分類
——數(shù)學(xué)課堂探索新知的“翅膀”

江蘇省鹽城市濱海縣教師發(fā)展中心 於紅忠

分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，有效滲透分類的教學(xué)思想，不僅有利于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征，感受數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，還能促進(jìn)學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題，提高他們的思維能力、創(chuàng)新能力，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。當(dāng)學(xué)生在探究新知時，可以借助分類數(shù)學(xué)思想，有效突破所學(xué)知識的重難點，進(jìn)而建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

一、分類——讓概念形成水到渠成

小學(xué)生對于概念的理解相對比較困難，因此，在教學(xué)時，教師可以借助分類的思想，讓學(xué)生在比較與分析中理解枯燥的概念，從而實現(xiàn)“水到渠成”的教學(xué)效果。

案例：蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊“簡易方程”教學(xué)片段

首先，出示天平，放置不同的物體和砝碼，得到下面的式子：

其次，讓學(xué)生再隨意地說出幾個式子。（略）

再次，讓學(xué)生按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，將上面的式子進(jìn)行分類。

交流分類：

（1）將式子按照不同的連接方式（＞、＝、＜）分成三類。

（2）將式子的兩邊按是否相等，分為兩類，得出：等式和不等式。

（3）將式子按照是否含有字母x分成兩類。

師（指著第②組的兩道等式）：這類式子有什么特征？

生：這類式子，既含有未知數(shù)，又是等式。

師：我們把這樣的式子稱之為方程。

師：你認(rèn)為怎樣的式子，就是方程？

學(xué)生交流。

上面的教學(xué)活動，通過天平為形象支撐，并結(jié)合具體的問題情境，“用式子表示天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系”，讓學(xué)生觀察、分析、寫出式子，再通過多次分類，感受不同類別式子的特征，進(jìn)而引出方程，揭示方程的含義。在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，可以看出，分類越精細(xì)，思維越清晰，學(xué)習(xí)越深入。教師的教學(xué)安排符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，既體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用，又將學(xué)生置于主體地位，主動參與概念的形成過程。在整個教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師并沒有機(jī)械地傳授甚至告訴學(xué)生，而是通過數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實生活中特定的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，在對分類結(jié)果的辨析中建立方程的模型，使得學(xué)生對方程的認(rèn)識更深刻、更全面，為他們今后深入學(xué)習(xí)方程打下堅實的基礎(chǔ)。

二、分類——為知識遷徙建立途徑

計算的學(xué)習(xí)貫穿于小學(xué)各個階段，其中計算法則的學(xué)習(xí)在不同的年級都有明確的要求，分類的思想在計算教學(xué)中，可以幫助學(xué)生在已有的知識經(jīng)驗與新的知識之間建立聯(lián)系，順利地實現(xiàn)知識的遷徙。

案例：蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的教學(xué)

出示：

讓學(xué)生提出一個一步計算的問題，并列出算式。

上面的教學(xué)互動，教師通過有效引導(dǎo)，讓學(xué)生將算式分類，找到同分母分?jǐn)?shù)加減法與異分母分?jǐn)?shù)加減法之間的異同，強(qiáng)化了學(xué)生對這兩類算式特征的認(rèn)識，理解并打通了同分母分?jǐn)?shù)加減法與異分母分?jǐn)?shù)加減法之間的聯(lián)系，為接下來異分母分?jǐn)?shù)加減法的教學(xué)打下了基礎(chǔ)。學(xué)生運(yùn)用學(xué)過的同分母分?jǐn)?shù)加減法來探究異分母分?jǐn)?shù)加減法的知識，可以借助圖形并運(yùn)用通分轉(zhuǎn)化的方法，將新知轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過的知識再計算。這樣的分類也為學(xué)生后續(xù)的探究活動提供了可能，學(xué)生在自主活動中，會很快明白算理，厘清不同算式之間的相互聯(lián)系，對異分母分?jǐn)?shù)加減法的認(rèn)識也會更加深刻。

三、分類——使圖形認(rèn)知凸顯無疑

在圖形與幾何知識中，分類的思想同樣有著廣泛的應(yīng)用，無論是直觀性的教學(xué)，還是抽象性的學(xué)習(xí)，分類的思想都能夠幫助學(xué)生更好地感悟圖形的形狀、大小、位置等特征，完善學(xué)生對于這部分知識的理解。

案例：蘇教版數(shù)學(xué)四年級上冊“平行與垂直”單元的整體教學(xué)

課件出示：

讓學(xué)生進(jìn)行分類。

可能出現(xiàn)的分類方法：①和④是一類，因為它們是交叉的，②和③是一類，它們沒有交叉。

引導(dǎo)得出：上面的③號圖，是兩條直線，它們的長度是無限的，也是交叉的。

修正分類：①③④是一類，兩條直線是相交的；而②單獨(dú)是一類，其中的兩條線無論怎么延長都不會相交。

師：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行。

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識平行線（略）

師：如果將上面相交的兩條直線再分類，可以怎樣分？

生：①③是一類，④單獨(dú)是一類。

師：為什么？

生：①③相交的四個角有的是鈍角，有的是銳角；而④號圖相交的四個角都是直角。

師：兩條直線相交成4個直角，這兩條直線互相垂直。

……

上面的教學(xué)環(huán)節(jié)，教師通過對圖形的分類，讓學(xué)生感受到了同一平面內(nèi)兩條直線的不同位置關(guān)系，即平行和相交，緊接著教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行二次分類，引出垂直。整個教學(xué)環(huán)節(jié)清晰，圖形分類合理，學(xué)生在分類的過程中，感受到了每一類別的不同點，也就是平行、相交和垂直的特征。教師讓學(xué)生用分類比較的方法，有利于找出同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，有利于找出同一平面內(nèi)兩條直線相交時還會有垂直關(guān)系。這樣的教學(xué)活動，教師教得流暢，學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)生對平行和垂直的認(rèn)識非常到位，初步感受到了從一般到特殊，從簡單到復(fù)雜的辯證關(guān)系。

四、分類——助規(guī)律思考完整有序

在解決問題策略的教學(xué)中，分類的思想同樣有利于學(xué)生概括、總結(jié)出規(guī)律。在這部分知識的教學(xué)中，重點是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的條件進(jìn)行分類、分析，讓學(xué)生的思考更完整、更有序，從而讓解題的規(guī)律更易于尋找。

案例：蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊“間隔排列”的教學(xué)。

出示：

首先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“一一間隔排列”。

師：如果讓你將這些事物分分類，你會嗎？

（同伴交流）

生：蘿卜和白菜一類，其余一類，因為他們都是4個。

師：我們一起來統(tǒng)計一下，各有幾個。

生：蘿卜4個，白菜4棵，兔子有8只，蘑菇7個……

生：蘑菇和白菜數(shù)量相同的分一類，不同的分一類。

師：非常好，還有其它不一樣的分類方法嗎？

生：兔子、籬笆、夾子一類；白菜、蘿卜一類。

師：你是怎么分類的？

生：兔子和蘑菇一一間隔排列，開頭是兔子，最后一個也是兔子；毛巾和夾子一一間隔排列，第一個是夾子，最后一個也是夾子；木樁和籬笆一一間隔，第一個是木樁，最后一個也是木樁。所以他們是一類。而白菜和蘿卜分為另一類，因為第一個是白菜，最后一個卻是蘿卜。

師：你真不簡單，不僅表達(dá)了自己的觀點，而且還闡明了道理。也就是說這一類是頭尾相同，而另一類頭尾不相同。

師：觀察一下頭尾相同的數(shù)量有什么不同？

生：多一個。

師：兔子和蘑菇這一組，蘑菇在哪里？

生：在兔子的中間。

師：數(shù)量有什么關(guān)系？

生：多一個。

師：能說具體點嗎？

生：兔子在兩頭，所以兔子比蘑菇多一個。

師：木樁和籬笆，頭尾是什么？

生：頭尾是木樁，所以木樁比籬笆多一個。

師：頭和尾稱為兩端物體，之間的稱為間隔物體，數(shù)量上是一樣的嗎？

生：不一樣，都相差1。

師：具體點？

生：兩端物體比間隔物體多1。

師：頭尾不同的，誰屬于這種？

生：白菜和蘿卜。

師：他們的數(shù)量有什么關(guān)系？

生：一樣多。

師：通過觀察兔子樂園中一一間隔排列的物體，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了了不起的規(guī)律。但是不是所有一一間隔排列的兩種物體的數(shù)量之間都有這樣的規(guī)律呢？

……

教師通過循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生將圖中的這些物體進(jìn)行多次分類，通過分類，學(xué)生清楚地知道了這些物體的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系，明白了兩端物體相同，則比中間物體多1；兩端物體不同，這兩種物體一樣多這一道理。可見對于事物間存在不同規(guī)律時，我們可以采用分類的方法，將物體先分分類，再進(jìn)一步探索它們的奧秘，找到這類物體的排列規(guī)律。“間隔排列”的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生在分類的基礎(chǔ)上初步形成模型思維，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。學(xué)生在經(jīng)歷“問題情境—合理分類—規(guī)律探索—拓展運(yùn)用”的學(xué)習(xí)過程中，獲得了活動經(jīng)驗，提高了思維品質(zhì)。

總之，教師在教學(xué)中要有效滲透分類思想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會新知探究的一般方法，讓學(xué)生在分類比較中獲得知識的本質(zhì)特征。分類思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中應(yīng)用廣泛，教師要充分發(fā)掘教材，引導(dǎo)學(xué)生去感受分類思想給他們帶來的好處，培養(yǎng)學(xué)生自覺分類的意識，讓分類思想植根于學(xué)生的腦海中，為他們插上一雙探索新知的“翅膀”。