成形。這使得全息圖H（x，y）滿足以下形式：

式中：f(A(x，y))＝Arel(x，y)。

有許多方法可以生成這種形式的全息圖，盡管其解析看起來是精確的，但實驗效果優劣各異，任何方法都有其不完美之處。本文綜合運用全息圖法，為了獲得質量更高的拉蓋爾-高斯光束，犧牲了衍射效率，用正弦光柵代替了方法A中的閃耀光柵。

圖1 給出了拉蓋爾-高斯光束理論強度分布、實測強度分布、全息光柵分布及相位分布。

圖1 拉蓋爾-高斯光束理論強度分布、實測強度分布、全息光柵分布及相位分布Fig.1 Laguerre-Gaussian beam theoretical intensity distribution，measured intensity distribution，holographic grating distribution and phase distribution

圖1中：第一列為仿真得到的拉蓋爾-高斯光束；第二列為實驗實測的拉蓋爾-高斯光束；第三列是加載至SLM上的正弦光柵結構全息圖（右下角插圖對應紅框中放大的部分）；第四列為各個拉蓋爾-高斯光束對應的相位分布；第一行對應拓撲荷為1的拉蓋爾-高斯光束；第二行對應拓撲荷為1和3的疊加態拉蓋爾-高斯光束；第三行對應拓撲荷為-3和3的疊加態拉蓋爾-高斯光束。

2 軌道角動量的分篩

當流體或氣體以不同速度相對運動時，由于其黏性的作用，相鄰的兩層流體之間會形成剪切力。隨著相對速度的增加，兩層流體間可形成不穩定分界面，使流體局部受力不平衡，可以形成各種各樣的漩渦以及不同流層之間相對運動的重疊，繼而產生大氣湍流現象［10］。大氣溫度和壓力隨時間變化和隨機變化導致大氣光密度的變化［11］。這將導致折射率的空間依賴變化，使得光束發生散射，導致傳輸光束的相位畸變［12-14］，從而導致光束軌道角動量的畸變。因為湍流對不同模式間正交性的破壞，以及對光束能量的衰減彌散，畸變的軌道角動量模式可以分解為多個軌道角動量模式［15］，導致軌道角動量螺旋譜展開，單個軌道角動量模式退化，并向其他軌道角動量模式串擾。

對于軌道角動量經過湍流散射的問題，考慮對軌道角動量進行分篩，目前已經提出了許多可用分篩技術。Davidson 等［16］曾提出利用相位元件對光學目標進行笛卡爾坐標到對數-極坐標的變換，將螺旋相位光束轉換為具有橫向梯度相位的平面波。

對于平面波而言，透鏡可以將平面波聚焦為焦平面上的一個點，焦點橫向位置取決于平面波的橫向相位梯度，從而使探測器陣列可區分傳播方向不同的平面波。對于任何兩個平面波的分離，都需要在透鏡的孔徑范圍中額外增加或減少2π的相位改變量，從而導致光斑位置上的差異，其效果可與瑞利分辨率限制相媲美。坐標變換使得N個拓撲荷不同的軌道角動量光束轉換為N個不同橫向梯度相位的平面波，進而在透鏡焦平面處形成N個位置不同的焦點，根據焦點的橫向位置分布可以確定軌道角動量模式成分。

(x，y)和(u，v)是坐標變換系統輸入平面和輸出平面的直角坐標位置，光學元件產生(x，y)→(u，v)的坐標映射，使 得v＝aarctan(y/x)，同時保證u＝執行變換光學元件的相位分布可描述為

式中：f為距離常數，表示兩個變換元件之間的物理距離；a為常系數，影響傳輸后圖像的橫向長度，a＝d/2 π，d為光束變換后在輸出平面的v方向上圖像的橫向長度；λ為光波波長；b作為修正參數可以獨立于a進行選擇，常系數a和b共同影響變換后的光束在u方向上的長度。執行相位矯正光學元件的相位分布為

變換光學元件的相位分布上融入了等效透鏡的概念，式（7）和（8）這兩個公式中的第二項為等效透鏡因子，即焦距為f的透鏡。執行坐標變換以及相位矯正光學元件的相位面型如圖2所示。

圖2 全息器件相位分布Fig.2 Phase distribution of holographic devices

3 實驗驗證及結果分析

實驗設置如圖3所示。激光器發出波長為632 nm的可調功率激光束，由放大倍率40X的顯微物鏡L1和f＝150 mm 的光學透鏡L2 組成的開普勒式望遠鏡擴束，在其焦平面處使用孔進行濾波，以保證擴束光束輸出質量。空間光調制器SLM1 上產生全息光柵，使衍射±1 級生成攜帶單個或多個軌道角動量模態的螺旋相位光束，由分束棱鏡BS1 反射到分篩系統。虛線框的部分表示可以選擇性地放置4f 系統或流場。分束棱鏡BS2 接收螺旋相位光束，反射到空間光調制器SLM2 上。空間光調制器SLM2 加載坐標變換相位，經過傳播后到達空間光調制器SLM3，在SLM3 表面完成坐標變換。空間光調制器SLM3加載相位矯正相位，使變換后的光束以平行形式向后面系統傳播。復消色差透鏡L3 和光學透鏡L4 組成開普勒望遠系統，壓縮光束直徑。復消色差透鏡L5 將不同相位梯度的平面光束聚焦在相機的不同位置上。

圖3 實驗設置Fig.3 Experiment settings

利用以上方法，實現了從l＝-4 到l＝4，分別呈現9個軌道角動量的分篩，結果如圖4所示。

圖4 9個軌道角動量的分篩結果Fig.4 Sorting results of 9 orbital angular momenta

在圖3 的虛線框中，制作了底部具有發熱功能的透明水槽生成瑞利-貝納爾流場擾動，通過控制電壓大小調整流場強度，原理及實物分別如圖5（a）和（b）所示。實驗中對兩個疊加模式進行分篩，圖5（c）展示了對l＝±3 模式的分篩結果，如圖5（d）則是加入流場擾動后的分篩結果。對比圖5（c）和圖5（d）可知，原有的模式焦點消失，向其他模式串擾；當軌道角動量復用態的光強受湍流影響時，會出現明顯的閃爍現象，湍流強度越大，影響越大；隨著湍流強度的增加，軌道角動量態之間的色散度增加，強湍流導致軌道角動量復用光束畸變。

圖5 模擬瑞利-貝納爾流場實驗及分篩結果Fig.5 Quasi-Rayleigh-Benal flow field test and sorting results

4 結束語

本研究關注軌道角動量光束經過流場后發生的現象。使用相位光學元件對攜帶有軌道角動量的光束進行了有效的分篩測量，并利用自制的瑞利-貝納爾流場生成裝置，觀察到了軌道角動量光束經過流場后其軌道角動量的變化。研究結果表明：當光束傳播的路徑上有流場產生時，會影響到光束的波前，從而使得原始的軌道角動量模式退化，并向其他軌道角動量模式串擾。