精推細(xì)敲 突出本質(zhì) 彰顯素養(yǎng)

【摘 要】 幾何作圖以開放發(fā)散的思路、幾何直觀的方式、思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫵蔀閿?shù)學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)含思維價值的教學(xué)內(nèi)容.一道好的作圖試題，從初步構(gòu)想到最終定稿乃至到考后反思稿的命制過程中，需要對試題文本和結(jié)構(gòu)進(jìn)行精雕細(xì)琢，深度思考，以達(dá)到以下目的：經(jīng)歷精推細(xì)敲，實現(xiàn)科學(xué)評價;回歸教材文本，考查核心知識;關(guān)注學(xué)生現(xiàn)實，凸顯育人價值;彰顯思維品質(zhì)，引領(lǐng)教學(xué)導(dǎo)向.

【關(guān)鍵詞】 幾何作圖;無刻度直尺;命題研究

尺規(guī)作圖作為一種常規(guī)的試題類型受到試題命制者的青睞，相較于尺規(guī)作圖，僅用無刻度直尺完成作圖的試題表現(xiàn)出工具更為弱化、思維含量更高的特點.此類試題融入更多的核心知識和理性思考，工具方便、操作簡單，更能考查學(xué)生對幾何知識的掌握與靈活運(yùn)用，有利于考查學(xué)生思維的邏輯性、知識的關(guān)聯(lián)性、能力的綜合性等數(shù)學(xué)素養(yǎng).筆者在命制本區(qū)九年級檢測試題時，將倒數(shù)第三題以無刻度直尺作圖的方式呈現(xiàn)，現(xiàn)將本題的命題構(gòu)想、歷程及思考呈現(xiàn)如下.

1 命題構(gòu)想

根據(jù)試卷的雙向細(xì)目表的安排，第25題是全卷倒數(shù)第3題，滿分為8分，難度系數(shù)0.4，試題創(chuàng)新命題形式，嘗試舍去常用的網(wǎng)格圖背景，探索無網(wǎng)格圖背景的無刻度直尺作圖，以“關(guān)注核心知識，凸顯數(shù)學(xué)素養(yǎng)”為基本立意，基于保持整份試卷的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定及試題風(fēng)格，具體構(gòu)想如下：（1）問題設(shè)計以學(xué)生熟悉的核心幾何知識為載體，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，著重考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力;（2）試題靈活考查軸對稱圖形變換的性質(zhì);（3）試題要源于教材，表述簡潔，兼顧基礎(chǔ)性和區(qū)分度，突出考查直觀想象和邏輯推理等核心能力.

2 命題歷程2.1 初始稿：原以為很美

如圖1，已知△ABC，分別按下列要求作出圖形.（不寫畫法，保留作圖痕跡）

（1）用直尺和圓規(guī)畫出線段BC的垂直平分線l.

（2）只用無刻度的直尺，畫出點A關(guān)于直線l的對稱點.

解答 （1）如圖2;（2）如圖2，直線l與AC交于點E，連接BA并延長交直線l于點D，連接CD，連接點BE并延長交CD于點F，點F即所求.

診斷 第1問很基礎(chǔ)，并且為第2問鋪墊，梯度比較合理，區(qū)分度較好.第2問并沒有重復(fù)考查“對稱軸是對應(yīng)點所連線段的垂直平分線”的性質(zhì)，而是進(jìn)而考查學(xué)生靈活運(yùn)用“兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上”的性質(zhì)來構(gòu)圖，注重理性思維水平的考查.

細(xì)細(xì)品味，初稿有明顯不足.首先，兩問的作圖工具并不一致，顯得刻意，不和諧自然;其次，要求畫出點A的對稱點，呈現(xiàn)的△ABC不僅顯得多余，而且線段AB、AC對于第2問有明顯的提示作用，弱化了靈活運(yùn)用軸對稱性質(zhì)來有序構(gòu)圖的思維含量.于是剝離出初稿中的無關(guān)因素，只呈現(xiàn)更為本質(zhì)的要素，打磨成改進(jìn)稿.2.2 改進(jìn)稿：自以為真美

如圖3，直線l是線段BC的垂直平分線，點A是直線l外一點，位置如圖所示.只用一把無刻度的直尺，過點A作BC的平行線并證明.（不寫作法，保留作圖痕跡）

解答 如圖4，連接AC交直線l于點E，連接BA并延長交直線l于點D，連接CD，連接點BE并延長交CD于點F，作直線AF即所求.

證明方法省略.

診斷 改進(jìn)稿的呈現(xiàn)兼具嚴(yán)謹(jǐn)性和簡潔性，除了考查學(xué)生的作圖能力，在完成證明的過程中進(jìn)一步考查邏輯推理能力.第1問的作圖不僅摒棄了無關(guān)因素的影響，而且將直白的作對稱點改進(jìn)成過直線外一點作已知直線的平行線，這樣“一點兩線加垂直”的試題呈現(xiàn)極其簡約，然而，簡約而不簡單，與試題簡潔的呈現(xiàn)形成鮮明對比的是作圖探究背后蘊(yùn)含的思維價值.本題作AF∥BC本質(zhì)就是作AF⊥l，作AF⊥l只需作點A的對稱點，那如何用無刻度直尺作對稱點，需要又一次調(diào)用另一條軸對稱的性質(zhì)來理性構(gòu)建圖形，突出考查學(xué)生從觀察圖形、追溯源頭、探析作法、完成構(gòu)圖經(jīng)歷的完整探究過程.第2問的作圖證明涉及到“圖形與幾何”領(lǐng)域的全等三角形、相似三角形、等腰三角形、線段垂直平分線、平行線的判定和性質(zhì)等核心知識，證明方法多樣，對學(xué)生邏輯推理能力的要求較高.

改進(jìn)稿突出考查了學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理的能力，美中不足的是兩問都對學(xué)生的思維要求較高，難度較大，對于幾何作圖中邏輯推理能力的考查超出了課標(biāo)的要求，作為一道區(qū)域性的統(tǒng)測試題，顯然不合適，于是再次精推細(xì)敲，反復(fù)斟酌，從而形成審定稿.2.3 審定稿：當(dāng)時覺得美

已知⊙O是△ABC的外接圓，過點O作OD⊥BC，垂足為D.

（1）在圖5中，只用無刻度的直尺，畫出△ABC的角平分線AE.

（2）在圖6中，只用無刻度的直尺，過點A作AP∥BC，并說明理由.

解答 （1）如圖7，延長OD交⊙O于點E，連接AE交BC于點F，AF即所求.

（2）方法1 如圖8，延長DO交AB于點E，連接CE并延長交⊙O于點P，作直線AP即所求.證明：由OD過圓心，OD⊥BC，得BD=CD.即OD是BC的垂直平分線.所以EB=EC.可得∠B=∠BCE.又∠B=∠APC，可得∠BCE=∠APC，所以AP∥BC.

方法2 如圖9，分別延長CA、DO交于點F，連接BF交⊙O于點P，作直線AP即所求.證明：由OD過圓心，OD⊥BC，得BD=CD.即OD是BC的垂直平分線.由FB=FC.可得∠FBC=∠C.又因為四邊形PBCA是圓內(nèi)接四邊形，所以∠FPA=∠C，可得∠FBC=∠FPA，所以AP∥BC.

方法3 如圖10，連接BO、CO分別交⊙O于點F、G，連接GA交直線OD于點H，連接FH并延長交⊙O于點P，作直線AP即所求.證明略.

診斷 反復(fù)斟酌后，引入圓的背景，并將“一點兩線”恢復(fù)成初始稿的△ABC，繼續(xù)探究平行線的作法，增加第（1）問作三角形的角平分線.圓是重要的軸對稱圖形，它的自然融入不但可以容易構(gòu)造新的點，有效降低難度，同時也很好地考查圓中相關(guān)核心知識.無論作三角形的角平分線，還是作平行，都需要學(xué)生關(guān)聯(lián)圓中核心知識，有序構(gòu)建基本圖形來解決問題.

圓背景的融入還使作平行線的方法由單一變得多樣化，作平行線的關(guān)鍵是運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)，明確了對稱軸的突出地位，確定對稱軸的三種方法也應(yīng)運(yùn)而生.因為對稱軸上可以利用的對稱線段的所在直線的交點有3個，分別是圖8，9，10中的E，F(xiàn)，H.其中，方法1正是利用圓的對稱性將作圖由原來的連5條線減少為2條，更為簡潔又不失理性思考，同時作法的證明難度由于圓的核心知識的運(yùn)用比改進(jìn)稿有顯著降低.

經(jīng)歷試題的精雕細(xì)琢，最終審定成稿，并順利地進(jìn)行了統(tǒng)測.通過試題批改的數(shù)據(jù)反饋，雖然試題的難度和區(qū)分度都達(dá)到了預(yù)期，但細(xì)細(xì)品味，反復(fù)琢磨，總覺意猶未盡.首先，第1問的作圖難度還是有點大，得分率不高;其次第2問的作圖和證明的難度很接近，有重復(fù)考查之嫌，沒有層層遞進(jìn)，平行的作法探析過程本身就對邏輯推理有很好的考查，而作法證明與前者并無明顯的區(qū)別.最后，兩問之間沒有很強(qiáng)的邏輯關(guān)系，整體性和系統(tǒng)性也不夠，基于統(tǒng)測的數(shù)據(jù)分析，對審定稿又進(jìn)行了改進(jìn)，最終形成反思稿.2.4 反思稿：實現(xiàn)真的美

如圖11，已知⊙O是△ABC的外接圓，過點O作OD⊥BC，垂足為D.只用無刻度的直尺，你能過點A畫出△ABC的哪些特殊線段？請畫出這些線段.（不寫作法，保留作圖痕跡）

解答 過點A可以畫出△ABC的中線、角平分線、高.如圖12，連接AD即△ABC的中線;如圖13，延長OD交⊙O于點E，連接AE交BC于點F，AF即△ABC的角平分線.

作高的方法1 如圖14，延長DO交AB于點E，連接CE并延長交⊙O于點F，連接FO并延長交⊙O于點G.連接AG交BC于點H，AH即△ABC的高.

作高的方法2 如圖15，連接AO并延長交⊙O于點F，連接CF交OD的延長線于點E，連接BE交⊙O于點G.連接AG交BC于點H，AH即△ABC的高.

診斷 在本試題講評教學(xué)時，學(xué)生提出如何作高的問題，這引發(fā)筆者的進(jìn)一步思考.最終形成的反思稿中，第（1）問的作中線面向全體學(xué)生，有效降低了難度，第（2）、（3）問作角平分線和高，層層遞進(jìn)，很好地解決了審定稿中重復(fù)考查的問題，同時也使整道題形成前后連貫、邏輯一致、一以貫之的特點，對學(xué)生聚焦圖形結(jié)構(gòu)，直觀想象和邏輯推理的能力進(jìn)行了充分的考查.

3 命題思考

3.1 經(jīng)歷精推細(xì)敲，實現(xiàn)科學(xué)評價

本試題的命制以無刻度直尺作圖靈活考查軸對稱變換的性質(zhì)為目標(biāo)，以科學(xué)評價和引領(lǐng)教學(xué)為價值取向，從試題初始稿到反思稿的打磨歷程緊緊圍繞呈現(xiàn)方式、問題設(shè)計、試題結(jié)構(gòu)、考查維度、難度系數(shù)、形式創(chuàng)新等方面精雕細(xì)琢，反復(fù)打磨.命題歷程中有左沖右突的煎熬，更有柳暗花明的暢快.呈現(xiàn)方式上脫胎換骨，但考查目標(biāo)卻始終一以貫之;能過點A畫出△ABC的哪些特殊線段的問題設(shè)計更加突出整體和開放的視角，層層鋪墊，螺旋上升，凸顯思維進(jìn)階;試題結(jié)構(gòu)由審定稿的牽強(qiáng)拼湊變得關(guān)聯(lián)性更強(qiáng)，邏輯清晰，更利于學(xué)生從系統(tǒng)性和整體性高度理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，避免了碎片化;考查維度也逐漸優(yōu)化，關(guān)注了學(xué)生分析問題、捕捉有效信息的能力，類比歸納已有作中線、角平分線的活動經(jīng)驗形成新的經(jīng)驗綜合運(yùn)用到作高中的遷移能力，以及面對開放型新穎試題鎮(zhèn)定自若的心態(tài)和創(chuàng)新能力;改進(jìn)稿作為試題，其難度系數(shù)過大，顯然超出了學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，會挫傷學(xué)生的信心，基于以生為本的價值取向需要再打磨降低難度.

命題者要不斷追求科學(xué)命題，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，彰顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，積極導(dǎo)向立德樹人的課堂教學(xué)，同時讓師生共同意識到試題就源于教材，來自課堂，著重考查通性通法和思維品質(zhì)，而大量刷題作業(yè)是高耗低效的，為切實減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)做好命題評價方面的正確引領(lǐng).3.2 回歸教材文本，考查核心知識

教材是課堂教學(xué)的重要依據(jù)和資源，也是保證試題符合課程標(biāo)準(zhǔn)的衡量標(biāo)準(zhǔn).本試題的初始稿就是以蘇科版教材的例題為素材，在作圖工具和試題結(jié)構(gòu)上做了兩點改編創(chuàng)新，使試題源于教材，但又不拘泥于教材.因此，試題的命制素材來源于以課標(biāo)為依據(jù)的教材例題、習(xí)題，再進(jìn)行加工、整合、拓展;也可以來源于鮮活的課堂教學(xué)的生成，將學(xué)生在活動探究和思維碰撞中迸發(fā)的精彩的問題融入命題之中.

同時，試題命制要關(guān)注學(xué)生對核心知識的掌握和數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟.初中階段數(shù)學(xué)的核心知識是形成數(shù)學(xué)能力提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體和抓手，也是命題者青睞的對象，綜合數(shù)學(xué)的核心知識，進(jìn)行命題，有利于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及探究能力，有助于從知識考查走向能力立意[1].本題聚焦初中數(shù)學(xué)的核心知識有：軸對稱、垂直平分線、平行線性質(zhì)、垂徑定理、等弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角是直角等核心知識.

3.3 關(guān)注學(xué)生現(xiàn)實，凸顯育人價值

在命制試題時，要關(guān)注學(xué)生現(xiàn)實，學(xué)生現(xiàn)實不僅包括數(shù)學(xué)知識水平，思維能力和解題經(jīng)驗，而且包括數(shù)學(xué)實際生活背景與數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗[2].因此，在命題中應(yīng)充分重視和關(guān)注學(xué)生的個體差異，以學(xué)生發(fā)展為本.比如反思稿中設(shè)計的畫三角形的中線、角平分線、高，三個問題層層遞進(jìn)，貼近學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，大部分學(xué)生“跳一跳能摘到”.試題的價值不能僅限于知識、能力的判定，更要著眼于每個學(xué)生的發(fā)展和人的價值.

試題命制要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的價值，要用試題背后的數(shù)學(xué)思想和理性精神滋養(yǎng)學(xué)生，讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣思考解決問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的全過程[3].反思稿開放性的活動設(shè)問，注重了對學(xué)生數(shù)學(xué)活動過程的考查，激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲，引發(fā)學(xué)生深入探索和思考.用無刻度直尺作三角形重要線段，循序漸進(jìn)、螺旋上升、一以貫之，很好地考查了學(xué)生數(shù)學(xué)活動過程中所表現(xiàn)出來的思維方式、思維水平.3.4 彰顯思維品質(zhì)，引領(lǐng)教學(xué)導(dǎo)向

試題命制要減少機(jī)械記憶試題和客觀性試題比例，提高探究性、開放性、綜合性試題比例.這是教育部《關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見》所要求的.反思稿的問題設(shè)計充滿開放性、探究性，試題以開放發(fā)散的思路、幾何直觀的方式、思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿媮碚蔑@思維的靈活性和深刻性.考查學(xué)生根據(jù)目標(biāo)圖形的特征逆向分析、調(diào)用核心知識、構(gòu)造圖形，凸顯“分析”的思路，通過邏輯推理、類比歸納來追溯源頭、探析作法，同時揭示“對稱”的本質(zhì)，感悟蘊(yùn)含在作圖過程中的對稱思想，從而掌握知其然（怎么作圖），知其所以然（這樣作的道理），何由以知其所以然（怎么想到這樣作）通性通法[4].

試題考查的目標(biāo)和要求對教師的教和學(xué)生的學(xué)具有鮮明的導(dǎo)向作用，試題命制應(yīng)該導(dǎo)向教師積極探索基于情境、問題導(dǎo)向、深度思考，高度參與的教育教學(xué)方式[5].反思稿中蘊(yùn)含豐富的教學(xué)資源，在教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)定教，順學(xué)而教，通過分步適時的點撥加追問，激發(fā)學(xué)生經(jīng)歷主動關(guān)聯(lián)調(diào)用相關(guān)核心知識，并將其整體化、經(jīng)驗化、結(jié)構(gòu)化，理性構(gòu)建基本圖形來獲取解決問題思路的全過程，體驗感悟了作法背后的“理”與“法”，潛移默化地達(dá)到了深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生發(fā)散性思維、幾何直觀、數(shù)學(xué)推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此，試題命制者要注重以測導(dǎo)教的功能挖掘充分發(fā)揮試題的教學(xué)導(dǎo)向功能，以試題為載體，導(dǎo)引教師將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)放在首要位置.

參考文獻(xiàn)

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[4]章飛.三個基本作圖的方法思辨與教學(xué)實施[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2021（7）：2-5.

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作者簡介 陶家友（1981—），男，中學(xué)高級教師，南京市學(xué)科帶頭人，江蘇省教科研先進(jìn)個人，江蘇省卓越教師培養(yǎng)對象，南京市溧水區(qū)數(shù)學(xué)名師工作室主持人，主要研究課堂教學(xué)與中考命題.