基于跟蹤微分器的捷聯導引頭解耦算法研究

李慶波，方澤遠，陳國良，梅志偉，楊 婷

（上海機電工程研究所，上海 201109）

0 引 言

在導彈精確尋的制導過程中，導引頭完成對目標的自主搜索、識別和跟蹤，并給出制導控制所需的視線角速率等信息，確保導彈精確命中目標。導引頭是精確制導武器的重要核心部件，并在很大程度上決定了制導武器的打擊精度與成本［1］。

根據結構形式不同，導引頭可以分為框架式導引頭與捷聯式導引頭。傳統框架式導引頭具有較大總視場角，能夠快速捕獲并精確跟蹤目標，輸出制導所需的視線角速率信息，但也存在價格高昂、結構復雜、可靠性低等缺點［2］。

相比于框架式導引頭，全捷聯導引頭主要由固定視場光學系統、探測器及信號處理系統組成，與彈體捷聯安裝，具有體積小、質量輕、復雜性低、可靠性高、瞬時視場大、視線角速率不受限制及成本低等諸多優點。但捷聯成像導引頭的測量信號中耦合有彈體姿態運動信息，因此，需要設計合適的解耦算法以實現彈體姿態運動的解耦［3］，從而獲得視線角速率。

文獻［4-8］均通過建立視線角速率提取的狀態方程和量測方程，使用卡爾曼濾波的方法實現視線角速率的提取。但卡爾曼濾波方法中使用的狀態方程是對非線性彈目運動模型的近似表達，而量測方程又極為復雜，涉及到的變量和運算較多，因此工程應用中面臨許多困難。

為了從被噪聲污染的信號中提取微分信號，韓京清［9］于1994年提出了跟蹤微分器的解決方案。而跟蹤微分器作為一種非線性估計方法，能夠較好地解決從不連續或帶隨機噪聲的測量信號中合理跟蹤提取連續信號及微分信號的問題［10-12］。文獻［13］利用跟蹤微分器研究了視線角加速度的濾波算法。王佩［14］設計了最速離散跟蹤微分器、滑模微分器與非線性微分器等3 種微分器估計視線角速率，但并未給出具體的跟蹤微分器參數整定方法。

本文擬從頻域的角度，對跟蹤微分器的特性進行分析研究，并針對解耦問題展開具體設計和參數整定。

1 視線角速率提取的數學原理

1.1 坐標系定義及視線角求解

捷聯導引頭實時獲得目標在彈體系下的離軸角，彈上慣測系統可測量獲得彈體的實時飛行姿態，按照圖1 所示的坐標轉換關系，可求解獲得以導彈為原點的慣性系下的視線角。

圖1 坐標系轉換關系Fig.1 Coordinate system transformation relation

圖中：qv、qh分別為慣性系下的高低視線角和方位視線角；φv、φh為目標在彈體系下的高低離軸角和方位離軸角；φ、θ、γ為彈體偏航角、俯仰角和滾轉角；L(x，y，z)表示坐標系間的轉換矩陣，內部參數為從x開始依次轉換的角度。

設彈目相對距離為R，則在視線系下的目標位置坐標為[R0 0]′，根據坐標關系轉換，滿足以下等式：

令

對式（1）展開后可得

由此可求解獲得慣性系下的視線角為

理論上對以上信號進行微分，即可獲得視線角速度。但在工程實際中，直接微分獲得的視線角速度噪聲非常大，將其應用于導彈制導回路當中會造成較大的脫靶量。

1.2 跟蹤微分器提取視線角速率

跟蹤微分器利用了數值積分優于數值微分的事實，將給定信號的微分轉化為對一組微分方程的積分問題，可實現任意信號的跟蹤及微分。跟蹤微分器的輸入輸出關系如圖2所示。

圖2 跟蹤微分器輸入輸出關系Fig.2 Tracking differentiator I/O relationship

圖中：ν為輸入信號；ν1為對輸入信號的跟蹤輸出信號；ν2為基于輸入信號提取獲得的微分信號。

2 典型微分器分析

按照跟蹤微分器的輸入輸出關系可知，將式（4）解算獲得的含有噪聲的視線角信號作為輸入信號，通過設計合適的跟蹤微分器，可獲得制導需用的視線角速度信號。

自跟蹤微分器誕生以來，已出現了多種形式，并獲得了廣泛應用。本文選用以下兩類典型的跟蹤微分器，研究其在視線角速率提取中的設計與應用問題。

2.1 最速跟蹤微分器

最速跟蹤微分器的形式如下：

式中：ν為輸入信號；x1為ν的跟蹤信號；x2為ν的微分信號；h為積分步長；r影響跟蹤速度；h0影響濾波效果。

fhan(x1，x2，r，h0)函數為

2.2 非線性跟蹤微分器

非線性跟蹤微分器的形式如下：

其中：

式中：R、α、β、δ為需設計的參數；R、α影響跟蹤速度；β影響濾波效果；δ影響線性區范圍，有利于消除原點附近的顫振。

3 基于頻域的跟蹤微分器參數設計與性能分析

從式（4）可知，慣性系視線角速度提取中，主要與陀螺敏感的姿態角速度信號和導引頭的測角信號密切相關。因此陀螺噪聲、陀螺帶寬及導引頭測量噪聲等都會影響視線角及視線角速度的輸出。

陀螺帶寬決定了其角速率敏感的頻譜范圍，對于高于陀螺帶寬的彈體高頻振動信號，由于不能被準確敏感而導致無法實現理論上的解耦，因此對式（4）中存在的高于陀螺帶寬的信號，需將其盡可能地衰減。

陀螺測量信號的噪聲和導引頭測量噪聲可視為白噪聲，該類噪聲分布于全頻譜范圍內，由于低頻部分與制導需要的有效信號接近甚至重合，難以被大幅衰減。因此若能對低頻部分快速跟蹤，對高頻部分有效衰減，則既能保證視線角速度提取算法具有較小的時間常數，又具備較高的提取精度。

基于以上考慮，本文擬利用頻域特性計算與分析，開展跟蹤微分器的參數設計，以獲得較好的視線角速率提取效果。

3.1 基于等效合力的跟蹤微分器頻域特性計算方法

在經典控制領域，線性環節的頻域特性可通過公式推導直接計算獲得，而非線性環節的頻域特性則不易獲得，這為跟蹤微分器的設計帶來一定的困難。

在旋轉導彈控制中，常用到等效合力的方式來設計和確定導彈的控制力方向及控制力大小［15］。本文借鑒等效合力的計算方法來實現對跟蹤微分器頻率特性的快速近似計算，便于開展具體的參數設計。利用等效合力獲取濾波器頻率特性的數學原理如下。

為計算跟蹤微分器對頻率為f的信號的濾波效果，給定如下的標準輸入信號：

設濾波器的輸出信號為vout，則在每一個周期T內，執行以下運算：

則濾波器在頻率f條件下的幅值增益為

濾波器在頻率f條件下的相位變化為

按照以上算法，即可求得不同頻率條件下濾波器的幅值增益和相位變化，從而可獲得濾波器的頻域特性，這為濾波器的參數設計和性能評估提供了有利的設計支撐。

3.2 跟蹤微分器參數整定及特性對比

本節主要利用頻譜特性計算，結合時域信號響應特性，設計合適的解耦濾波器參數。濾波器的設計應保證對低頻信號的準確跟蹤和對高頻信號的大幅衰減，同時也要保證較快的跟蹤速度。基于以上的設計原則，開展最速跟蹤微分器和非線性跟蹤微分器的參數設計。

3.2.1 最速跟蹤微分器的頻率特性

最速微分跟蹤器是在最大加速度r限制條件下，保證輸出信號對輸入信號的最速跟蹤。但在設計值r一定的條件下，通過掃頻獲得的最速跟蹤微分器的頻域特性會受到輸入信號幅值的影響。

當r取固定值8時，不同掃頻幅值信號獲得的頻域特性對比如圖3～4所示。

圖3 最速跟蹤器頻域特性曲線Fig.3 Frequency domain characteristic curve of fastest tracker

圖4 最速微分器頻域特性曲線Fig.4 Frequency domain characteristic curve of fastest differentiator

圖中的A表示輸入掃頻信號的幅值。從圖中可以看出，最速跟蹤微分器的頻域特性隨掃頻輸入信號的變化而發生變化，其原因是最速跟蹤微分器只能以最大加速度r對信號進行跟蹤。當輸入信號的幅值變大時，跟蹤的時間就會變長，表現在頻域上則為帶寬變窄，相位滯后增加。

在視線角速率提取的問題中，輸入信號的幅值是隨彈目相對運動關系的變化而動態變化的，因此最速跟蹤微分器提取視線角速率并不合適。

3.2.2 非線性跟蹤微分器的頻率特性

非線性跟蹤微分器的可調參數較多，通過對其頻域特性的判斷，同時結合導引頭視線角速率提取的具體要求，整定的一組參數為：R＝100，α＝0.8，β＝5，δ＝0.001。

其頻域特性曲線如圖5～6所示。

圖5 非線性跟蹤器頻域特性曲線Fig.5 Frequency domain characteristic curve of nonlinear tracker

由圖5 中的曲線可知，跟蹤部分在低頻段非線性跟蹤微分器能夠較好地復現輸入信號，在高頻段能夠達到對輸入信號的快速衰減。由圖6 中的曲線可知，微分部分在低頻段對信號實現微分功能，在高頻段同樣實現快速衰減。因此該組參數能夠達到較好的跟蹤和微分效果。

圖6 非線性微分器頻域特性曲線Fig.6 Frequency domain characteristic curve of nonlinear differentiator

4 濾波效果對比

4.1 仿真建模

本節通過建模仿真，對比不同濾波器條件下視線角速度的提取精度。視線角速度解耦仿真模型中涉及的內容包含：導引頭理論測角、理論彈體姿態運動、導引頭探測模型、陀螺模型、陀螺噪聲及導引頭測角誤差等。具體仿真條件如下。

4.1.1 理論建模

彈體理論姿態角速度為

式中：彈體姿態角速度ωx、ωy、ωz單位為（°）/s，包含了低、中、高頻信號，同時加入了白噪聲振動信號Δωx、Δωy、Δωz，白噪聲的方差為0.1（°）/s。彈體姿態角理論值由彈體姿態角速度解算獲得。

理論視線角速度為

式中：Aq為設計輸入值。

基于理論視線角速度，可計算獲得慣性系下的理論視線角。

導引頭理論測角為

4.1.2 傳感器與誤差模型

導引頭的角度測量處理時間通常為毫秒級，因此本文僅考慮陀螺的測量模型，其傳感器模型為

式中：ωtl＝150×2π；ξtl＝0.6；ktl＝1。陀螺噪聲信號取為0.1（°）/s（1σ），導引頭測角精度為0.1°（1σ）。

4.2 仿真對比

基于第3 章中設計的跟蹤微分器，開展視線角速率解耦仿真驗證，仿真結果如圖7所示。

圖7 幅值為1時的解耦曲線對比Fig.7 Comparison of decoupling curves with amplitude of 1

從圖7～8 中可以看到，最速跟蹤微分器的解耦效果及快速性受輸入信號的影響，因此不適用于視線角速度的解耦。非線性跟蹤微分器的解耦能力及快速性與輸入信號無關，其上升時間（到達90%的時間）約為0.15 s，且能在以上誤差條件下實現0.4（°）/s（3σ）的解耦精度。基于頻域特性設計的非線性跟蹤微分器解耦效果較好且時間常數小，能夠較好地解決捷聯導引頭的解耦問題。

圖8 幅值為5時的解耦曲線對比Fig.8 Comparison of decoupling curves with amplitude of 5

5 結束語

本文利用兩種典型的跟蹤微分器開展捷聯導引頭視線角速率提取研究，在跟蹤微分器的具體設計過程中，提出了基于頻域特性開展參數設計的思路，并利用旋轉導彈控制當中的等效合力方法解決了非線性環節頻域特性提取的問題。基于以上設計思路開展了具體設計及仿真分析對比，仿真結果表明，非線性跟蹤微分器具有良好的解耦效果，而最速跟蹤微分器的解耦能力由于受到輸入信號本身幅值的影響，不宜用于視線角速率的解耦問題當中。