思維接力：小初銜接的應然視角
——以“數的運算”為例

江蘇省蘇州市彩香實驗小學校 陸 椿

分析小初數學教學的銜接問題，筆者以為，首要是關注并解決好思維銜接的問題。以“數的運算”為例，初中階段的內容較之于小學有兩大顯著變化：一是數的范圍擴充到有理數領域，數的運算也相應地在加、減、乘、除四則運算的基礎上引入了乘方、開方運算，實現了由局部到全局的跨越。二是研究領域從“數”擴充到“式”，從算術運算向代數運算過渡，這是學生在認知上由具體到抽象、由特殊到一般的跨越。

一、類比：溝通思維的聯系

無論是小學還是初中，基本算理是一脈相承的。教學中應關注知識整體，溝通不同單元板塊之間的內在聯系，并做適當延伸。在“數的運算”的復習中，出示如下題組：上述由整數、小數和分數三個計算組成的題組，學生在計算得到正確結果方面顯然不存在困難。重點引導學生以此來分別復習整數、小數、分數加（減）法的計算法則。這三種運算表面上看有比較大的差異：整數加（減）法要求相同數位對齊；小數加（減）法要求小數點對齊；而分數加（減）法關鍵是要統一分數單位。繼續引導學生從表面走向深入：實質上三則計算法則的核心都是相同計數單位方可直接相加減，異分母分數之所以不能直接相加減是因為它們的分數單位不統一，需要轉異為同。在學生初步感悟到“數的加減運算，就是‘基本單位’相同情況下，‘基本單位’的個數的加減運算”的基礎上，拓展思維，如：4a+5a，“基本單位”是a，就是4個a加5個a等于9個a，即9a；6ab-2ab，“基本單位”是ab，就是6個ab減2個ab等于4個ab，即4ab。如此嘗試用“基本單位”的思維方法來進行含有字母的式子的加減運算，學生進入初中后，通過類比便能更快地掌握和理解式的運算。

在小學階段的教學中，還有很多地方可進行上述類比，本文就不一一列舉了。小學階段的計算教學，大多通過生活情境引入。如整數的四則混合運算，就是通過模擬購物，先分步再綜合，最后得出運算順序。這樣的編排，符合小學生的年齡特征，也利于學生通過現實情境來理解先乘除再加減的運算順序。進入初中后，引入了乘方和開方運算，由二級運算拓展到三級運算。因此在教學中，可結合情境向學生說明：從運算的發展來看，加減法是最基本的運算，乘法是相同加數連加的簡便運算，除法則是遞減相同減數的簡便運算（也是乘法的逆運算），乘除法比加減法高一級。因此，“先乘除再加減”既是解決實際問題的需要，也是根據數學的發展而規定的。而乘方（開方）則是第三級運算，乘方可以看作是乘法的簡便運算，要優先計算，這是由法則本身的形成及法則之間的關系規定的。這樣就便于學生循序漸進地理解和掌握三級運算的運算順序。

教學中還要注意溝通四則運算的意義、算理和算法、運算律和運算性質之間的聯系。理解運算律（特別是乘法分配律）和運算性質的本質和作用，溝通一級運算和二級運算之間的聯系。溝通“數”與“式”的聯系，通過類比將“數的運算”過渡到“式的運算”。挖掘教材中的銜接點，如乘方、解方程、面積和體積的公式計算等，主動實現小初的整體銜接。

二、遷移：感悟思維的遞進

從“數”到“式”的變化，是初中階段顯著的一個變化。用字母表示數是小初銜接的一項重要內容，是初中階段學習代數式、整式的基礎。如：兒子今年a歲，爸爸的年齡是兒子的4倍，媽媽比兒子大26歲，則爸爸年齡為4a歲，媽媽年齡為（a+26）歲。這些關系，在小學稱為用字母表示數，而到了初中，4a我們稱為單項式，a+26為代數式。小學階段可適當加強用字母表示稍復雜的數量關系的教學，以順利過渡到初中“式”的運算。

小學階段的運算主要是“數”在參與運算，而初中階段則進入了代數式的領域——整式、分式、有理式、代數式等，更強調數學的本質，也更抽象，更能解決問題。從思維層面來說，無論是“數”還是“式”，其實質都是基于乘法分配律的運算。乘法分配律:（a+b）×c=a×c+b×c，拓展時可以把括號內的兩個數增加到三個數或更多數，如（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d，這是從量上進行拓展。還可以安排這樣的思維訓練：

求圖1所示樓層的總面積，可以這樣算：12b+12b+12b+ab=36b+ab；也可以這樣算：（12+12+12+a）×b=（36+a）×b。這兩種算法都是正確的，通過兩種算法滲透運用乘法分配律進行合并同類項的基本方法。

圖1

另外在小學階段，還可加強運用乘法分配律進行簡便運算的各種變式練習，如：4.44×3.3+2.22×3.4=（2.22×2）×3.3+2.22×3.4=2.22×6.6+2.22×3.4=2.22×10=22.2；3333×2222÷6666=（3×1111）×（2×1111）÷（6×1111）=1111。通過讓學生找相同的“數”（即相同的“項”），體會“合并”的數學思想方法。

從“數”到“式”，雖然外在“形”的變化很大，但實質上與小學階段學過的運算律和運算性質是一致的。在小初銜接中，我們就要抓住這一“變”與“不變”的辯證關系，進行滲透。如整式的運算中，去括號是一個易錯點，其實去括號也可以利用小學階段的乘法分配律或減法的性質來說明。因此在小學階段，應加強運用運算定律和運算性質的訓練，達到知識遷移的目的。

三、推理：體會思維的延展

教材的知識體系是根據學生的年齡特征和認知規律交替螺旋上升編排的，學生的思維要經歷不同階段的延伸、拓展和豐富，由淺入深，最終形成清晰和完整的概念。因此，我們要建立小初銜接的整體理念，主動進行思維推理。如蘇教版數學五年級下冊安排了《用字母表示數》，其中涉及“平方”的知識，即“a×a可以寫成a·a，也可以寫成a2，a2讀作a的平方”。在六年級上冊《長方體和正方體》中涉及“立方”的知識，即“a·a·a也可以寫成a3，讀作a的立方，a3表示三個a相乘”。在七年級上冊《有理數》中，則對“有理數的乘方”進行了系統的教學，指出：“一個數的二次方，也稱為這個數的平方；一個數的三次方，也稱為這個數的立方。”以此溝通前后知識間的聯系，明確“平方”和“立方”的實質都是“求相同因數的積的運算”。

小學階段關于“平方”和“立方”的學習主要是讓學生理解它們的意義、讀法和寫法，以及作為計量單位（如cm3、m2）的表示方式和含義。到了初中，“乘方”則作為一級運算直接參與到有理數的混合運算中。因此，我們在小學階段可以滲透以下幾個方面的教學：

首先，讓學生理解a2和a3的意義，a2=a×a，表示2個a相乘；2a=a+a，表示2個a相加。對比兩者在“形”與“意”方面的異同。也可以讓學生說說b3表示的意義。

其次，適當安排簡單的乘方運算，如32=3×3=9，43=4×4×4=64。在運算的時候，強調讓學生寫出過程，即幾個幾相乘，以加深對乘方意義的理解。除了求整數的乘方外，還可以安排小數和分數的乘方運算，如0.12=0.1×0.1=0.01，0.23=0.2×0.2×0.2=0.008。需要特別指出的是，求某個分數的二次方或三次方，在形式上應該用小括號把分數整個括起來，同時分子和分母都要參與運算。

第三，滲透含有乘方的混合運算的運算順序。雖然含有乘方的混合運算是七年級的全新內容，但小學階段其實也有所涉及。如圓的面積計算公式S=πr2，圓柱的體積計算公式v=πr2·h，學生都知道要先算“半徑的平方”，再依次計算其他步驟。教師可強調類似含有“平方”的需要優先計算，并安排一些練習讓學生計算和體會，如32-23，82-14，8+22，等等。需要注意的是，含有乘方的混合運算，除乘方運算本身外，其他以一步為宜。

最后，在六年級總復習階段，復習到“平方”和“立方”的知識時，也可以進行一下適當拓展，如：10×10寫作102，10×10×10寫作103，那10×10×10×10可以寫作什么呢？讓學生通過找規律的形式，合情推理，為后續學習做鋪墊。

總之，當小初過渡中思維實現了無縫銜接，其他諸如教學方式、知識內容、學習習慣等方面的問題也就迎刃而解了。