傳熱模型應用教學案例
——北極熊毛發保溫效果建模分析

柏 浩,邵子鈺,周少東,高微微

(1 浙江大學化學工程與生物工程學院, 浙江 杭州 310027；2 浙江大學高分子科學與工程學系，浙江 杭州 310027)

在我國新經濟蓬勃發展的關鍵時期，對工程科技人才提出了更高的要求，培養具有創新意識及國際競爭力的新工科人才對我國經濟轉型及國際競爭力的提升十分重要。自2017年《關于開展新工科研究與實踐的通知》[1]下發以來，各大高校都在不斷加強對傳統工科教育教學的升級改造。熱量傳遞過程是化學工程學科的理論基礎之一，如何教育學生深入理解并掌握熱量傳遞的各個過程，并將其應用于工業實踐及科學研究之中，始終是化學工程學科高等教育的重點之一。

在傳統化學工程的課堂中，熱量傳遞過程的教學內容通常圍繞簡化模型展開，對于學生的教學目標基本停留在根據給定的參數計算傳熱過程，這已經無法適應新的課程要求。如何圍繞教材中的簡化模型和理論，引導學生深入理解傳熱模型中各參數的內涵，學會針對實際復雜體系的傳熱過程進行模型建立、參數選取以及建模分析，對于增強學生對化學工程學科理論基礎的深入認知，培養學生解決實際問題的能力具有十分重要的意義。本文選取具有優異保暖性能以及特殊多孔結構的北極熊毛發為典型案例，通過對北極熊毛的結構及傳熱過程進行分析，通過簡化模型的建立，模型參數的選取引導學生從建模的角度理解北極熊毛發的優異保溫性能，掌握傳熱模型的實際應用。希望通過對教材已有知識的補充完善，夯實學生的專業知識基礎，引導學生全面綜合地思考和理解問題，培養學生的專業及創新思維能力，服務新化學工程學科的升級改造，培養具有扎實專業基礎、創新思考能力、具有國際競爭力的工科新型人才。

1 背景介紹

動物毛皮自古以來就被人類用作保暖的衣物，生活在嚴寒地區的北極熊的毛發更是被公認具有出色的保溫隔熱效果，可以在北極惡劣的環境中保持北極熊體溫恒定，從而保持各項生理活動的正常進行。北極熊毛具有與其他動物毛發不同的中空多孔結構，這一特殊的毛發引起了研究人員的廣泛關注，并對其結構及保溫性能進行了深入的研究。此外，通過模仿北極熊毛特殊的中空結構，研究人員以不同的手段制備了仿北極熊毛的多孔纖維或氣凝膠，均具有優異的保溫隔熱性能[2,3]。因此，本文圍繞具有優異保暖特性以及特殊結構的北極熊毛這一復雜模型，從建模的角度引導學生分析北極熊毛的結構特征、建立簡化傳熱模型、選取模型參數并對北極熊毛的傳熱過程進行分析，最終掌握傳熱模型的實際應用。

2 傳熱模型的建立

了解研究對象的結構及尺寸特征是建立并簡化傳熱模型的基礎。如圖1(a)所示， 北極熊毛外觀呈白色，長度大約為5～20 cm。從圖1(b)中的掃描電鏡圖片中可知，北極熊毛內部具有微米級的多孔結構，并且多孔部分的直徑約占單根北極熊毛總直徑的1/4至1/2，這些中空的毛發在北極熊身體的外側形成厚實的保溫層。

圖1 北極熊毛的外觀(a)和內部結構(b)

因為北極熊毛的內部結構復雜，為簡化計算，我們將北極熊毛簡化為水平排列的中空纖維，將大量的小孔合并為一個大孔，認為所有北極熊毛的直徑均一并且內部孔尺寸一致，設北極熊毛的直徑為D，內部空心部分的直徑為d。因此，北極熊通過其毛發向外界環境的散熱過程即可被簡化為通過這些在北極熊身體外側水平排列的中空管的的散熱，所形成的保溫層的厚度為b。當環境溫度穩定且北極熊自身的體溫保持恒定時，北極熊毛形成的保溫層外側溫度也將保持穩定，分別設北極熊的體溫，北極熊毛外側的溫度以及環境溫度為T0、T1和Ta。如圖2所示為北極熊毛傳熱過程簡化模型的示意圖，圖中不同的箭頭分別表示不同的熱量傳遞方式。熱量傳遞的三種基本方式分別為熱傳導，熱對流以及熱輻射，其中熱傳導依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子的熱運動而產生熱量傳遞；熱對流發生在流體中，由于流體的宏觀運動使流體各部分之間發生相對位移而導致熱量傳遞；熱輻射通過電磁波(紅外線)傳遞能量。因此，從北極熊毛皮膚到周圍環境的熱量傳遞過程可以分為熱傳導、熱對流以及熱輻射三個部分[4]。北極熊通過自身的新陳代謝產熱來彌補這部分通過不同途徑所散失的能量，從而保證自身體溫在寒冷環境中的穩定。

圖2 北極熊毛的簡化結構模型

2.1 熱傳導

根據簡化模型，熱量通過多孔隔熱層傳導，當環境溫度和北極熊的體溫保持不變時，熱量通過圖示簡化模型一維穩態傳導，根據傅里葉定律，熱傳導的熱通量為：

其中λ為隔熱層的熱導率。結合隔熱層厚度及其兩側溫度差有：

(1)

對于具有多孔結構的保溫層而言，熱量在其中分別通過固體和氣體傳導，固體和氣體具有不同的熱導率。由于北極熊毛內部均為微米級孔，因此孔的尺寸不會影響北極熊毛內部氣體的熱導率，北極熊毛的表觀熱導率只與北極熊毛本身的材料和孔隙率的大小有關：

λ=λs+λg=(1-Π)·λs,0+Π·λg,0

其中λs,0和λg,0分別為北極熊毛固體部分的本體熱導率和空氣熱導率，Π為北極熊毛發的整體孔隙率。

2.2 熱對流

通過北極熊毛的對流散熱主要包括材料內部空氣的對流傳熱以及材料表面和外界的對流傳熱兩部分；從引起流動的原因來看，對流傳熱包括自然對流和強制對流兩種。自然對流的產生來源與系統內部的溫度差所導致的密度差異，強制對流則是在因為外力作用導致的流體流動時產生，對多孔材料內部的氣體，基本僅考慮自然對流。自然對流的強度與格拉曉夫準數(Gr, Grashof number)相關，當Gr<1000時，對流傳熱的影響可以忽略。在常壓下，當孔徑大于10 mm時，Gr才可能大于1000。因此，常見多孔材料內部的對流傳熱可以忽略。

據牛頓冷卻公式，多孔材料表面與周圍環境的對流傳熱通量：

qconv=α(T1-Ta)

(2)

其中α為對流傳熱系數，主要與周圍流體的流動狀況有關，不同介質在不同流動狀態下的對流傳熱系數不同。當在空氣中發生自然對流時，對流傳熱系數約為5～25 W/(m2·K)。

2.3 熱輻射

表面溫度大于絕對零度的物體都會以電磁波的形式向外界環境中輻射能量，不同物體向外界輻射能量的能力與其表面溫度及表面發射率(ε)有關。根據斯特藩-玻爾茲曼定律(Stefan-Boltzmann law)，黑體輻射能力Eb=σ0T4，其中σ0為斯特藩-玻爾茲曼常數，其數值為5.67×10-8W/(m2·K4)。北極熊毛皮可以視為表面溫度為T1，表面發射率為ε的灰體，向外界通過輻射的總能量可以表示為：

(3)

北極熊所處的周圍環境同樣會不斷向其輻射能量，將北極熊周圍物體視為黑體，即認為其發射率(εe)為1，北極熊毛吸收的來自外界環境的輻射能量等于其吸收率乘以外界輻射的總能量(Ee)，又因為材料的吸收率和發射率在數值上相等，因此有：

(4)

因此，根據以上的討論，可以將北極熊毛的傳熱過程簡化為圖3所示的傳熱模型。將北極熊毛發看做熱導率為λ，表面發射率為ε，厚度為b的隔熱層，內表面溫度為北極熊的體溫T0，外表面溫度為T1。當處在溫度為的環境中時Ta，北極熊自身的產熱量為qgen，通過隔熱層傳導的熱量為qcond，隔熱層外表面向周圍環境的對流和輻射散熱量分別為qconv和qrad，周圍環境對隔熱層的輻射熱量為qrad,e。當傳熱過程穩定時，北極熊毛接受的熱量與散失的熱量相等，且隔熱層內外表面的溫度保持穩定。此時，在隔熱層的外表面有：

圖3 北極熊傳熱過程的簡化模型

qcond+qrad,e=qconv+qrad

(5)

在隔熱層的內表面有：

qgen=qcond

(6)

將式(1)～(4)帶入式(5)～(6)中有：

(7)

3 模型參數的確定

根據上文的討論，北極熊毛的傳熱過程被簡化為平行排列的空心管，并且將傳熱過程分為熱傳導、熱對流以及熱輻射三個部分分別計算。為計算北極熊毛的傳熱過程，需要確定模型中的各個參數，如表1中所示。

表1 北極熊毛簡化傳熱模型所需參數及其數值

4 模型的應用與分析

4.1 北極熊毛發傳熱過程的計算

根據圖2中的簡化模型以及表1所列的各參數，將各參數的數值帶入式(7)中，通過計算可以得到北極熊在表中所列的條件下的表面溫度以及通過不同方式所散失的熱量大小：

T1=256.8K=-16.35 ℃

qcond=qgen=60.53 W/m2

qconv=9.72 W/m2

qrad=130.07 W/m2

qrad,e=128.75 W/m2

因此，當環境溫度為-20 ℃時，圖2、圖3中的簡化結構及傳熱模型以及表1中所列的傳熱參數，可以計算得到北極熊毛發的表面溫度約為-16.35 ℃，在此條件下，北極熊需要通過新陳代謝產生的熱量為60.53 W/m2，與文獻中測試所得北極熊在靜坐狀態下的新陳代謝產熱速率接近。

4.2 傳熱過程中不同參數對傳熱過程的影響

在傳熱過程中，各個參數的改變都會對傳熱過程產生影響，通過建立簡化模型可以討論不同參數對傳熱過程的影響，從而加深學生對于傳熱模型中各參數的含義的理解。作為利用多孔結構進行保溫隔熱的典型案例，北極熊毛隔熱層自身的結構特性直接影響保溫層的隔熱性能。在此，本文選取隔熱層的孔隙率Π以及厚度b作為案例，通過改變不同的孔隙率和厚度，計算在只改變這兩個參數中的某一個而保持其他條件不變時，北極熊毛表面溫度T1以及所需要的新陳代謝產熱速率qgen的變化情況。

圖4(a)所示分別為保持環境溫度以及隔熱層的其他參數不變，北極熊毛表面溫度T1以及所需要的新陳代謝產熱量qgen隨著北極熊毛發整體孔隙率Π變化的情況。隨著隔熱層孔隙率的提高，北極熊毛的表面溫度逐漸下降。當孔隙率增大時，由于具有較低熱導率的空氣所占的比例增加，隔熱層的表觀熱導率逐漸降低，保溫性能提高，兩側溫差增大。同時，由于隔熱層保溫性能的提高，為了達到熱穩定所需要的新陳代謝產熱量也隨之減小。另外，因為本文所建立的簡化模型中認為北極熊毛緊密平行排列，所以根據模型計算所得的孔隙率相對較低，而在實際情況中，北極熊毛發之間將存在更多的空隙，毛發整體的熱導率會相對模型中計算值更低，因此實際情況下北極熊毛的表面溫度會更加接近環境溫度，在模型條件下所需要的新陳代謝產熱量也會相對更少。

圖4(b)所示為在保持環境溫度以及隔熱層的其他參數不變，北極熊毛表面溫度T1以及所需要的新陳代謝產熱量qgen隨著北極熊毛發層的厚度b變化的情況。從圖中的曲線可知，北極熊毛的表面溫度以及所需的新陳代謝產熱量隨著隔熱層厚度的增加而急劇減小，當隔熱層厚度約大于4 cm后，表面溫度和新陳代謝產熱量的降低程度減弱，并最終接近某一值(T1≈-18.16 ℃，qgen≈31.29 W/m2)。從圖中可知，當隔熱層的厚度太薄時，為了達到熱穩定狀態所需要的新陳代謝速率極高，僅靠北極熊自身的產熱無法滿足需求，此時北極熊將無法維持穩定的體溫，正常的生理活動將收到影響。長時間在此環境中生存將會威脅北極熊的生命健康。在實際的應用中也可以借鑒這一簡化模型，較小的隔熱層厚度將無法達到理想的保溫效果，而過厚的隔熱保溫層厚度則會造成材料的浪費，根據實際應用的條件以及所使用材料的特性建立模型，可以選取在不同條件下需要的隔熱層厚度，從而避免能量和資源的浪費。

圖4 孔隙率、對流傳熱系數以及隔熱層厚度對北極熊毛表面溫度的影響

5 結 語

隨著我國經濟社會轉型的不斷加快，對于具有堅實專業理論基礎以及突出創新能力的新工科人才的需求日益增加。作為化學工程專業的重要理論基礎，掌握并應用熱量傳遞的各個過程對于新化工學科的高等教育十分重要。本文基于傳統教材中所提供的傳熱過程基礎知識，將課本知識應用于生活中的復雜實際模型，引導學生學會對復雜物體進行分析、簡化和建模，以此分析復雜對象的傳熱過程，并通過改變不同的傳熱過程參數，討論了不同參數對于傳熱過程的影響。

值得注意的是，為了更高效的引導學生深入了解和掌握傳熱過程，本文對北極熊毛的傳熱模型進行了大量的簡化。例如，在實際過程中沒有考慮北極熊毛內部復雜孔結構對于熱傳導、熱對流以及熱輻射過程的影響，并且只考慮了自然對流過程。在實際模型中，北極熊毛的中空部分的多孔結構會進一步增加北極熊毛發整體的熱導率，并且降低從皮膚表面輻射至北極熊毛發外側的輻射能量，這會使得北極熊毛具有比簡化模型中更好的保溫隔熱效果。另外，北極熊毛除了作為隔熱層減少自身熱量散失外，也能夠通過光波導等形式利用來自太陽的輻射，進一步提高自身的保溫性能。除了北極熊毛本身的特點外，環境條件也會大大影響傳熱過程，在北極多風的環境中發生的對流傳熱多數為強制對流，此時的對流傳熱系數將遠大于自然對流傳熱系數，此時北極熊毛的傳熱過程也會發生十分明顯的變化。

在相關知識的講授中，可以在教育學生理解并掌握簡化模型的基礎上，引導學有余力或者有濃厚興趣的學生對于北極熊毛的復雜模型進行更加細致深入的研究。并且可以引導學生將相關模型應用在不同的對象中，例如嚴寒或高溫的極端環境中的保溫，太空環境中人員及器械的保溫等，通過對相關對象的建模分析，選取合適的傳熱參數，實現能量和資源的節約。另外，通過調節不同的參數，也可以實現對材料性能的智能調節，實現在不同環境中的快速智能切換。在由淺如深的教學過程中鍛煉相關學生自主思考，獨立創新的能力，培養學生對于生產實踐以及科學研究的興趣，培養具有國際競爭力的新型工科人才。