在概念教學中培養學生抽象素養

徐友華

[摘 要]概念教學應充分揭示概念的發生、發展和形成過程，避免概念建構過程中的“滑過”現象.只有精心設計概念建構過程中的抽象活動環節， 加強教材研究，加深教學內容的理解，才能幫助學生更好地掌握概念，培養學生的抽象素養.

[關鍵詞]概念教學;抽象素養;反思

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0013-02

一、問題的提出

概念課是高中數學教學中最重要的課型，始終是大家關注和研究的熱點.數學概念的高度概括性與抽象性決定了數學概念是培養學生概括能力、抽象素養的重要載體.但在概念課課堂教學中仍存在 “‘迫不及待’地‘告訴’，‘急不可耐’地‘叮囑’”的現象，使得概念的形成過程被匆匆“滑過”.因此，教師應精心設計數學活動環節， 讓數學活動催化概念抽象，充分揭示數學概念的發生、發展過程，讓學生經歷數學抽象活動過程，并體會蘊含其中的數學思想方法.

“函數單調性”作為高中數學函數部分研究的首個性質，其研究方法具有典型性、示范性，其學習經驗、過程可為后續奇偶性、對稱性等函數性質的學習提供經驗范式.

二、案例設計及分析

學生在初中已學過一次函數、二次函數、反比例函數等函數模型，對圖像的上升與下降并不陌生，即對函數單調性有了一定的感性認識.本節課的學習重點在于將學生對函數單調性概念從已有的感性認識發展到以符號語言為表示形式的理性認識，從定性分析邁進定量分析.鑒于學生在圖形語言向自然語言的過渡過程中沒有什么困難，教學活動設計僅呈現從自然語言到符號語言的建構過程.

教學活動一：用數學符號語言表示“函數值隨自變量的增大而增大” ，感受形與數的對立統一.

設計意圖：函數的單調性表示函數的變化趨勢，主要通過兩個角度來體現.其一，“形”的角度，就是研究函數圖像走勢的變化規律，即是上升還是下降;其二，“數”的角度，反映的是當自變量增加時，函數值是增加還是減少.在建構函數單調性概念的過程中，要體現數學研究的框架與一般方法，密切聯系“數”與“形”兩個角度進行數學活動設計，運用多元表征，幫助學生理解函數單調性概念.

問題1：在初中我們利用函數的圖像研究過函數值隨自變量增大而增大（或減小）的性質，你能用手勢比畫一個函數值隨著自變量增大而增大的函數圖像嗎？

學生比畫.

追問：你能列舉一個函數值隨著自變量增大而增大的函數嗎？

學生舉例，如[f（x）=kx+b（k>0）].

追問：通過函數圖像，我們可以觀察出一個函數值隨著自變量增大而增大（或減小），但如果我們不清楚函數的具體圖像怎么辦？比如你能判斷函數[f（x）=x+1x]在區間[（1，+∞）]上的單調性嗎？

師生交流討論.

教師：如果不清楚函數的具體圖像，我們就無法從圖形語言到自然語言來辨別函數的單調性，那么還有其他語言嗎？

學生：符號語言.

設計意圖：將教材的例3進行改編，使問題前置，設計一個圖像未知的問題，引發認知沖突，凸顯概念精致的必要性， 凸顯符號語言的重要性.

問題2：如何用數學符號體現“增大”？如何用數學符號語言表達“自變量的增大”？如何用數學符號語言表達“函數值隨自變量的增大而增大”？

設計意圖：引導學生分析關鍵詞“增大”的含義及其符號表示，得出“增大”刻畫的是一種相對性，通過比較來體現.說明第二個量比第一個量大，它是兩個數值之間的大小比較.因此，可將自變量[x]的第一個取值記為[x1]，第二個取值記為[x2]，則自然語言“函數值隨自變量的增大而增大”表示為“當[x1<x2]時，有[f（x1）<f（x2）]”.

問題3：在區間D內，取[x1]，[x2]，且[x1<x2]，有[f（x1）<f（x2）]，是否一定有“函數值隨著自變量的增大而增大”？

設計意圖：放手讓學生思考討論，教師引導學生不斷完善認知結構.

追問：（如果回答不行）為什么不行？要取多少組才行？無限組行嗎？

設計意圖：通過探究，學生發現：對區間D上有限組或無限組自變量滿足[x1<x2]，有[f（x1）<f（x2）]，都不能反映“函數值隨著自變量的增大而增大”的本質.

問題4：要取遍區間上的所有值才行，能做到嗎？如何做到？

師生活動，學生討論.

教師提示：在此之前，我們有沒有遇到過“無法窮盡”的情況？當時是怎么處理的？

設計意圖：啟發學生引入“任意”一詞.

至此，學生基本上能夠理解并用數學符號語言來表示 “函數值隨著自變量的增大而增大”.即對于區間D內的任意兩個值[x1]，[x2]，當[x1<x2]時，都有[f（x1）<f（x2）].

教學活動二：歸納、完善活動一的結論，抽象出單調性概念，感受有限與無限之間的對立統一.

設計意圖：函數的單調性概念中既有有限與無限之間的對立統一，也蘊含了變與不變的辯證關系.譬如增函數概念闡明：在某個區間D上，對于任意[x1<x2]，都有[f（x1）<f（x2）].這表明任何一組自變量及對應函數值都必須滿足上述關系.從數量上來看就有無窮多組.因此，在數學活動中，幫助學生引入“任意”，化無限為有限.“任意”的引入打破了無限與有限之間的界限，體現了單調性概念中的有限與無限的對立統一.

師生共同歸納完成：一般地，設函數的定義域為M，區間D為M的子集.

如果[?x1]，[x2∈D]，當[x1<x2]時，都有[f（x1）<f（x2）]，那么就稱函數[f（x）]在區間D上單調遞增.特別地，當函數[f（x）]在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數.

如果[?x1]，[x2∈D]，當[x1<x2]時，都有[f（x1）>f（x2）]，那么就稱函數[f（x）]在區間D上單調遞減.特別地，當函數[f（x）]在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數.

如果函數[y=f（x）]在區間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數[y=f（x）]在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫作[y=f（x）]的單調區間.

教學活動三：理解概念，感受三種語言之間的對立統一.

設計意圖：在教學活動的設計上，將圖像分解為兩個維度：水平方向（自變量）以及豎直方向（函數值）.從圖像語言過渡到自然語言，使得單調性的判定變得精致，也為圖像未知的函數的單調性的考查找到了問題解決的途徑.自然語言克服了圖像語言的局限性，但仍需進一步精致，即需引入符號語言來明確函數單調性的定義.從圖像語言到自然語言再到符號語言是認識的不斷升華.

問題5：考察某函數的單調性時，可否將考察的區間省去？舉例說明.

問題6：設A是區間D上某些自變量的值組成的集合，而且[?x1]，[x2∈A]，當[x1<x2]時，都有[f（x1）<f（x2）]，我們能說函數[f（x）]在區間D上單調遞增嗎？你能舉例說明嗎？

問題7：你能舉出在整個定義域內是單調遞增的函數例子嗎？你能舉出在定義域內的某些區間上是單調遞增但在另一些區間上單調遞減的函數例子嗎？

設計意圖：借助問題辨析，幫助學生系統、全面、深刻地理解函數的單調性.問題設計中通過“舉例”辨識出學生對于函數單調性概念的真、假理解.

教學活動四： 鞏固概念（略）.

設計意圖：設計不斷深入的教學活動，使得函數的單調性從圖形語言到自然語言再到符號語言，這是函數單調性這個概念逐步精致的過程，也是一個逐步抽象的過程，是通過設計活動促進學生抽象素養發展的過程.

在函數單調性概念的形成過程中，起決定性作用的智力活動方式是學生根據自己的生活體驗，通過對函數圖像的觀察，對初中函數單調性描述性定義的回憶，對函數單調性概念進行符號化建構.其中，觀察、分析是基礎，抽象、概括是關鍵，學生能否在觀察分析的基礎上抽象出函數單調性的本質屬性并概括出其定義，是這種智力活動方式成敗的關鍵，也是區分學生的學習是否有意義的關鍵.

掌握數學概念是學生學好數學知識、掌握數學思想方法、提高思維能力、發展數學素養的基礎.數學概念的建構過程，是培養學生抽象素養、科學態度和理性精神的重要契機.而數學抽象是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中.在概念課上，通過設計數學活動環節，在層層遞進的問題的探索求解過程中，讓學生參與完整的活動過程（包括感知與識別、分類與概括、想象與建構、定義與表征、系統化與結構化），通過比較、分析、判斷、質疑、概括等活動來獲得概念.只有讓學生充分參與到數學概念的發生、發展和形成過程，才能幫助學生發展數學抽象素養，培育科學態度和理性精神.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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（責任編輯 黃桂堅）