做好跨章整合 實現深度學習

【摘 要】 在深度學習的視角下，復習課不僅是學生做題、鞏固解題技巧的過程，更是教師把各章節內容整合后，呈現給學生進而引發深度學習的過程.在此過程中，教師應更多關注學生再發現和再創造能力的培養和提升，幫助學生實現從“學會”到“會學”的轉變.

【關鍵詞】 深度學習;單元教學;反比例函數;中心對稱圖形

所謂深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程[1].深度學習倡導單元學習[2].從“課時學習”到“單元學習”，是新時期學習方式變革的具體體現.而復習課的過程，不僅是學生做題、鞏固解題技巧的過程，更是教師把各章節內容整合后呈現給學生進而引發深度學習的過程.在此過程中，教師應更多關注學生再發現和再創造能力的培養和提升，幫助學生實現從“學會”到“會學”的轉變.

2021年6月，筆者有幸參加了2021年新課標背景下北京—江蘇專家指導與交流研討會，并承擔了一節數學學科同課異構課，授課內容為蘇教版教材八年級下冊“反比例函數與中心對稱圖形專題”復習課，本節課是兩章內容的跨章整合復習課，教學設計體現了主題單元教學思想、整體立意，能引發學生深度學習.在研討會上得到了較好的呈現，獲得了與會專家和聽課教師的一致好評，現將本節課的教學實施過程與大家分享.

1 教材分析

本節課是反比例函數和中心對稱圖形這兩章內容的跨章整合單元復習課.反比例函數是代數內容，而中心對稱圖形——平行四邊形是幾何內容.但是，反比例函數的圖象是雙曲線，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形;而平行四邊形是中心對稱圖形.因此，這兩章知識存在內在的聯系，反比例函數的圖象和平行四邊形有一個共同點——中心對稱性，因此它們具備一些相同的性質，本節課就從圖形對稱性的應用來展開研究.

本節的授課內容面向初二年級學生，學生已學習反比例函數的圖象和性質，掌握了求反比例函數的表達式、k的幾何意義等知識，同時，學生也學習了中心對稱圖形的知識，能利用平行四邊形以及特殊平行四邊形的性質和判定進行推理證明，具備了對數學問題進行探究的意識和能力，這都為本節課的學習奠定了基礎.但本節課是兩章內容整合的復習課，不是知識的簡單重復，而是要在原有知識的基礎上有新發現、新感悟，并有所突破，從而激發學生的求知欲.因此，本節課以“中心對稱”這一共同點，將反比例函數和中心對稱圖形的知識聯系起來，讓學生在活動探究的過程中，感悟知識的內在聯系，并在活動探究過程中感悟利用中心對稱性解決問題的思路和方法.

2 教學目標

1.學會利用反比例函數圖象的中心對稱性構造平行四邊形及特殊的平行四邊形，掌握運用圖形的中心對稱性解決有關問題的思路和方法.

2.通過活動探究等活動解決問題，提高運用圖形的對稱性解決實際問題的能力，滲透數形結合思想，培養直觀想象能力，養成歸納總結的良好習慣.

3.感受數學的對稱美，激發學習數學的興趣，增強學習數學的自信心.

3 教學實施

環節1 熱身練習，溫故知新

引入語 本學期已接近尾聲，在復習的時候，我們最好能把具有相同點的知識歸類整理，以便發現規律，更好地解決問題.本節課老師就與大家一起來復習反比例函數和中心對稱圖形這兩章的內容.請大家思考：反比例函數與平行四邊形有哪些相同的性質？

復習回顧：正比例函數y=kx（k>0）與反比例函數y=12x的圖象的一個交點坐標為（2，6），則兩圖象的另一個交點坐標是________.

追問1：你是如何求得兩圖象的另一個交點坐標的？

學生1：利用函數圖象的中心對稱性，反比例函數與正比例函數的圖形都是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，因此它們的交點坐標也關于原點對稱.

追問2：如圖1，老師在黑板上畫出任意兩條反比例函數和正比例函數的圖象，它們的交點坐標為P1（x1，y1），P2（x2，y2），你能得到什么結論？

學生2：歸納小結1：若反比例函數y=kx（k≠0）與正比例函數y=kx（k≠0）的圖象相交于點P1（x1，y1），P2（x2，y2），則有x1=-x2，y1=-y2.

學生3：還可以得到OP1=OP2.

設計說明 通過做練習，回顧反比例函數的性質，喚醒學生思維，激發學習熱情，同時讓學生體會數形結合在解題中的應用;通過追問2，讓學生歸納具有相同對稱中心的兩個函數圖象交點坐標的特征，形成規律，為環節2的活動探究做好鋪墊.

過渡語 既然平行四邊形也是中心對稱圖形，我們能否利用反比例函數的圖象構造平行四邊形呢？讓我們通過下面的“活動探究”感受圖形中心對稱性的美妙之處！

環節2 活動探究，發現問題

活動1：如圖2，請你在反比例函數y=12x的圖象上任意選取四個點A，B，C，D畫四邊形，使四邊形ABCD是平行四邊形，并簡述你的畫法.

課堂評價 教師在學生畫圖時巡視，發現學生主要有兩種不同的畫法，選兩位學生代表展示并敘述自己的畫法.

學生4：（投屏，如圖3所示，）在反比例函數的每一個分支上各選擇一個點A，B，連接AB，并畫AB的平行線CD，連接BC，AD.

學生5：（按自己的畫法將圖形畫在老師事前準備在黑板上的反比例函數圖象上，如圖4所示）在反比例函數第一象限的圖象上任選兩點A，D，分別連接AO，DO并延長，交反比例函數在第三象限的圖象于點C，B，順次連接A，B，C，D四點即可.

追問3：學生4和學生5畫出的四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎？為什么呢？怎樣驗證學生4所畫的四邊形是不是平行四邊形呢？

學生6：學生4畫出的四邊形只保證了一組對邊平行，因此不一定是平行四邊形，可以連接兩條對角線AC和BD，看它們是否交于點O，如果不交于點O就說明它的對角線不互相平分，就不是平行四邊形（教師按學生6的敘述在屏幕上畫圖驗證）;學生5畫出的四邊形一定是平行四邊形，因為它的對角線互相平分.

設計說明 比較畫平行四邊形的不同方法，體會利用反比例函數圖象的中心對稱性畫圖的便捷之處，同時感受利用平行四邊形的中心對稱性（即對角線互相平分）來判定平行四邊形的簡潔之處.

追問4：觀察黑板上學生5畫出的的平行四邊形，思考：y軸把平行四邊形分成的兩部分有何關系？

追問5：你還能找到這樣的直線嗎？你還有別的發現嗎？

追問6：具備什么條件的直線能把中心對稱圖形分成全等的兩部分？

歸納小結2：經過中心對稱圖形的對稱中心的任意一條直線把中心對稱圖形分成全等的兩部分.

設計說明 通過追問4—6，利用畫出的平行四邊形觀察中心對稱圖形的其它性質，引發學生深度思考并及時歸納總結，形成規律.

活動2：如圖2，你能否在反比例函數y=12x的圖象上選取四個點A，B，C，D畫四邊形，使四邊形ABCD是矩形？請簡述你的畫法及理由.

課堂評價 學生畫圖過程中教師巡視，發現學生都能積極思考、勇于探索，也觀察到學生有兩種不同的畫法，選兩位學生代表展示并敘述自己的畫法及理由.

學生7：（投屏，如圖5所示）

先畫出第一、三象限的角平分線MN，然后在反比例函數的圖象上任選一點A，過點A畫線段AD⊥MN，交反比例函數于點D，分別過點A，D畫線段AB⊥AD，CD⊥AD，與反比例函數的另一個分支交于點B，C，連接BC.理由：有三個角是直角的四邊形是矩形.

學生8：（投屏，如圖6所示）在反比例函數的圖象上任選一點A，連接AO，以O為圓心、AO為半徑作圓，交反比例函數圖象于點B，C，D，順次連接A，B，C，D四點即可.理由是：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形.

追問7：這樣的矩形可以作幾個？它們在位置上有什么關系呢？

總結語 矩形與反比例函數的圖象不僅是中心對稱圖形還都是軸對稱圖形，利用它們的軸對稱性解決問題也是一種比較好的方法;中心對稱性是平行四邊形和所有特殊平行四邊形共同的性質，中心對稱性的體現就在于對角線互相平分.因此，利用與對角線有關的判定方法來判定特殊的平行四邊形應該是更便捷的方法.

設計說明 活動2引發大部分學生深度學習，學生在動手畫圖的過程中深刻體會反比例函數的中心對稱性和軸對稱在解題中的作用.同時，追問7可以引發學生深度思考.

追問8：請大家思考，能否在反比例函數y=12x的圖象上找出四點A，B，C，D，畫出菱形、正方形呢？請說明理由.

設計說明 有了活動1和活動2的畫圖經驗，學生可以在原有圖象的基礎上進行邏輯推理，同時培養學生的直觀想象能力.

過渡語 我們學習了利用反比例函數圖象構造平行四邊形以及特殊的平行四邊形，又回顧了中心對稱圖形的性質，請大家來解決下面類比遷移中的問題.

環節3 類比遷移，解決問題

1.我們容易發現：反比例函數的圖象是一個中心對稱圖形.你可以利用這一結論解決問題.

如圖7，在同一直角坐標系中，正比例函數的圖象可以看作是：將x軸所在的直線繞著原點O逆時針旋轉α度角后的圖形.若它與反比例函數y=3x的圖象分別交于第一、三象限的點B，D，已知點A（-m，0）、C（m，0）.

（1）直接判斷并填寫：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是________;

（2）①當α=30°，四邊形ABCD是矩形時，試求B點坐標和m的值;

②觀察猜想：對①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點B共有幾個？請求出它們的坐標.

（3）探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點的坐標，若不能，說明理由.

設計說明 本題首先應用了平行四邊形的中心對稱性，而后再利用在活動2中體驗到的方法構造特殊的平行四邊形——矩形，構造方法與活動2既有聯系又有區別;同時，在求點的坐標時還利用了方程思想、矩形的軸對稱性，鍛煉學生的直觀想象能力;在解題過程中鼓勵學生大膽發表自己的看法，培養學生綜合應用相關知識解決具體問題的能力.

2.如圖8，在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點（不與端點重合）.對于任意矩形ABCD，下面四個結論中：

①存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形;

②存在無數個四邊形MNPQ是矩形;

③存在無數個四邊形MNPQ是菱形;

④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形.

所有正確結論的序號是________.

設計說明 該題是2019年北京市中考試題，為填空題的最后一道，當時中考試題解讀時是用幾何畫板演示做的說明.其實利用圖形的中心對稱性來解決本題比較方便，如果本節課學生實現了深度學習，那么他會畫出與矩形ABCD對角線交點互相重合的四邊形MNPQ，如圖8所示，進而利用與對角線有關的判定方法對四邊形MNPQ的形狀做出判斷.

環節4 回顧反思，歸納總結

問題：通過這節課的學習，我們對反比例函數和平行四邊形應該又有了新的認識，你有哪些收獲想跟同伴分享？還有哪些感悟？

設計說明 培養學生養成及時歸納反思的良好學習習慣.

4 思考與感悟

4.1 有效的問題串激發學生學習興趣

蘇霍姆林斯基曾說：“學習如果具有思想、感情、創造、美和游戲的鮮艷色彩，那它就能成為孩子們深感興趣和富有吸引力的事情.”[3]本節課從反比例函數圖象和平行四邊形一個共同性質——中心對稱性入手，找到了二者一個很好的結合點，建立了二者之間的聯系，讓學生感受了中心對稱性的美妙之處.而貫穿本節課始終的問題串的推進，極大的激發了學生的學習熱情.本節雖然是復習課，但不是知識的機械重復，是讓學生在已有知識的基礎上有了新的發現和感悟.因此，學生有較強的好奇心和求知欲，在探究過程中始終能夠積極參與，勇于質疑并發表自己的觀點.

4.2 學生真正成為“活動與體驗”的主體

活動與體驗是深度學習的核心特征.本節課活動1和活動2的設置，增強了學習過程的體驗性、互動性和生成性，整個活動過程學生都能全身心地投入，真正成為了教學活動的主體.并且在系列化問題解決過程中，學生能逐步發現解決問題的方法，感受到圖形中心對稱性的作用無處不在，也感受到了數形結合的奇妙之處，更好地發展了學生的核心素養.

4.3 “遷移與應用”得以有效落實

“遷移與應用”需要學生有綜合的能力、創新的意識.本節課的學習，滲透了數形結合思想、方程思想，培養了學生的直觀想象能力.而類比遷移中兩個問題的設置，更增加了本節課內容的深刻性與豐富性，整個學習過程，學生都能主動參與探究活動，學習的主動性、自覺性都得以加強，學生的理論知識與實踐應用得到有效整合，學科能力和學科素養均得到有效提升，最終達到了深度學習的目的.

參考文獻

[1]郭華.深度學習及其意義[J].課程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.

[2]劉月霞，郭華.深度學習：走向核心素養[M].北京：教育科學出版社，2018：72.

[3]蘇霍姆林斯基.把整個心靈獻給孩子[M].唐其慈，畢淑芝，趙瑋，譯.天津：天津人民出版社，1981：154.

作者簡介 程霞（1975—），女，河北石家莊人，中學高級教師，區級學科帶頭人.主要研究數學教育，曾榮獲首都勞動獎章、師德榜樣等榮譽稱號，發表論文7篇.