“轉化”思想在大學數(shù)學教學中的引導性研究——以《高等數(shù)學》為例

郝志峰 王 丹* 陳兆英

（濟南大學數(shù)學科學學院 山東·濟南 250022）

0 引言

“轉化”思想也稱為化歸思想，它在《高等數(shù)學》教學中具有重要作用，貫穿教與學的始終。因此，在教學設計中，教師有必要強化“轉化”思想的運用，促進數(shù)學思想的傳播，引導學生產生學習興趣，提高教學效果。

1 《高等數(shù)學》教學設計中的“轉化”思想

《高等數(shù)學》相較于初等數(shù)學發(fā)生了質的變化，由以函數(shù)和幾何為基礎的常量運算問題轉換到了以極限為基礎以微積分為核心內容的變量分析中來。因此，教師在講授相關知識時，有必要從思想、方法認識角度揭示《高等數(shù)學》學習的技巧，從而突破對重、難點的認識。本文將探析《高等數(shù)學》“轉化”思想的引導性設計。

1.1 “特殊”與“一般”的轉化

兩個重要極限和基本初等函數(shù)的導數(shù)在《高等數(shù)學》學習中具有重要地位。教師在教學過程中必然會強調兩個重要極限和導數(shù)公式對后續(xù)微積分學習的作用。但更為重要的是應指出二者之間的聯(lián)系：“特殊”的重要極限是推導求導公式“一般”結論的工具。學生往往會對洛必達法則和重要極限公式之間的關系存在誤區(qū)：認為洛必達法則可以得到重要極限公式。但是，如果沒有導數(shù)公式，洛必達法則就無法使用。因此，該例子表明，“特殊”與“一般”相輔相成，存在完備性。

1.2 “離散”和“連續(xù)”的轉化

定積分和二重積分的幾何意義分別是曲邊梯形的面積和曲頂柱體的體積。以定積分和二重積分為例，可以很好地闡明“離散”和“連續(xù)”之間的轉化關系，如圖1(a)和(b)所示。

圖1：(a)曲邊梯形的離散化，(b)曲頂柱體的離散化

以定積分為例，見圖1(a)，曲邊梯形的曲邊是光滑曲線，初等數(shù)學無法得到曲邊梯形的面積，但可以通過將其轉化為規(guī)則圖形來處理。例如，將曲邊梯形先分割成離散的有限個可求面積的小矩形，以小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，然后，對小矩形的面積求和，得到曲邊梯形面積的近似值。通過無限細分，得到曲邊梯形的精確值，這正是極限思想：無限細分，化“直”為“曲”。應該指出，曲邊梯形的分割不僅可以化成小矩形，也可化成梯形等規(guī)則形狀（“不規(guī)則”轉化為“規(guī)則”的情形），這是積分數(shù)值計算的基礎。

高等數(shù)學中也有“離散”問題連續(xù)化處理的情形。例如，數(shù)列f(n)可以轉化為連續(xù)函數(shù)f(x)，而變量n→∞可以寫成x→+∞，從而用處理函數(shù)極限的方法處理數(shù)列的問題，這正是《高等數(shù)學》中的“歸結原則”。

1.3 “復雜”和“簡單”的轉化

《高等數(shù)學》中存在大量“復雜”問題“簡單”化的例子。例如，高階微分方程降階為一階微分方程求解，多元函數(shù)求極限的方法，直角坐標系下特殊被積函數(shù)或積分區(qū)域的二、三重積分轉化為極坐標進行計算，二重積分和三重積分轉化為累次積分，曲面積分、曲線積分轉化為定積分計算，等等。本文將以二重積分計算為例簡要闡明復雜問題簡單化的問題。

二重積分的計算是重點內容，主要涉及兩方面，直角坐標系和極坐標系下二重積分的計算。首先，應該指明二重積分的計算需要轉化為累次積分，實質上就是進行兩次定積分的計算；其次，對具有特定被積函數(shù)(一般含有“x2+y2”的形式)或者特定積分區(qū)域(區(qū)域邊界含有圓弧等)的積分，需要通過簡化成極坐標形式，從而避免直角坐標系下不可計算或較難計算積分問題的出現(xiàn)。

1.4 “抽象”和“形象”的轉化

“抽象”概念的教學往往是大學數(shù)學學習的難點，經(jīng)常困擾學生的學習狀態(tài)，甚至讓學生倍感苦惱、望而生畏。因此，在教學設計中，教師應該提供形象化的教學方法，例如，圖形化分析、動畫演示、例題示范等，從而將抽象問題形象化。下面將以極限和冪級數(shù)展開為例，對形象化教學進行簡要的討論。

極限是微積分的基礎，“－ (或N)”語言的描述較抽象。因此，對極限定義的理解可以從具體的實例入手，借助圖形分析，然后尋求數(shù)學語言的精確描述是必要的。劉徽提出的割圓術便是好的例子：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。其次，形象化的語言對提高學習興趣至關重要。講授中可引入距離的表述和“要多近有多近”之類的形象語言，加強學生對極限情感上的認識，提高學習的積極性。

另一個例子便是級數(shù)。級數(shù)是學生學習過程中容易被抽象化思維主導的概念，因此，形象化教學是必要的。冪函數(shù)是一類形式簡單的級數(shù)，一些特殊的函數(shù)可以展成冪級數(shù)；冪級數(shù)在特殊函數(shù)的近似計算及處理梁、板、殼等振動結構的大變形問題時具有廣泛應用。引入實例，如正弦函數(shù)y=sinx展成冪級數(shù)，取前n項，記為y=Fn(x)。圖2(a)給出了正弦函數(shù)在x=0處展成冪級數(shù)的圖像，可以看到在一定范圍內冪級數(shù)可以近似地代替正弦函數(shù)，且展開的冪次越高，其在更大范圍接近正弦函數(shù)。圖形展示不僅讓學生理解冪級數(shù)的用處，且能激發(fā)學生提出疑問：什么條件下函數(shù)可以展成冪級數(shù)，冪級數(shù)近似代替相應函數(shù)的范圍又是什么？為了更好地激發(fā)學生的感性認識，教師在教學設計中可以展示高階冪級數(shù)圖像，圖2(b)展示了F51(x)的函數(shù)圖像。

圖2：正弦函數(shù)的級數(shù)逼近

形象化教學的效果往往顯而易見，因此，對抽象數(shù)學概念的教學應盡可能思考形象化教學的形式，破解學生學習中的厭倦甚至畏懼心理，讓學生建立信心，變被動學習為主動學習。

1.5 “未知”和“已知”的轉化

正如匈牙利數(shù)學家路莎·彼得所說，“數(shù)學家們往往不是對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉變成已經(jīng)能夠解決的問題”。其中，中值定理應用中輔助函數(shù)的構造，洛必達法則求“0∞”、“∞－∞”等形式的極限，反常積分的計算，間接法求函數(shù)的冪級數(shù)展開形式及待定系數(shù)法求非齊次微分方程的解等是待解決問題向已解決問題轉化的典型案例。例如，“無限”和“有限”是大學數(shù)學中兩個重要概念。考慮“無限”情形問題時往往可以轉化為“有限”情形的結論。例如，計算無窮積分和瑕積分，需要避開“無限”的因素，變化積分區(qū)間將問題轉化為區(qū)間有限和函數(shù)有界的定積分，并對積分限取極限得到結論。

1.6 數(shù)學語言的等價轉化

數(shù)學的語言具有簡潔之美，而數(shù)學公式是數(shù)學語言的凝練，簡潔而清晰。因此，數(shù)學語言簡化為數(shù)學公式的表達，筆者認為也是有益于學生抓住數(shù)學本質的必要的教學設計。以一元函數(shù)連續(xù)性的定義和判定方法為例，教學設計中可以強化如下轉化：

這樣可以促使學生分層次地細化對知識的理解，從極限的存在性、函數(shù)的定義域及連續(xù)性三個層次進行分析，深化學生對抽象知識的認識。

2 結語

本文簡析了“轉化”思想在教學設計中的引導性作用。強化“轉化”思想，可以引導和激發(fā)學生思考和學習興趣，養(yǎng)成認識解決問題的能力。一個數(shù)學問題的“轉化”可能存在多種形式，教學設計應以如何讓學生更好地接受新知識為目的，且從長遠看，數(shù)學思想方法的培養(yǎng)比數(shù)學知識本身更能夠讓學生終身受益。